高等數(shù)學(xué)課件5冪級數(shù)

1、一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四、五節(jié)冪級數(shù)第十三章一、 函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)un ( ), 2,) 為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱 u (x) ux nnn1為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù).若常數(shù)項級數(shù) 對 x0 ,I收斂, 稱 x0 為其收n0n1斂點, 所有收斂點的全體稱為其收斂域 ;若常數(shù)項級數(shù) 發(fā)散, 稱x0 為其發(fā)散點, 所有n0n1發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域 .機動目錄上頁下頁返回結(jié)束)(,在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù)為級數(shù)的和函數(shù) , 并寫成稱它 Sxnn1若用Sx 表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和, 即nn k 1

2、x SSnxk Sx令余項nn則在收斂域上有 Sn ( ) 0lim Snxx,limnn機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 xnn 1 x x例如, 等比級數(shù)n0它的收斂域是 (1,1) ,當(dāng)x (1 , 1有和函數(shù)時1 xn1 xn0它的發(fā)散域是 ( , 1 ）.1x或?qū)懽鱴 ) , 當(dāng) x又如, 級數(shù)時收斂n2時,n0但當(dāng) ) , 級數(shù)發(fā)散;.1xlimnn (x所以級數(shù)的收斂域僅為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、冪級數(shù)及其收斂性ann0n2 aa列a形如0010nan其中數(shù)0,1,) 稱的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),為冪級數(shù)的系數(shù) .n 0 的情形, 即x0 a下面著重n2xna x a n0nn0n0即

3、是此種情形.例如, 冪級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束n定理 1. ( Abel定理 )若冪級數(shù)nn0在 0 點收斂, 則對滿足不等式0的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之, 若當(dāng) x x0時該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 .0設(shè)xan0n0,0于是存在收斂, 則必有 limxa證:nnnn0常數(shù) M 0, 使n0n a, 2,)收斂 發(fā)散nox發(fā)散收斂發(fā)散目錄上頁下頁返回結(jié)束xnnnxxnnn0n0 Mnnxnxx000 x M收斂, nn也收斂,時,當(dāng)n0 xn00n0故原冪級數(shù)絕對收斂 .反之, 若當(dāng)0 時該冪級數(shù)發(fā)散 , 下面用反證法證之.x0假設(shè)有一點 x1

4、 滿且使級數(shù)收斂 , 則由前足面的證明可知,也應(yīng)收斂,級數(shù)在點與所設(shè),故假設(shè)不真.所以若當(dāng)時冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切0滿足不等式證畢的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散.0機動目錄上頁下頁返回結(jié)束n由Abel 定理可以看出,中心的區(qū)間.的收斂域是以原點為nn0用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,則R = 0 時,R = 時, R 冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂;冪級數(shù)在(, +) 收斂;冪級數(shù)在(R , R ) 收斂 ; 在R , R x R 可能收斂也可能發(fā)散 .外發(fā)散; 在R 稱為收斂半徑 ，(R , R ) 稱為收斂區(qū)間.(R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域.收斂 發(fā)散ox發(fā)散收斂發(fā)散機動目錄

5、上頁下頁返回結(jié)束an1定理2. 若 n ,limn的系數(shù)滿足則nann01 ;1) 當(dāng) 0 時, R 2) 當(dāng) 0 時, R ;3) 當(dāng) 時, R .0n1an1n1 limn證:limnxxnann1) 若 0, 則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)當(dāng),1,111xxxx原級數(shù)收斂;時,即即時, 原級數(shù)發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束R 1 .因此級數(shù)的收斂半徑若 ,0則根據(jù)比值審斂法可知,2)對任意 x 原級數(shù)絕對收斂, 因此 R ; ,則對除 x = 03) 若x 原級發(fā)散,以外的一切因此 R .0說明:據(jù)此定理機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 nn的收斂半徑為 R limann0nan1n例1.求冪級數(shù)x2

6、3n的收斂半徑及收斂域.1nan 1R limn limn解:1n 1an1n1 1對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù) (1), 收斂;nn11對端點 x =1, 級數(shù)為 n1,n發(fā)散.為1 ,故收斂域(1.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :1 n! xnxnn01n(;(2.n0解: (1) R limnann! 1 limn lim (n 1)nan1n )!所以收斂域為 ( . limnann !1 R limn 0 lim(2)n an1) !n n 1所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束規(guī)定: 0 ! = 1(n ! x2 n的收斂半徑

7、.例3.求冪級數(shù)2n )n0解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.故直接由 2 n ) ! x2n )n ) ! 2n 1n limnlimnn!x2 n2n 1)( 2)2 4 x2limnx2n )x2x2 1xx當(dāng)當(dāng)即即時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散122故收斂半徑為 R .12機動目錄上頁下頁返回結(jié)束)nx 求冪級數(shù)的收斂域.例4.2n nn11級數(shù)變?yōu)閠 n解: 令 t x ,1n1 2n n112n1ann ) R limn limn 2 lim2n nan1n2 nn2n1n )1 ,當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;nn1)n當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為

8、n1, 此級數(shù)條件收斂;n t 為 因此級數(shù)的收斂域, 故原級數(shù)的收斂域為 x 2 , x .即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、冪級數(shù)的運算設(shè)冪級數(shù)xbn及n 的收斂半徑分別為定理3.nnn0n0令 R min R, 則有:為常數(shù)RR , Rnnn n1n0n0 ann0 n0nnxn ,n xn0 an nn xnn ,nn0n0n0n k 0以上結(jié)論可用部分和的極限證明 .b其中nk機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.例如, 設(shè) 1,2 )n 1 1,0( an0nn0 1 0 ,n 1x, 3, nnn0它們的收斂半徑均為 R

9、 , 但是n1nn 1 x xn01 xnnn0R .1其收斂半徑只是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4 若冪級數(shù)n 的收斂半徑 R ,0則其和函nn0數(shù)Sx在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同: n0n1,nx R) R )S (n xnnn1anx0 xxn dx n0 xn1,x n Sxdn0 n 10RR )(證明見第六節(jié))注: 逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束xn求冪級數(shù) n!的和函數(shù).例5.n0由例2可知級數(shù)的收斂半徑 R+. 設(shè)解:xn n!( x )(n0 xn1xk)( S x( x )則n )!k 0

10、k !n1(x S得 x故有ex因此得由 (0) xnx) e , 故得 ex .xn!n0機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求冪級數(shù) xnn 的和函數(shù) Sx.例6.n1解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時級數(shù)發(fā)故當(dāng)x (1 , 1 時散, n1n1xn1xnSn1 n1nnxxx 1 x 2x(機動目錄上頁下頁返回結(jié)束xnSx.的和函數(shù)例7. 求級數(shù)n 1n0且 x 1時級數(shù)解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 ,收斂, 則當(dāng) x時有xxn1xn1 n 1 x nn 1 )(dxn0 xn0 xdxn0 1 1及x 1)1 xln()(xx機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 1 ln(1 x) ,及x

11、 1)(xxSxxlim ln ( ,1S0() ,1而x0 x因此由和函數(shù)的連續(xù)性得: 1 ln(1 x) ,x ,10) (01,)x1 ,x Sx 0機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1n2例8.的和.求數(shù)項級數(shù)2nn)2xnx )(, 1),n1解: 設(shè)則2n2111 xn 2)( 11n2n1xn11 n x n x )n2n2nxn12 2x nnn1n3機動目錄上頁下頁返回結(jié)束xn2x21 x )() n12xn2xx0 xxndxn1 n1n1n11 xdd而nn1 0ln(01 x) 1 x )(25834112n2 S n故2nn)2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1. 求冪級數(shù)收斂域的方法

12、nan)1) 對冪級數(shù)nn0先求收斂半徑 , 再端點的收斂性 .2) 對非冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,再求 .也可通過換元化為2. 冪級數(shù)的性質(zhì)1) 兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與乘法運算.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.1. 已知 n在 0 處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂nn0半徑是多少 ?收斂,答:根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在0.時發(fā)散 . 故收斂半徑為00機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí) 1)nn0nx中,2. 在冪級數(shù)2n3,2n 為奇數(shù)1)n1an112an 1)n1,n 為偶數(shù)6能否確定它的收斂半徑不存在 ?因為答: 不能.xx2 (1)nlimnn () limnnn22 2