南京航空航天大學(xué)《復(fù)變函數(shù)》課件-第六章 留數(shù)理論及其應(yīng)用

1、第六章 留數(shù)理論及其應(yīng)用1第一節(jié) 留數(shù) (Residue)留數(shù)的定義留數(shù)定理留數(shù)的計算無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)2一、留數(shù)的定義及留數(shù)定理設(shè)為的一個孤立奇點;內(nèi)的洛朗級數(shù):在.的某去心鄰域鄰域內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線300 (柯西-古薩基本定理)4定義 的一個孤立奇點, 則沿內(nèi)包含的任意一條簡單閉曲線 C 的積分的值除后所得的數(shù)稱為以如果記作5說明:留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).定理6.1(留數(shù)定理)設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線，在區(qū)域 D內(nèi)除有限個孤外處處解析, 在閉域 D+C上連續(xù)， 那末立奇點函數(shù)6證證畢兩邊同時除以 且.如圖7二、留數(shù)的計算方法(1) 如果

2、為的可去奇點, (2) 如果為的本性奇點, (3) 如果為的極點, 則有如下計算規(guī)則:展開則需將成洛朗級數(shù)求8定理6.2證明：設(shè)如果 為 的 m 級極點, 那末進一步，對nm 都有9推論6.3如果 為 的一級極點, 那末對n m, 有10 如果設(shè)及在都解析，那末為的一級極點, 且有定理6.5推論6.4如果 為 的二級極點, 那末例 6.1.計算積分例6.2. 例6.3.例6.4.例6.5.12三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)記作定義6.2設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，那么即 是 f(z)的孤立奇點， C 為圓環(huán)域內(nèi)13.證由留數(shù)定義有:(繞原點的并將內(nèi)部的正向簡單閉曲線)包含在

3、定理6.6如果函數(shù)在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點, 那末在所有各奇點 (包括 點)的留數(shù)的總和必等于零.證畢14說明: 由定理得(留數(shù)定理)計算積分計算無窮遠(yuǎn)點的留數(shù).優(yōu)點: 使計算積分進一步得到簡化. (避免了計算諸有限點處的留數(shù))15在無窮遠(yuǎn)點處留數(shù)的計算規(guī)則說明: 定理6.6和上述規(guī)則提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法: 此法在很多情況下此法更為簡單.例 6.616四、例題例1 求在的留數(shù).解17例2 求在的留數(shù).分析是的三級零點由規(guī)則3得計算較麻煩.18如果利用洛朗展開式求較方便:解19說明: 如 為 m 級極點，當(dāng) m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時, 可直接展開洛朗級數(shù)求來計算留數(shù)

4、.2. 在應(yīng)用規(guī)則2時, 取得比實際的級數(shù)高.級數(shù)高反而使計算方便. 1. 在實際計算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則. 為了計算方便一般不要將m但有時把m取得比實際的如上例取20例3 求在的留數(shù).解 是的四級極點.在內(nèi)將展成洛朗級數(shù):第二節(jié) 用留數(shù)定理計算實積分211、計算 型積分2、計算 型積分3、計算 型積分22一、形如 的積分思想方法 :封閉路線的積分 .兩個重要工作:1) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2) 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個復(fù)變函數(shù)沿某條23形如當(dāng)歷經(jīng)變程時,的正方向繞行一周.z 沿單位圓周24z的有理函數(shù) , 且在單位圓周上分母不為零 , 滿足留數(shù)定理的條件 .包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點.例6.7. 計算積分 26例6.8 計算積分解則27例6.9. 計算積分例6.10. 計算積分 m為正整數(shù)29二、形如 的積分引理6.1 設(shè) 沿圓弧 連續(xù), 且 在 上一致成立（即與 無關(guān)）, 則 定理6.7 設(shè) 為有理真分式, 其中 為互質(zhì)多項式, 且滿足 (1) (2) 在實軸上 那么例6.11. 設(shè)a0, 計算例6.12. 計算32三、形如 的積分