數(shù)形結合思想在初中教學中的應用

1、PAGE 第 PAGE 6 頁 共 NUMPAGES 6 頁數(shù)形結合思想在初中教學中的應用內容摘要：數(shù)形結合思想是初中數(shù)學中很重要的一種思想方法，它主要是通過數(shù)與形之間的對應和轉化來解決數(shù)學問題。將數(shù)與形靈活地轉換，運用彼此間的相互聯(lián)系和作用，去有效地探求問題的解答，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。關鍵詞：數(shù)形結合思想 初中數(shù)學教學 應用 “數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。數(shù)是數(shù)量關系的體現(xiàn)，形是空間形式的體現(xiàn)，兩者是對立統(tǒng)一的，我們在探討數(shù)量關系時常常借助于圖形直觀地去研究；而在研究圖形時，又常借助于圖形間隱含的數(shù)量關系去求解。即將數(shù)

2、與形靈活地轉換，運用彼此間的相互聯(lián)系和作用，去有效地探求問題的解答，我認為這就是數(shù)形結合的思想方法。華羅庚教授曾精彩地詮釋：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。”由此可見，數(shù)形結合的巧與妙，數(shù)形結合的思想方法能揚數(shù)之長，取形之優(yōu)，使得數(shù)量關系與空間形式珠聯(lián)壁合，相映生輝。因此在數(shù)學教學中注重滲透這一思想，引導學生要善于將數(shù)與形巧妙地結合起來分析問題，讓學生在不斷地感悟中開闊和發(fā)展思維，為有效地解決問題奠定良好的基礎一、實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系是數(shù)與形的最初碰撞數(shù)軸的引入為數(shù)與形的結合打開了一扇大門，它是實數(shù)內容體現(xiàn)數(shù)形結合思想的有力證明。“數(shù)”與“形”是對立統(tǒng)一

3、的，借助于數(shù)軸，可以把抽象的實數(shù)直觀地表示出來，達到“以形啟數(shù)”、“以數(shù)助形”的目的。例1、實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡 = 。分析：利用數(shù)軸的直觀性可知，結合實數(shù)絕對值的幾何意義易得，此題很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合在解題中的直觀性與簡明性，同時也彰顯了了數(shù)軸的工具作用，充分體現(xiàn)了實數(shù)與數(shù)軸的完美結合。二、方程與數(shù)軸的有機結合是數(shù)與形的再次碰撞數(shù)軸是數(shù)形結合的產物，分析數(shù)軸上點的運動要結合圖形進行分析，點在數(shù)軸上運動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關系。例2、已知數(shù)軸上兩點A、B對應的數(shù)分別為1，3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應的數(shù)為x。若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應的數(shù)；數(shù)軸

4、上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為5？若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？當點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點B一每分鐘20個單位長度向左運動，問它們同時出發(fā)，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？分析：如圖，若點P到點A、點B的距離相等，P為AB的中點，BP=PA。依題意，3x=x（1），解得x=1由AB=4，若存在點P到點A、點B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點左側，或B點右側。P在點A左側，PA=1x，PB=3x依題意，（1x）+（3x）=5，解得 x=1.5P在點B右側，PA=x（1）=x+1，PB=x

5、3依題意，（x+1）+（x3）=5，解得 x=3.5點P、點A、點B同時向左運動，點B的運動速度最快，點P的運動速度最慢。故P點總位于A點右側，B可能追上并超過A。P到A、B的距離相等，應分兩種情況討論。設運動t分鐘，此時P對應的數(shù)為t，B對應的數(shù)為320t，A對應的數(shù)為15t。B未追上A時，PA=PA，則P為AB中點。B在P的右側，A在P的左側。PA=t（15t）=1+4t，PB=320t（t）=319t依題意有，1+4t=319t，解得 t=B追上A時，A、B重合，此時PA=PB。A、B表示同一個數(shù)。依題意有，15t=320t，解得 t=即運動或分鐘時，P到A、B的距離相等。方程與數(shù)軸的有

6、機結合數(shù)與形的再次碰撞，讓我們再次感受到數(shù)軸的優(yōu)越性。三、不等式（組）的解集蘊含數(shù)與形的結合例3、已知關于的不等式組的整數(shù)解只有3和4，求和的取值范圍分析：由，得；由，得因為原不等式組有解，所以其解集應為又因為它只有3和4兩個整數(shù)解，所以借助如圖所示的數(shù)軸分析，可知只能在2和3之間取值，只能在4與5之間取值又由于解集中不含等號，所以的值可以取2，但不能取3，而的值可以取5，但不能取4，否則整數(shù)解就不是只有3和4了，所以，所以 2 5由此可見，利用數(shù)軸將不等式（組）的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來，使學生形象地看到整數(shù)解的個數(shù)有多少個，數(shù)形結合更能深刻地反映不等式（組）解集的幾何意義。四、應用題的解

7、答借助數(shù)與形的結合例4、甲、乙兩地相距23千米，A從甲地到乙地，在乙地停留20分鐘后，又從乙地回到甲地；B從乙地到甲地，在甲地停留30分鐘后，又從甲地返回到乙地，若A、B同時從甲、乙兩地出發(fā)，經過5小時后，在他們各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小時，求兩人的速度。分析：這是一道已知條件相對復雜的應用題，將數(shù)與形結合起來，借助圖形進行分析，就會變得直觀、清楚多了。A、B所走的路程可用下圖表示：從圖中可清楚地看到，A、B兩人從出發(fā)到最后相遇正好共走完了甲、乙兩地間距離的3倍，即等量關系為：A走的路程 + B走的路程 =233。如果設B每小時走千米，則A每小時走千米，由于兩人途中

8、都停留了一段時間，A實際走小時，B實際走小時，由此就不難列出方程：，得出，由此可見，數(shù)與形的有機結合，確實能為解題帶來方便，它能使抽象的問題形象化、直觀化，復雜的問題簡單化，兩者之間的互助與聯(lián)通能開辟出解題捷徑，是一種有效的解題策略。五、函數(shù)詮釋數(shù)與形的完美結合例5、若方程 （0）的兩根滿足：1，13，求的取值范圍。分析：畫出與方程對應的二次函數(shù) （0）的草圖： 由圖可知：當=1時，0； 當=3時，0.即 0 ； 0.解得：1.例6、若關于的不等式 的解只有一個，求的值。解：如圖：在同一坐標系內，作出與的圖象。題設條件等價于拋物線在直線與之間的帶狀區(qū)域僅有一個交點，且拋物線開口向上。由圖形的直

9、觀性質可知：這個交點只能在直線上，故方程組 僅有一組解。 即 對于含參方程（不等式），可將其與對應的函數(shù)（圖象）聯(lián)系起來，運用數(shù)形結合思想，去揭示問題中所蘊含的幾何背景，往往能為解題提供清晰的思路。六、構造幾何圖形求代數(shù)式的最值問題“以形助數(shù)”例7、已知、均為正數(shù)，且。求的最小值。在本題中由求解式子的特點可以聯(lián)想到構造直角三角形利用勾股定理進行處理。如圖作線段，在上截取，過點作,且使得,過點作,且使得。這種構圖后可以得到兩個直角三角形，所以可以使用勾股定理得到,，所以本題中求解的問題實質上就是求這兩個直角三角形的斜邊長之和最小。在圖形中延長至點，使得,連接 ，由三角形兩邊之和大于第三邊可知當三點共線時，最短。所以最小值就是線段的長度。下面求解，延長至點，使得且，連接，此時構出一個直角三角形即，在這個直角三角形中,所以的最小值為?？梢?挖掘代數(shù)式的幾何意義,數(shù)形結合起到了鬼斧神工的妙用。因此在教學中要有意識地去體現(xiàn)和解釋數(shù)學知識中抽象概念和形象事物之間的聯(lián)系，提高學生的數(shù)學思維，促使學生對概念的認識從感性上升到理性