弗賴登塔爾的數(shù)學教育思想

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)弗賴登塔爾的數(shù)學教育思想 荷蘭數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾是國際上知名的數(shù)學教育方面的權威學者。在他擔任國際數(shù)學教育委員會(1CMl)主席期間，召開了第一屆國際數(shù)學教育大會(ICME1)，并創(chuàng)辦了Educational Studies in Mathematics雜志，現(xiàn)任ICMI主席(巴黎十一大學校長)加亨(Kahane)教授曾評價說“對于數(shù)學教育，本世紀的上半葉Felix Klein做出了不朽的功績；本世紀的下半葉Hans Freudenthal做出了巨大的貢獻?！?/p>

2、 作為一位數(shù)學家，弗賴登塔爾30年代就享有盛譽，從50年代起就逐漸轉向數(shù)學教育的研究，形成了他自己的獨到的觀點。他的數(shù)學教育理論與思想，完全是從數(shù)學教育的實際出發(fā)，用數(shù)學家和數(shù)學教師的眼光審視一切，可以說已經(jīng)擺脫了“教育學”，(或“心理學”)加數(shù)學例子這種“傳統(tǒng)的”數(shù)學教育研究模式，抽象概括成他獨有的系統(tǒng)見解，這也許是他最重要的貢獻，也正是我們特別需要借鑒之處。第一節(jié) 關于現(xiàn)代數(shù)學特性的論述 數(shù)學教育的研究不能離開它的對象數(shù)學的特有規(guī)律，進入20世紀以來，數(shù)學發(fā)展的突飛猛進，迫使當代社會的數(shù)學教育必須充分考慮到現(xiàn)代數(shù)學的特點。為此，弗賴登塔爾從數(shù)學發(fā)展的歷史出發(fā)，深入研究了數(shù)學的悠久傳統(tǒng)，以及

3、現(xiàn)代數(shù)學形成的背景，提出了現(xiàn)代數(shù)學的轉折點，是否應該以現(xiàn)代實數(shù)理論的誕生和約當(Jordan)的置換群的產(chǎn)生作為標志；或者是另一種看法，那是以著名的布爾巴基(Bourbaki)理論的出現(xiàn)，作為一個新時期的開端?；谶@一分析，弗賴登塔爾認為現(xiàn)代數(shù)學的特性，可以歸結為以下幾個方面： 1數(shù)學表示的再創(chuàng)造與形式化活動。如果認真分析一下近幾十年來數(shù)學的變化，就會發(fā)現(xiàn)變的主要是它的外表形式，而不是它的內容實質。這是一個自然演變的過程，在數(shù)學的各個領域內，逐斬滲透與發(fā)展了各種新知識與新詞匯，最終匯成一個新潮流形式化，這是組織現(xiàn)代數(shù)學的重要方法之一，也是現(xiàn)代數(shù)學的標志之一。事實上，這個形式化過程還在繼續(xù)不斷地

4、演變著，新的形式在不斷地創(chuàng)造著，形式化的進程也許剛開始，它將以更自覺的方式繼續(xù)活動。 微積分的發(fā)展是一個例子，當牛頓、萊布尼茲開始引入微分、積分以及無窮小的時候，這都是一些具有某種直觀背景的模糊觀念。根據(jù)某些實際需要，對它們進行各種描述，以及各種運算；經(jīng)過了一段很長的歷史，才逐漸形成了極限的概念，才有了形式的定義，于是微積分才有嚴密、精確而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的邏輯演繹體系，這是對長期的非形式化運算過程進行形式化改造的結果。 再如表示一個函數(shù)的符號，為什么應該記作f，而不宜寫作f(x)、這個道理很難敘述清楚，尤其是在只涉及幾個具體函數(shù)的有限范圍內，人們很不容易理解它的必要性，可

5、是當你進入泛函分析的領域，要涉及函數(shù)的集合以及它們生成的空間，甚至進一步討論空間之間的映射等等時，這種表達形式的精確化，隨著討論對象的日益抽象，涉及面的日益廣泛，而愈來愈顯出它的迫切性，這時才能體會表示形式的變化是不可避免的。 形式化要求以語言為工具，按邏輯的規(guī)律，有意識地精確地表達嚴密的數(shù)學含義，不容許混淆，也不容許矛盾。換句話說，數(shù)學需要有自己特定的語言，嚴密、精確、完整而且相容。隨著數(shù)學抽象程度的提高，語言表達的嚴密性日益增強，甚至像計算機語言似的向著符號邏輯的趨勢發(fā)展。但這種數(shù)學語言的發(fā)展顯然也不是絕對的，需要有個過程，這也就反映了數(shù)學有各種不同程度的形式化，在特定環(huán)境下，可以為特定的

6、目的，構造不同的形式化語言。 根據(jù)弗賴登塔爾的分析，我們認為現(xiàn)代社會的數(shù)學教育，當然不可能要求一下子飛躍到20世紀數(shù)學發(fā)展的最前沿，以形式化的現(xiàn)代數(shù)學內容，充塞于各種課程、教材之中。因為教育必然有一定的滯后性，兒童、少年的生理、心理發(fā)展規(guī)律，也必須要求以直觀的具體的內容作為抽象的形式的背景與基礎，可是最終應該達到的目的是，使學生理解現(xiàn)代數(shù)學這一以特定的數(shù)學語言表達的形式體系。當然這里有各種不同的要求，因而也要掌握不同層次的形式化，并且運用著不同水平的數(shù)學語言。于是如何根據(jù)學生的情況，培養(yǎng)他們從現(xiàn)實背景中，概括出各種數(shù)學的觀念與運算，熟練地使用各種嚴謹?shù)臄?shù)學語言，有意識地占領并逐步建造起他們頭腦

7、中的不同形式體系，這一形式化活動的過程，就必須貫穿在數(shù)學教育的始終。 2數(shù)學概念的建設方法，從典型的通過外延描述的抽象化，進而轉向實現(xiàn)公理系統(tǒng)的抽象化，承認隱含形式的定義，從而在現(xiàn)代科學方法論的道路上，邁開了決定性的一步。要是把康脫(Cantor)的集合論的創(chuàng)造，作為現(xiàn)代數(shù)學的開端，你就會看到建設概念的典范是通過“外延”來描述一個概念，即描述具有概念所反映的特性的對象全體，由此來了解并掌握這個概念；隨著現(xiàn)代數(shù)學的進展，人們感到通過“外延”的描述，從而形成概念的印象這個方法，在不少情況下難以達到預定的目的；在更多的內容中，人們借助于具有這些特性的所有對象，從各種特殊情況中，描述它們的共性，闡述它

8、們所必須滿足的共有關系，解釋它們所受的相關的約束、限制條件等等，從而抽象出一個更廣泛、更一般的概念，這就是用公設或者是公理方法建立的概念；它的實質就是以隱含的方式描述了所要研究的對象，它并未明確指出概念的“外延”，但卻已經(jīng)規(guī)定了它必須滿足的條件，這就是以隱含的形式作了定義，跳出了亞里土多德的形式邏輯的理論，從而使現(xiàn)代數(shù)學跨上了更高水平的形式體系，就如以布爾巴基為代表的學說，認為整個數(shù)學也只是對“結構”的研究。 從整數(shù)的有序對來建立有理數(shù)，當然需要附上一個等價關系：那就是的充分而又必要條件是adbc(這里a、b、c、d均為整數(shù)，bd0)，于是有理數(shù)就作為是有序整數(shù)對的等價類，這是典型的通過外延的

9、描述來建立有理數(shù)的概念?？墒窃谌旱母拍钚纬芍校瑓s采取了另外的形式，通常是規(guī)定在某個集合中，定義了一個運算，使之符合結合律，并且存在單位元和逆元，于是這個集合就成為群。這樣的定義可以適用于數(shù)域，例如整數(shù)集是個加法群，非零有理數(shù)集是個乘法群；同時，也可以適用于其他的如置換群與變換群，這就是因為在群概念的抽象化過程中，并未明確規(guī)定具有有關特性的對象，而只是隱含地闡述了它們所應該具有的條件。這在希爾伯脫的幾何公理系建立過程中，已經(jīng)充分體現(xiàn)了這種方式，點、直線、平面究競是什么，雖然去掉了像歐幾里德所作的“點是沒有部分的”這類模糊的描述，但也并未給出任何清晰的闡述，卻只是隱含地描述了點、直線、平面之間的關

10、系與性質，而正是這些關系與性質，在演繹推理過程中起了實質性的作用。日常生活中，我們也會有這種體會，就像下棋，人們并不在乎棋子的大小、顏色、甚至質地與形狀，注重的恰恰只是棋子所必須服從的活動規(guī)則。 弗賴登塔爾之所以強調這一特性，正在于他抓住了現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展在方法論上所起的突變。數(shù)學教育本身是個過程，它不僅是傳授知識，更重要的是在教學過程中，讓學生自己親身實踐，而抓住其發(fā)展規(guī)律，學會抽象化、形式化的方法。就我國的數(shù)學教育而言，近年來已開始注意一些現(xiàn)代“結構”、“公理化”思想方法的滲透，但如何抓住其精萃，真正的“滲透”，并且又不至太脫離了具體的現(xiàn)實世界，超越了當前教育的實踐基礎；要使我們的數(shù)學教育腳

11、踏實地地趕上世界潮流，而不僅是囫圇棗地咽下一些新名詞，何況這些數(shù)學“公理”、數(shù)學“結構”，畢竟還需要人們所賴以生存的現(xiàn)實物質世界作為基礎，如果忘記了這個背景，再高深、再嚴密的抽象概念，也難以讓人們掌握與領會。 3傳統(tǒng)的數(shù)學領域之間界限的月趨消失，一貫奉為嚴密性的典范的幾何，表面上看來似乎已經(jīng)喪失了昔日的地位，實質上正是幾何直觀在各個數(shù)學領域之間起著聯(lián)絡的作用；正如康德(Kant)所說：沒有概念的直觀是無用的，沒有直觀的概念是盲目的。當年歐幾里德的幾何原本曾被奉若神明，可是今天，在布爾巴基學派的結構主義數(shù)學中，幾何卻占據(jù)了很少的篇幅，學校數(shù)學教育中，幾何的地位也已岌岌可危，可實際情況又是怎么樣呢

12、? 現(xiàn)代數(shù)學的公理化形式就是來源于希爾伯脫的幾何公理系，幾何的術語如“空間”、“維”、“鄰域”、“映射”、等幾乎滲入了數(shù)學的各個領域復函數(shù)理論的發(fā)展，基礎在于復數(shù)表示為平面的點；代數(shù)方程xn1的意義之闡明，與復數(shù)平面中正n邊形的作法密切相關；集合論的研究更充分顯現(xiàn)出幾何直觀的數(shù)軸、點集、映射、等，如何作為一種重要的組織方法；測度論是在幾何面積概念的基礎上形成的，而拓撲中最有力的代數(shù)方法恰是開始于最基本的形狀多面體的直觀研究。 大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學的概念和問題，都有著一定的幾何背景，有關問題的解決，也常常依賴于頭腦中能否出現(xiàn)清晰的n維空間甚至無限維空間的直觀形象，或是找到適當?shù)膸缀谓忉專瑤缀涡蜗蟪３?/p>

13、致問題解答的途徑。且看愛因斯坦的一段精辟論述：“數(shù)學定理一涉及現(xiàn)實，它就不是必然的，而數(shù)學定理如果必然，它就不涉及現(xiàn)實，公理化的進展就反映在邏輯形式與現(xiàn)實直觀內容的截然分開，”而幾何恰恰是在其間起著啟示、聯(lián)絡、理解，甚至提供方法的作用，在界限日趨消失的現(xiàn)代數(shù)學的問題、概念與方法的廣闊沙漠中，幾何直觀卻常?？梢蕴崾疚覀?，拯救我們，并告訴我們什么是重要的、有趣的和可以理解的。 從現(xiàn)代數(shù)學反映出的這一特性，給我們提出了兩個方面的問題。多少年來數(shù)學課程的設置常在“分久必合，合久必分”的一對“分”“合”矛盾之間周旋，算術、代數(shù)、幾何、三角、微積分、這一系列的學科，反映了數(shù)學發(fā)展史中各個不同階段；不同側面

14、的情況，它們自有其各自的特點與規(guī)律；再結合學生的認識發(fā)展規(guī)律與認知過程，更需根據(jù)教學的規(guī)律來作出課程的設計，在不同時期側重于不同方面是完全應該的；但總的目標是顯然的，即使分也不能一分到底，完全分家，總還應該將數(shù)學視作為一個整體；當學生運用數(shù)學這個工具以解決問題時，就必須善于綜合地應用代數(shù)、幾何、三角、等各種方法，應該使之互相滲透，互相結合，從中找出最佳的組合，而不是互相割裂，生搬硬套。 另一個問題則是對于幾何教育在數(shù)學教育中的地位、作用問題，這同樣是多年來爭論不休，各不相讓的問題，叫了多少年的“歐幾里德滾出去”的口號，可是仍有不少人認為，任何數(shù)學問題。最終還是需要建立在幾何的基礎上，這個話從現(xiàn)

15、代數(shù)學發(fā)展的特性分析，似乎也有它一定的道理。當然幾何究竟應該處于怎樣一個恰當?shù)牡匚唬跀?shù)學體系的教學中，可以起什么樣的作用，到底怎樣才能使幾何直觀或是公理化思想，在人們學習數(shù)學的過程中，生根開花，充分發(fā)揮它的效用，這自然也是研究數(shù)學教育所必須面對的重要問題。 4相對于傳統(tǒng)數(shù)學中對算法數(shù)學的強調，應該認為現(xiàn)代數(shù)學更重視概念數(shù)學，或者說是思辨數(shù)學?，F(xiàn)代數(shù)學中開始了現(xiàn)代化進程的主要標志集合論、抽象代數(shù)和分析、拓撲等都是概念，思辨的噴發(fā)，它沖破了傳統(tǒng)數(shù)學的僵化外殼，但是每個概念的革新，都包含著自身的算法萌芽，這是數(shù)學發(fā)展的道路。算法數(shù)學與思辯數(shù)學之間是一個相對的、辯證的關系，這并不等同于新與舊，高與

16、低；概念數(shù)學果然體現(xiàn)了機械操作運算的突破，提高了理論的深度；而算法數(shù)學則意味著鞏固，因為它提供了技術方法，可以探索更進一步的概念深度，同時也為了有個廣闊的平臺為基礎，可以跳導更高。 一個典型的例子，相同數(shù)量的一杯白酒與一杯紅酒，取一匙白酒倒入紅酒內，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒內，試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反?通常的解法是：假設兩酒杯容量均為a，一匙的容量為b,則第一次動作后，白酒杯中所含白酒量為a-b，第二次動作后，不少人會在計算過程中擱淺、碰壁。在解此題時，很少人會作這樣的推理：兩個杯子最終還是含有相同數(shù)量的酒，如果想象每個杯子中白酒和紅酒是分開的

17、，那么白酒杯中的紅酒就是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現(xiàn)在正好被白酒所填補，這樣就可以馬上得出結論：白酒杯中所含紅酒的量與紅酒杯中所含白酒的量應該是一樣多。這里的前一種解法是算法的，而后一種解法就是思辨的。 在數(shù)學發(fā)展的歷史上，算法曾經(jīng)發(fā)揮了極大的威力。韋達(Vieta)的代數(shù)，笛卡爾的解析幾何，萊布尼茲的微積分，都是這方面的出色成果，近年來的同調論以及同態(tài)圖解法也是驚人的例子，算法數(shù)學確實有其迷人之處，通過算法的操作往往可以增加人們的自信與能力。數(shù)學發(fā)展的歷史，當然也反映了沉迷于算法之中，會使人們的思想受到束縛與桎梏，必須跳出這個圈子，才能在數(shù)學的視野范圍上有所拓廣、有所深入，墨守成規(guī)地機

18、械操作，必須隨之以概念的革新，思維的組織，形成新的結構與新的體系。集合論的誕生，公理系統(tǒng)的建立，布爾巴基學派的出現(xiàn)，又證明了這一點。 如何根據(jù)算法的數(shù)學與思辨的數(shù)學這一辯證關系，來組織我們的數(shù)學教育，也是經(jīng)常使人感到困惑的問題之一。其實這個問題，就是知識與技能的關系，是強調概念，強調理解，還是著重運算，著重操作?有人認為理解是基礎，有人又主張熟能生巧。在我國的中小學數(shù)學教育中，似乎也不乏這方面的頗具說服力的例子，算術中的九九表，分數(shù)的運算；國外對于計算器使用的教育等，看來也必須用辯證的方法來處理這一辯證的關系，應該使我們的數(shù)學教育，能在算法的數(shù)學與思辨的數(shù)學兩方面，都給學生以足夠的訓練與培養(yǎng)，

19、更重要的還在于，要使學生能夠靈活地綜合地運用于實踐之中。第二節(jié) 關于數(shù)學教育目的的探討 學習數(shù)學究竟是為了什么?進行數(shù)學教育，最終要達到什么效果?弗賴登塔爾認為，提出數(shù)學教育的目的，必須考慮到社會背景。事實很清楚，數(shù)學教育的目的必須隨著時代的變化而變化，它也必然受到社會條件的約束與限制。例如，當前已經(jīng)進入了計算機時代，我們是否還要將算術的單純計算技能作為基本的目的?這是否還有教育價值? 另一方面，在概率與數(shù)理統(tǒng)計取得迅速進展的情況下，我們的數(shù)學教育是否還能閉眼不看這一事實，而仍然抱住了確定性數(shù)學作為唯一的指望?那就是說，數(shù)學本身的飛躍發(fā)展與變化，自然也影響到數(shù)學教育的目的，因為我們畢竟是要讓學

20、生能運用數(shù)學來解決社會的實際問題?？墒?，數(shù)學有著如此廣泛的應用，究竟教到哪個范圍才是最合適的? 再一個問題就是學生的情況，因為需要是一會事，可能又是另一會事，這依賴于學生的接受能力，是否能理解某些數(shù)學內容，當然這也必須包括教學過程中所作出的各種努力；就像有些試驗聲稱小學就可以教群論，這恐怕是一種過于夸張的說法，如果僅僅是用幾個特殊的群進行一些具體運算，恐伯只是行家才知道他們在學習群論，對學生來說，這只是一些有用的學習活動，但并未理解它的真正實質。 弗賴登塔爾對通常提到的一些數(shù)學教育的目的，進行了仔細的分析與探討： 1掌握數(shù)學的整個體系 因為數(shù)學的應用廣泛，又有高度的靈活性，每個人將來究竟需要用

21、到哪些概念和技能，難以預料，于是只能根據(jù)數(shù)學內在的體系出發(fā)，希望通過數(shù)學教育能夠掌握數(shù)學的整個結構，所教的數(shù)學內容必須符合數(shù)學體系的要求，能夠緊密地組合成一個整體，彼此聯(lián)系密切。 這里必須注意的一點是，數(shù)學教育的目的絕對不是為了培養(yǎng)數(shù)學家，大多數(shù)人只需要用到一些簡單的數(shù)學，因為數(shù)學已經(jīng)成人類生存所不可缺少的一個方面，這就是一般的數(shù)學教育的目的。所以如果過于強調數(shù)學體系，以之作為數(shù)學教育的最終目的，那不恰當?shù)模貏e是如果僅僅以數(shù)學體系來決定教學內容的取舍，那必然會違反教學法的規(guī)律；甚至引起學生反感。 這種目的的提出，一般都出自于專家權威，他們更多地傾向于培養(yǎng)數(shù)學家，更多地著眼于數(shù)學的嚴密與完整，

22、強調追求數(shù)學的美與魅力，但卻往往忽略了社會的要求與學生的實際。 2學會數(shù)學的實際應用 應該知道，從過去、現(xiàn)在一直到未來，教數(shù)學的教室不可能浮在半空中，而學數(shù)學的學生也必然是屬于社會的，認真考慮數(shù)學在社會中扮演的角色，應該是數(shù)學教育的首要目的,也就是必須學會數(shù)學在解決實際問題中的作用、會運用數(shù)學知識于具體現(xiàn)實，而不是一味追求完整的數(shù)學體系。 大家都同意，教數(shù)學就必須教互相連貫的材料，而不是孤立的片斷，但這并非只限于數(shù)學內部的邏輯聯(lián)系，恐怕更重要的是數(shù)學與外部的聯(lián)系。當然這也不是把數(shù)學與某種特定的應用捆綁在一起、那樣會使數(shù)學僵化，而數(shù)學的最大特點就是靈活性。所以一般說來,還是先考慮內部的聯(lián)系，但卻

23、不是勉強生硬的或是過于形式的，應該在現(xiàn)實的基礎上，自然地形成這種內部與外部的聯(lián)系，譬如說通過數(shù)學與其他自然科學的生動聯(lián)系，目前物理、化學的教學與數(shù)學的教學顯然是互相割裂、各行其是的，尤其在教師培訓工作中，問題更為嚴重。 了解數(shù)學與外界的豐富聯(lián)系，不僅使數(shù)學成為應用于實際的銳利工具，而且將會使人們所掌握的知識長期地富有活力，可以斷地聯(lián)系實際、發(fā)揮作用，而不是將數(shù)學成為供奉于殿堂之上、脫離現(xiàn)實而保持其神圣不對侵犯的演繹體系形式，這是完全不符合當前社會的迫切需要的。 3數(shù)學作為思維的訓練 自古以來就將數(shù)學作為“智力的磨刀石”，認為對所有的人而言，數(shù)學都是一種不可缺少的思維訓練，甚至還強調數(shù)學可以訓練

24、人們的邏輯思維。從18世紀拿破侖的軍事勝利，到20世紀蘇聯(lián)的衛(wèi)星上天，似乎都證明了這個結論。 嚴格說來，究竟什么是邏輯思維?是否存在思維的訓練?數(shù)學又是否是其中的一種?甚至是最好的一種?這些都是很難回答的問題。因為無人能證明，一個好的數(shù)學家在其他科學領域中也必然會有很高的成就，也不知道數(shù)學天才是否是一般天才所必須具備的特征；同樣也無法使人相信，數(shù)學家的超人智力完全是由數(shù)學所決定的，因為誰也不知道，如果數(shù)學家不學數(shù)學而去學其他東西，又會有什么樣的結果。 弗賴登塔爾多次給大學數(shù)學、物理系一、二年級的學生以及中學生提出以下問題： (1)詩人中最偉大的畫家與畫家中最偉大的詩人，是否同一個人? (2)詩

25、人中最老的畫家與畫家中最老的詩人，是否同一個人? (3)如果詩人中只有一個畫家，那么畫家中是否只有一個詩人，他們是否同一個人? (4)二個小鎮(zhèn)上有許多房子，房子里有許多桌子，對任意n1，2，3，下列斷言成立：如果一座房子中有n條腿的桌子，那里就沒有多于n條腿的桌子問以下命題是否成立?對nl，2，3，如果一座房子中有n條腿的桌子，那里就沒有少于n條腿的桌子 (5)一個籃子里有各種不同顏色和不同形狀的物體，試問籃子里是否一定有兩件物體，它們的顏色和形狀都不相同? 試驗結果的事實證明，受過數(shù)學教育以后，對上述問題的看法、理解與回答，都有很大長進，可見，數(shù)學教育與邏輯思維還是有著一定的聯(lián)系。問題在于，

26、如何找出它們之間的本質聯(lián)系以及內在規(guī)律，這也許需要從心理學、認識論的角度，對此作更進一步的探討。 4數(shù)學作為篩選的工具 長久以來，在各種領域內，都將數(shù)學作為一種選擇方法，不僅是科學、技術、醫(yī)學的學生，要通過這個考驗，甚至對大多數(shù)人文學科的學生，也有一定的數(shù)學要求；于是數(shù)學教育的目的，就是在數(shù)學教學的基礎上挑選學生，因為人們認為數(shù)學適宜于作為一種方法，以測定學生的智力與才能，它比其他學科，甚至比智力測驗更可信，更容易使用。 同樣的問題存在著。每個教師都堅信：誰的數(shù)學學得好，那他在其他領域中通常也學得好；事實是誰也不知道，如果他從未學過數(shù)學，是否其他領域就一定學不好。這和前面提到的數(shù)學作為思維的訓

27、練，遇到了同樣的困難。 特別成問題的是，這種篩選工具的作用，進一步又發(fā)展成為數(shù)學教育的目的似乎就是為了考試，還不僅是數(shù)學，其他科目也處在同樣的危險之中，那就是為了考試而教學。社會本有各種不同的需要，也有各種不同的層次，人們必須通過形形色色的入場考試，即使社會差異會逐漸消失，但社會總是要對它的成員進行各種挑選，以保證合理的社會分工，因此篩選工具是必須的，考試也是必要的，但如果說學生學習只是為了一個分數(shù)，而教師的職責也只是在給分寬嚴之間進行一個最佳選擇，那就與數(shù)學教育的目的相距太遠了。 5培養(yǎng)解決問題的能力 人們往往對數(shù)學給以高度評價，因為它可以解決許多問題，從日常生活中常常遇見的數(shù)值計算，各種神

28、秘的魔術與游戲，一直到高精尖的領域，從計算機直到火箭發(fā)射，都可以發(fā)揮與施展數(shù)學的魔力，因而使人對數(shù)學產(chǎn)生了極高的信念。數(shù)學可以訓練語言的表達，以最精確、簡潔的語言來描述現(xiàn)象，數(shù)學可以使問題簡化，又能將問題推廣，使之一般化，這樣數(shù)學就從多個側面，給人們提供了解決各種問題的手段、背景，以至思維的方法，這就為綜合地分析各種因素，順利地解決各種實際問題，創(chuàng)造了條件，培養(yǎng)了能力。 當然需要考慮數(shù)學教育究竟能夠培養(yǎng)哪些能力，人們解決問題所需要的不僅是單純的數(shù)學知識，也許更重要的是人們的思想方法，分析、綜合、推理、否定以及演繹、歸納、類比等等，似乎都與數(shù)學有著天然緊密的聯(lián)系,數(shù)學究竟能否在這些方法上起巨大的

29、影響?另一方面,問題有著多方面背景,包括各種所謂非智力因素,數(shù)學教育能否在這些方面,提供綜合的幫助,而使學生確實通過數(shù)學的學習,能夠在解決問題的能力這方面獲得培養(yǎng)與提高。 根據(jù)以上的探討，結合我國的實際情況，這幾個方面的目的都有它的道理，也應該作為我國數(shù)學教育的目的，只是隨著義務制教育的普及，根據(jù)各個不同的年齡階段，是否可以在各個方面，有不同的側重點，譬如對義務教育制來說，應該特別強調實際應用，因為那是全社會公民必備的訓練，社會價值需突出；對于高中準備繼續(xù)升入大學的，應該加強一些對數(shù)學整個體系的要求，在知識的邏輯結構、演繹推理方面適當加強；關于思維訓練及解決問題的能力這兩方面，必須作深入探討，

30、掌握其確切規(guī)律，才能做到這些；至于數(shù)學作為篩選工具的這一職能，不應放在過高的地位，為了考試而學數(shù)學，那就違背數(shù)學教育的本意了。第三節(jié) 關于數(shù)學教學原則的設想 弗賴登塔爾回顧了數(shù)學發(fā)展的歷史，研究了數(shù)學的特性，特別是數(shù)學的嚴密演繹理論對經(jīng)驗的指導作用，理性與觀察的結合關系，為了使人們更透徹、更合乎邏輯地分析自然，從而促使在極端理論與極端實際的數(shù)學現(xiàn)象之間，實現(xiàn)一個連續(xù)的過渡，他努力探索著數(shù)學教育的途徑、內容與方法。 弗賴登塔爾認為，人類歷史必然是一個前進的歷史，只有突破了、對傳統(tǒng)、對權威的迷信，才能充分發(fā)揮科學的創(chuàng)造性；科學是一種活動，科學不是教出來的，也不是學出來的，科學是靠研究出來的；因而學

31、校的教學必須由被動地學轉為主動地獲得，學生應該成為教師的合作者，通過自身的實踐活動來主動獲取知識。 這樣，教育的任務，首先就應當為青年創(chuàng)造機會，讓他們充滿信心，在自身活動的過程中，繼承傳統(tǒng)，學習科學，獲得知識；另一方面，由于社會在不斷前進，人們就必須不斷學習。因此，教育中更重要的一個問題，并不是教的內容；而是如何掌握與操縱這些內容，換句話說，要讓學生學會掌握方法，那是更根本的東西。 根據(jù)這些考慮，弗氏從數(shù)學教育的特點出發(fā)，提出了下列幾個數(shù)學教學的原則： 1“數(shù)學現(xiàn)實”原則 數(shù)學來源于現(xiàn)實，也必須扎根于現(xiàn)實，并且應用于現(xiàn)實；這是弗賴登塔爾的基本出發(fā)點，也是我們歷來提倡的基本思想；確實，數(shù)學不是符

32、號的游戲，而是現(xiàn)實世界中人類經(jīng)驗的總結。根據(jù)數(shù)學發(fā)展的歷史，無論是數(shù)學的概念，還是數(shù)學的運算與規(guī)則，都是由于現(xiàn)實世界的實際需要而形成的。數(shù)學教育如果脫離了那些豐富多采而又錯綜復雜的背景材料，就將成為“無源之水，無本之木”。 另一方面，弗氏也認為數(shù)學是充滿了各種關系的科學，通過與不同領域的多種形式的外部聯(lián)系，不斷地充實和豐富著數(shù)學的內容；與此同時，由于數(shù)學內在的聯(lián)系，形成了自身獨特的規(guī)律，進而發(fā)展成為嚴謹?shù)男问竭壿嬔堇[體系。因此，數(shù)學教育又應該給予學生數(shù)學的整個體系充滿著各種各樣內在聯(lián)系與外部關系的整體結構。 弗氏的另一個基本主張是：數(shù)學應該是屬于所有人的，我們必須將數(shù)學教給所有人。這是很重要的

33、，在我國這一想法還未能被普遍接受，實際上，對于少數(shù)數(shù)學家來說，抽象的形式體系，嚴密的邏輯結構，以及涉及內在聯(lián)系的規(guī)律，也許是最為本質、最為完美也是最感興趣的東西?？墒菍τ诖蠖鄶?shù)人而言，掌握數(shù)學與外部世界的密切關系，從而獲得適應于當前社會的生存與生活，并進而能夠改革社會促使其進一步發(fā)展的能力，將是更為重要的。為此，弗賴登塔爾堅持主張：數(shù)學教育體系的內容應該是與現(xiàn)實密切聯(lián)系的數(shù)學，能夠在實際中得到應用的數(shù)學，即“現(xiàn)實的數(shù)學”。如果過于強調了數(shù)學的抽象形式，忽視了生動的具體模型，過于集中于內在的邏輯聯(lián)系，割斷了與外部現(xiàn)實的密切關系，那必然會給數(shù)學教育帶來極大的損害。70年代“新數(shù)學”運動的失敗就是個

34、明證。 如何理解“現(xiàn)實”?不同的社會需要是否就是“現(xiàn)實”?將“現(xiàn)實”等同于實際的社會生產(chǎn)活動，這是一種片面的理解。根據(jù)英國的Cockcmft報告，他們在進行了比較廣泛的調查、分析了一些比較實際的資料之后提出，人們所需要的數(shù)學可以分為三種水平。 第一種是日常生活的需要，從個人消費、家庭開支到國家建設，處處都要涉及各種數(shù)字、圖表、測量等問題，這些大多是比較簡單的數(shù)學知識，但卻是每個人都必須知道的。 第二種是不同的技術或者說是各種職業(yè)的需要，從工程技術人員、農(nóng)業(yè)技師到各行業(yè)的服務人員，在相當廣泛的不同領域內，從事各種不同性質工作的人，從各個不同方向，對數(shù)學知識提出了種種要求，當然其中也含有某些共同部

35、分。 第三種是為進一步學習并從事高水平研究工作的需要，包括范圍很大，差別也很大，未來的科學家、企業(yè)家、管理學家等，都需要與各個領域相關的不同分支的數(shù)學知識，他們需要共同的基礎及類似的數(shù)學思想方法，但卻涉及到千變萬化的具體內容。 數(shù)學教育應該為所有的人服務，應該滿足全社會各種領域的人對數(shù)學的不同水平的需求。數(shù)學教育應為不同的人提供不同的數(shù)學修養(yǎng)，從而為每個人培養(yǎng)適合于他所從事的不同專業(yè)所必需的數(shù)學態(tài)勢，使其能順利地處理有關的各種數(shù)學問題。為此，弗賴登塔爾的一個基本結論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數(shù)學概念、它的運算方法、規(guī)律和有關的數(shù)學知識結構。這就

36、是說，每個人都有自己的一套“數(shù)學現(xiàn)實”。從這個意義上說，所謂“現(xiàn)實”不一定限于具體的事物，作為屬于這個現(xiàn)實世界的數(shù)學本身，也是“現(xiàn)實”的一部分，或者可以說，每個人也都有自己所接觸到的特定的“數(shù)學現(xiàn)實”。大多數(shù)人的數(shù)學現(xiàn)實世界可能只限于數(shù)和簡單的幾何形狀以及它們的運算，另一些人可能需要熟悉某些簡單的函數(shù)與比較復雜的幾何，至于一個數(shù)學家的數(shù)學現(xiàn)實可能就要包含Hilbert空間的算，子、拓撲學以及纖維叢等等。 數(shù)學教育的任務就在于，隨著學生們所接觸的客觀世界越來越廣泛，應該確定各類學生在不同階段必須達到的“數(shù)學現(xiàn)實”，并且根據(jù)學生所實際擁有的“數(shù)學現(xiàn)實”，采取相應的方法予以豐富，予以擴展，從而使學生

37、逐步提高所具有的“數(shù)學現(xiàn)實”的程度并擴充其范圍。通過這樣的過程，數(shù)學教育將隨著不斷地擴展的現(xiàn)實發(fā)展，同時數(shù)學教育本身又促使了現(xiàn)實的擴展，正象數(shù)學與現(xiàn)實世界的辯證關系一樣，數(shù)學教育也應該符合這樣的規(guī)律。 一些具體的例子如下：通過公共汽車上下車人數(shù)的變化引入整數(shù)的加減法，并找出運算規(guī)律；借助學生上學乘汽車、騎自行車或步行等多種交通工具以及途中出現(xiàn)的各種情況，介紹各種類型的圖象表示、解析表示，進一步可介紹變化率以及斜率等概念及有關性質；還可以從商店出售各種不同牌子、不同規(guī)格的商品所獲得的利潤計算，引進矩陣的乘法概念，以及它的運算法則；以及根據(jù)血壓的變化介紹一般周期函數(shù)的概念，再進到更有規(guī)律的正弦函數(shù)

38、及其性質；或者從物質的生長率引進指數(shù)函數(shù)概念，從而導出對數(shù)函數(shù)等。 由于人們對數(shù)學需求不盡相同，各人在不同階段又有特定的數(shù)學現(xiàn)實，弗賴登塔爾認為，在現(xiàn)實背景材料的使用上有下述三種不同的水平： 第一級是在實際問題中直接包含著有關的數(shù)學運算，只要通過簡單的變換或過渡，就可以從實際問題求得相應的數(shù)學問題。在這里，具體的現(xiàn)實問題起著核心作用。 第二級是提出了某個現(xiàn)實問題，希望學生能夠找出與之有關的數(shù)學，加以組織，建立結構，從而解決問題。這里需要運用數(shù)學作為工具來組織現(xiàn)實問題并予以解決，因而具體的實際問題是起著實質性的作用。 第三級則是指出某個數(shù)學概念或是描述了某個數(shù)學過程的特征，由此引進新的數(shù)學概念或

39、是構造新的數(shù)學模型，在這兒所提供的現(xiàn)實背景材料已經(jīng)從通常的具體客觀世界中抽象出來。 綜上所述，弗賴登塔爾提的“數(shù)學現(xiàn)實”原則，和我們通常所說的理論聯(lián)系實際有原則的區(qū)別，有其獨特的含義和理論深度，值得我們借鑒。 首先，弗氏所說的“數(shù)學現(xiàn)實”，是客觀現(xiàn)實與人的數(shù)學認識的統(tǒng)一體，并非先有了一個”理論”，然后去聯(lián)系一下“實際”，也不是從具體例子引入，然后做幾個應用題就算完事。所謂“數(shù)學現(xiàn)實”乃是人們用數(shù)學概念、數(shù)學方法對客觀事物的認識的總體，其中既含有客觀世界的現(xiàn)實情況，也包括學生個人用自己的數(shù)學水平觀察這些事物所獲得的認識。我們習慣于把課本上的知識籠統(tǒng)稱為“理論”，而把“實際”狹隘地理解為“生產(chǎn)實際

40、”，其實是不妥當?shù)摹?其次，弗氏認為“每個人都有自己的數(shù)學現(xiàn)實”，這十分重要，這也許和我們常說的“從學生實際出發(fā)”差不多，數(shù)學教育當然要根據(jù)學生的“數(shù)學現(xiàn)實”來進行。學生的“實際”知識有多少?學生的“數(shù)學水平”有多高?學生的“日常生活常識”有多廣?這些都是教師面對的“現(xiàn)實”，如果我們簡單地將“課本上定理”和“應用題”聯(lián)系起來，那樣的教學未免太狹隘。例如，在荷蘭教材中，講函數(shù)概念并不從映射出發(fā)，用雙射、單射把學生弄得暈頭轉向，而是化許多時間用于制作圖表、畫函數(shù)圖象，用距離(s)與時間(t)的關系圖表示一個學生走路、等車、乘車、半路回家等等日常生活實際，每個學生都可根據(jù)自己上學的情形來畫草圖，定函

41、數(shù)。 再次，弗氏主張客觀現(xiàn)實材料和數(shù)學知識的現(xiàn)實彼此溶為一體，你中有我，我中有你，密切不可分；我們的傳統(tǒng)觀念是以理論知識的邏輯展開為唯一線索，有些地方“聯(lián)系”一下“實際”，這種聯(lián)系往往是“節(jié)外生枝”式的，不被重視，頂多搞成一條“美麗的尾巴”，核心還是“理論第一，這當然和考試制度有關，但也不能不說和教育思想的陳舊有關。弗氏的“數(shù)學現(xiàn)實”原則，主張把客觀現(xiàn)實和知識體系溶為一體，教學過程應該經(jīng)歷從現(xiàn)實背景中抽象出數(shù)學知識的全過程，著眼于能力。 2“數(shù)學化”原則 弗賴登塔爾的名言是：與其說是學習數(shù)學，還不如說是學習“數(shù)學化”；與其說是學習公理系統(tǒng)；還不組說是學習“公理化”；與其說是學習形式體系。還不如

42、說是學習“形式化”這是頗有見地的。他認為：人們運用數(shù)學的方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，這個過程就是數(shù)學化。簡單地說，數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學化。 數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展本身就是一個數(shù)學化的過程，人們從手指或石塊的集合形成數(shù)的概念，從測量、繪畫形成圖形的概念，這是數(shù)學化。數(shù)學家從具體的置換群與幾何變換群抽象出群的一般概念，這也是數(shù)學化。 數(shù)學的整個體系，作為充滿著各種各樣內在聯(lián)系與外部關系的整體結構，它并非一個僵硬的、靜止的骨架，它是在與現(xiàn)實世界的各個領域的密切聯(lián)系過程中發(fā)生、形成并發(fā)展起來的。就象線性函數(shù)起始于自然和社會中的比例關系，數(shù)量積開始于力學，以及導數(shù)開始于

43、速度、密度、加速度等，可以這么說，整個數(shù)學體系的形成就是數(shù)學化的結果。數(shù)學教育應該尊重數(shù)學的傳統(tǒng)，要按照歷史的本來面目，根據(jù)數(shù)學的發(fā)展規(guī)律來進行。當兒童通過模仿學會計數(shù)時，當他們把兩組具體對象的集合放在一起而引出加法規(guī)律時，這實質上是歷史上現(xiàn)實世界數(shù)學化過程的再現(xiàn)，我們當然沒有必要也沒有可能將數(shù)學教育變成歷史發(fā)展過程的機械重復，但確實必須也可以從中獲得很好的借鑒。事實證明，只有將數(shù)學與它有關的現(xiàn)實世界背景密切聯(lián)結在一起，也就是說只有通過“數(shù)學化”的途徑來進行數(shù)學教育，才能使學生真正獲得充滿著關系的、富有生命力的數(shù)學知識，使他們不僅理解這些知識，而且能夠應用。 前已指出：每個人都有不同的數(shù)學現(xiàn)實

44、世界，因此數(shù)學化有不同的層次，關于現(xiàn)實世界與數(shù)學化的關系以及它的不同水平的特點，荷蘭的數(shù)學試驗教材以上頁框圖體現(xiàn)這一總體結構。 首先，現(xiàn)實世界自始至終貫串在數(shù)學化之中，我們常把由現(xiàn)實世界直接形成數(shù)學概念的過程稱為“概念性的數(shù)學化”，它往往隨著不同的認知水平而逐漸得到提高；與此同時，對這個概念的形成過程進行反思，作更為抽象與形式的加工，再將它用來解決現(xiàn)實世界的問題；通過現(xiàn)實世界的調節(jié)作用，而使數(shù)學化得到進一步的發(fā)展與演化，而由此形成的新的方法手段又能再用于組織更高一層的現(xiàn)實世界，并產(chǎn)生新的數(shù)學概念?，F(xiàn)實世界的數(shù)學化就是這樣，通過兩者交融在一起，不斷地相互反饋信息，促使數(shù)學現(xiàn)實世界與數(shù)學化繼續(xù)不斷

45、地發(fā)展與提高，這就是數(shù)學科學不斷發(fā)展的動力，而這也同樣應該成為數(shù)學教育發(fā)展的動力。 其次，反思是數(shù)學化過程中的一種重要活動。它是數(shù)學活動的核心和動力。數(shù)學的不少發(fā)現(xiàn)來自于直覺，而分析直覺理解的原因是通向數(shù)學化的道路必須讓學生學會反思，對自己的判斷與活動甚至語言表達進行思考并加以證實，以便有意識地了解自身行為后面潛藏的實質，只有這樣的數(shù)學教育以反思為核心才能使學生真正深入到數(shù)學化過程之中，也才能真正抓住數(shù)學思維的內在實質。 現(xiàn)代化數(shù)學往往借助數(shù)學方法來為各種錯綜復雜的現(xiàn)象構造相應的數(shù)學模型，這當然是一種數(shù)學化，作為數(shù)學教師誰都不會滿足于將各種現(xiàn)成的數(shù)學模型，硬灌給學生，去塞滿學生的腦袋；人們希望

46、的是學生會運用自己的數(shù)學知識來為具體問題建造新的數(shù)學模型，應該說，數(shù)學教育的目標就在于使學生學會“數(shù)學化”。 弗賴登塔爾關于“數(shù)學化”的論述，可以說把我們通常所說的“數(shù)學抽象性”、“實踐理論實踐”的一般公式更為具體化了。作為一位有成就的數(shù)學家，他用自己的幾十年數(shù)學研究經(jīng)驗，構筑了人們形成數(shù)學概念、擴展數(shù)學知識的實際過程，值得我們參照學習，以下我們來具體地論述兩種常見的“數(shù)學化”過程：公理化和形式化。 人們在長期的實踐中，將直觀樸素的各種幾何命題加以組織、整理、加工，形成歐幾里德公理系統(tǒng)，這一通常稱為公理化的過程，也是一種數(shù)學化。近年來數(shù)學發(fā)展的重要特征之一，就是公理化思想廣泛地滲入各個數(shù)學領域

47、。例如從置換群與幾何變換群形成一般群的公理系統(tǒng)，從實數(shù)域與復數(shù)域建立起一般域的公理系統(tǒng)等等。我們的數(shù)學教育自然不能停留在讓學生的頭腦成為形形色色公理系的倉庫，更重要的任務是必須教會學生能運用自己的數(shù)學思維，對一個數(shù)學領域進行加工、整理，從而獨立地建立起一個公理體系來。也就是說，必須讓學生學會公理化。 如果說公理系統(tǒng)是通過公理化的方法重新組織數(shù)學內容的結果，那么作為數(shù)學抽象性的特點之一的形式體系就是通過形式化的方法重新組織數(shù)學語言的表達，從而建立起來的結構。這種形式體系化，或簡稱形式化，又是另一種數(shù)學化。數(shù)學內容的特殊本質決定了對數(shù)學語言的特殊要求，從日常語言中逐漸獨立出來，引進特定的數(shù)學術語來

48、表達數(shù)學的活動與思想。從希臘人的以字母表點，以文字代數(shù)，到阿拉伯人建立的完整的數(shù)字符號系統(tǒng)，從而使代數(shù)運算及有關的關系形成了完美的體系。17世紀以來，大量新符號的引進，以至近年來將邏輯符號引入了數(shù)學。所有這些都是數(shù)學的形式化過程的逐步提高與發(fā)展，在此過程中數(shù)學科學也進到了一個更高的階段。隨著近年來計算技術的突飛猛進，預計數(shù)學的形式化水平還將達到更高的水平。在數(shù)學教育中，并不是要學生背誦那些形式體系，而應使學生學會形式化，學會用正確的數(shù)學語言來組織并表達數(shù)學的現(xiàn)實內容及內在聯(lián)系。形式化和形式主義是根本不同的，我們不能為形式而形式，使數(shù)學成了無內涵無意義的機械運算、形式游戲。只講“思想體操”，不講

49、“思想內容”，那是“純形式”把戲，不是“形式化”過程。 荷蘭的van Hiele曾經(jīng)首先研究了實現(xiàn)數(shù)學化過程的教學理論，他提出了關于幾何思維的五個水平，這對如何通過數(shù)學化途徑以進行數(shù)學教育是個很好的借鑒。五個水平(1evels)列舉如下(前已提及，這里再作一些具體解釋)： 0水平：直觀(Visualization)。其特征是學生借助直觀，籠統(tǒng)地從整體外表上接受圖形概念，并不理解其構造、關系，也不進行比較。譬如他知道矩形、正方形、菱形和平行四邊形，也會畫這些圖形，但對它們的理解是孤立而不相聯(lián)系的，他認為這些圖形是完全不同的。 1水平：分析(Analysis)。其特征是學生開始識別圖形的構造，互相

50、之間的關系，也能借助于觀察、作圖等方法非正式地建立起圖形的許多性質，但并未掌握其間的必然聯(lián)系。譬如他知道矩形有四個直角、對邊相等、對角線相等，但他并未深入追問這些性質互相之間是否有什么聯(lián)系?對這些性質的掌握只限于各種現(xiàn)象的羅列；再如他完全知道一般的平行四邊形和矩形一樣也具有對邊相等的性質，但他并未想到矩形概念應該從屬于平行四邊形概念。 2水平：抽象(Abstraction)。其特征是學生形成了抽象的定義，也能建立圖形概念與性質之間的邏輯次序，但尚未對演繹的實質含義形成清晰的觀念。根據(jù)思維變化與對象的不同特點，他會混合使用實驗觀察與邏輯推理等各種不同的推導方法，但還沒有理解公理的作用，自然更談不

51、上對數(shù)學內在結構體系的掌握。譬如他知道矩形的定義，也能知道正方形是矩形，也是平行四邊形；他還可以以平行四邊形的某個性質為出發(fā)點，以推出其他的性質；但他還沒有掌握整體的邏輯聯(lián)系，還不知道哪些概念是基本的，而另一些性質卻是派生的。 3水平：演繹(Deduction)。其特征是學生抓住了整個的演繹體系，能在以不定義的基本關系和公理為基礎的數(shù)學體系內，在定義、定理之間進行形式推理，理解構造和發(fā)展整個體系的邏輯結構，能理解并分析相互之間的邏輯關系。譬如他會從不同的定義出發(fā)來研究平行四邊形的所有性質與特征構成的整個系統(tǒng)，甚而揭示各種定義的等價性，他也能理解哪些事實必須當作公理而接受，再在此基礎上導出所有合

52、乎形式邏輯的結論。 4水平：嚴謹(Rigor)，其特征是學生領會了現(xiàn)代公理系統(tǒng)的嚴密性，對于幾何對象的具體性質以及幾何關系的具體含義都可以不作解釋，而是完全抽象地建立一般化的幾何理論，這實質上已經(jīng)將幾何提高到一個廣泛應用的領域。譬如他能比較各種公理體系，并能不用具體的幾何模型來研究各種幾何學。也只有在達到了這一水平的基礎上，才能進而將公理化思想滲透入數(shù)學的各個不同分支，從而使數(shù)學形成一個嚴謹而完美的形式邏輯演繹體系，暫時離開它所依據(jù)的具體現(xiàn)實、客觀事實，而從內在的邏輯聯(lián)系中，進一步探討數(shù)學科學的深奧的本質結構。 根據(jù)兒童的思維發(fā)展與學習過程提出來的這一思維水平理論，正好相應于前面所談的數(shù)學教育

53、中的數(shù)學化原則。一般來說，在某一個水平上進行的組織活動，往往成為下一個水平的研究對象，通過重新組織又提高到一個新的水平。數(shù)學教育這一活動過程，就應該是教師根據(jù)社會現(xiàn)實的需要，兒童認識過程的發(fā)展規(guī)律，在不同階段提出學生應該達到的不同水平，并且引導學生不斷地攀登新的水平；就在這不斷提高水平的過程中，學生研究著各種不同的數(shù)學現(xiàn)實，學會了各種不同層次的數(shù)學化，從而也通過這條途徑掌握了數(shù)學。 為此，在數(shù)學教育中必須強調以下幾點：一是思維的直觀性。抽象而復雜的數(shù)學知識，總以某些具體對象或內容為背景材料，形形色色的不同層次的數(shù)學化，總要以某個相應的數(shù)學現(xiàn)實為出發(fā)點；在教學過程中，時刻牢記學生所擁有的數(shù)學現(xiàn)實

54、，鼓勵學生的直覺思維，盡可能闡明問題的來龍去脈，從而在學生思想中形成一個具體而鮮明的原型，這必然會形成掌握數(shù)學化思想的扎實基礎。二是思維的階段性，處于不同思維水平階段的學生，往往擁有不同層次的數(shù)學現(xiàn)實，掌握著不同形式的數(shù)學語言，也具有不同程度的數(shù)學化水平。一般而言，超越其現(xiàn)有水平而作盲目的跳躍式的提高，往往會適得其反，欲速則不達；或者是僅僅從表面上掌握了某些東西，而對其內在實質卻一無所知或是一知半解。只有遵循思維發(fā)展和認識過程的規(guī)律，在不同的思維水平階段，提出各種不同的數(shù)學化要求，才能真正循序漸進并獲得預期的成果。三是促使和加強學生的反思，直觀的思維會形成很多新的發(fā)現(xiàn)，可這些發(fā)現(xiàn)要成為真理，就

55、要具有邏輯演繹的嚴格依據(jù)，就必須依賴于對自己的判斷、想象進行不斷的反思，以直觀形象為背景，以演繹推理為工具，反復地思考，反復地推敲，一個人對自身活動的反思是一種提高水平的活動，例如學生也許憑眼睛觀察就可以得出平行四邊形對角線互相平分這一直覺形象，可是如果促使學生考慮一下為什么，對這個結論有意識地進行反思，可能會得到意想不到的收獲；有些學生會從邏輯推理的角度，從平行四邊形的性質來推證，因而在建立演繹體系上前進了一步；也有些學生會從圖形結構的眼光，將平行四邊形繞中心旋轉180與自身重合而得出這一結論，如果繼續(xù)將反思推進到更高水平上，就會更進一步發(fā)現(xiàn)對稱、反射以至變換、映射等概念。正是環(huán)繞著這一連串

56、的直覺思維、反思、表達、判斷，不斷地將數(shù)學化過程推向前進，而這也正是數(shù)學教育所追求的。 近年來，關于數(shù)學化的思想正在不斷地進行深入的研究，根據(jù)Treffers和Goffree的提法，數(shù)學化還可以分解為水平的和垂直的兩種成分；如果是從具體的客觀現(xiàn)象中找出數(shù)學的特性，或者通過不同的方式將同一個問題形式化或直觀化，或是在不同的問題中識別其同構的本質，以及將一個現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題或已知的數(shù)學模型等，這些方面都可以理解為同一問題在水平方向的擴展，因而是屬于數(shù)學化的水平的成分。而如果是將某個關系形成為一個公式，或是證明一個定律，或是對同一問題采用不同的模型或對模型進行加強、調整與完善，以至形成一個新的

57、數(shù)學概念，或是由特殊情況經(jīng)過推廣從而建立起一般化的理論等，這些方面就應該看作是某一問題在垂直方向的深入，因而不妨歸諸于數(shù)學化的垂直的成分。 借助手水平的數(shù)學化和垂直的數(shù)學化，我們可以用下列圖表來比較四種不同類型的數(shù)學化途徑：水平的數(shù)學化垂直的數(shù)學化現(xiàn)實的（realistic）+經(jīng)驗的（empiricist）+-構造的（structuralist）-+機械的（mechanistic）-其中“十”號表示對這方面給以更多的注意，而“”號表示較少注意或根本末加注意。當然以上分類也只是相對比較而言，在實際的數(shù)學化過程中，這兩方面的作用相互纏結，關系錯綜復雜，并不能截然分開。 回顧歷史上最早的傳統(tǒng)數(shù)學教育

58、，其做法就是機械的途徑，教師將各種結論灌輸下去，學生被動地接受這些結果，死記硬背，機械模仿，不知道它的來龍去脈，所獲得的只是知識的形式堆砌，既不考慮它有什么用處，也不問它互相之間是否有內在聯(lián)系，可以說很少包含數(shù)學化的成分。以后逐漸有所進步，比較多地考慮到實際的經(jīng)驗，也建立了不少現(xiàn)實的模型，從而進入了經(jīng)驗的途徑，即較多地顧及水平的數(shù)學化，使所獲得的數(shù)學知識具有一定的實用價值，可以解決一些客觀現(xiàn)實中的問題。如有的國家所設置的“消費者數(shù)學”之類，但這些知識又往往流于瑣碎、零星、不成體系，忽視了數(shù)學本身的內在聯(lián)系，尤其是忽略了數(shù)學的邏輯演繹結構，較少注意數(shù)學化的縱深發(fā)展。為了糾正上述偏向，以布爾巴基觀

59、點為代表的“新數(shù)學”運動的做法，就采用了構造的途徑，強調數(shù)學的演繹結構，重視邏輯推理的論證，企圖以結構主義的思想來組織整個數(shù)學教育，以提高抽象的邏輯思維水平，形成嚴謹?shù)难堇[結構體系作為唯一的目標，從而又由一個極端走向了另一個極端，忽視了數(shù)學的現(xiàn)實性，忘卻了數(shù)學教育的根本目標還是要為現(xiàn)實世界服務，而且一味追求抽象，強調嚴謹，也不符合教學規(guī)律與認識規(guī)律。從歷史的經(jīng)驗教訓，我們應該得出這樣的結論，那就是：數(shù)學教育的正確途徑應該該是現(xiàn)實的數(shù)學化途徑，我們所需要的課程體系應該全面而完善地體現(xiàn)數(shù)學化的正確發(fā)展，既要強調現(xiàn)實基礎，又要重視邏輯思維，既要密切注意數(shù)學的外部關系，也要充分體現(xiàn)數(shù)學的內在聯(lián)系，要能

60、將這兩者有機地結合在一起，那才是數(shù)學教育所必須遵循的正確路線。 用上述觀點分析我國的數(shù)學教育現(xiàn)狀，實質上走的是“形式化”、“嚴謹化”的路子，與布爾巴基學派的形式主義做法基本相同(盡管內容上有現(xiàn)代與經(jīng)典之分)，都是忽視“現(xiàn)實應用”，否認“數(shù)學化”過程，以邏輯演繹和形式計算為最終目標，這種數(shù)學教育思想當然是不足取的，弗賴登塔爾的“數(shù)學化”原則應該為我們所借鑒。 首先，弗氏所說的“數(shù)學化”，是數(shù)學抽象發(fā)展與現(xiàn)實世界的緊密結合。它可以描述來自具體問題的數(shù)學模型建立過程，也可以反映一組數(shù)學概念的進一步抽象化過程，找出共性、從而升華到更高水平；按照這樣的原則進行數(shù)學教學，也將使學生在直觀與抽象的結合過程中