2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題一、單選題1如果向量，那么等于ABCDB【詳解】 ,選B.2若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)（）A7B-7C1D-1B【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，再由實(shí)部與虛部相等求得a值.【詳解】因，依題意，實(shí)部與虛部相等，而a是實(shí)數(shù)，則，解得，所以實(shí)數(shù).故選：B3高二（1）班7人宿舍中每個(gè)同學(xué)的身高分別為170，168，172，172，175，176，180，求這7人的第60百分位數(shù)為A168B175C172D176B【分析】將7人的身高從低到高排列，最后由百分位數(shù)的求法求解即可.【詳解】將7人的身高從低到高排列：第5個(gè)數(shù)據(jù)為所求的第6

2、0百分位數(shù)，即這7人的第60百分位數(shù)為故選：B本題主要考查了求百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4已知，且，則（）AB2CDD【分析】先利用向量平行公式求出的值，代回兩向量坐標(biāo)，算出的坐標(biāo)，再利用向量的模公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，所以?，故選：D5我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件，若棱錐的體積為，圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的母線長為（）AB1CDD【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為,則母線長為,高為,由同高的圓錐和棱錐滿足祖

3、暅原理的條件,可知棱錐與圓錐的體積相等,進(jìn)而求解.【詳解】由題,設(shè)圓錐的底面半徑為,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半圓,則母線長為,高為,因?yàn)楝F(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件,所以棱錐與圓錐的體積相等,所以,解得,所以母線長為,故選:D本題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用,考查理解分析能力.6如圖，為正方體，則以下結(jié)論：平面；平面其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3D【分析】對(duì)于，由正方體的性質(zhì)可知，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；對(duì)于，由正方體的性質(zhì)可得，再結(jié)合三垂直線定理可得結(jié)論；對(duì)于，由正方體的性質(zhì)可得，從而可由線面垂直的判定定理得到結(jié)論【詳解】由正方體的性質(zhì)得，所以結(jié)合線面平行的判定定理可得

4、：平面；所以正確由正方體的性質(zhì)得，因?yàn)槭窃诘酌鎯?nèi)的射影，所以由三垂線定理可得：，所以正確由正方體的性質(zhì)得，由可得，所以，同理可得，進(jìn)而結(jié)合線面垂直的判定定理得到：平面，所以正確故選：D7齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬某天，齊王與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出一匹，每匹馬賽一次，贏得兩局者為勝，則田忌獲勝概率為（）ABCDB【分析】設(shè)齊王的三匹馬分別為，田忌的三匹馬分別為，列舉所有比賽的情況，利用古典概型的概率公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)齊王的三匹馬分別為，田忌的三匹馬分別為

5、，所有比賽的情況:：、，齊王獲勝三局；、，齊王獲勝兩局；、，齊王獲勝兩局；、，齊王獲勝兩局；、，田忌獲勝兩局；、，齊王獲勝兩局，共6種情況，則田忌勝1種情況，故概率為故選：B本題考查了古典概型的概率計(jì)算問題，考查了理解辨析和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題目.8在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a1，則ABC面積的取值范圍為ABCDA【分析】由題意首先求得ABC的外接圓半徑，然后將三角形面積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的函數(shù)，由ABC為銳角三角形可得，據(jù)此確定ABC的面積的取值范圍即可.【詳解】由正弦定理可得， ，又為銳角三角形，即，.本題選擇A選項(xiàng).求三角形面積的最大值也是一種常見類

6、型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.二、多選題9在中，若是直角三角形，則k的值可以是（）ABCDBCD由題意，若是直角三角形，分析三個(gè)內(nèi)有都有可能是直角，分別討論三個(gè)角是直角的情況，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式，即可求解.【詳解】若為直角，則即解得若為直角，則即解得若為直角，則，即解得綜合可得，的值可能為故選：本題考查向量垂直的坐標(biāo)公式，考查分類討論思想，考察計(jì)算能力，屬于中等題型.10已知三棱錐ABCD中，BCCD，ABAD，BC1，CD，則（）A三棱錐的外接球的體積為B三棱錐的外接球的體積為C三棱錐的體積的

7、最大值為D三棱錐的體積的最大值為AC【分析】根據(jù)已知條件求得球心的位置，即可求得外接球體積；根據(jù)【詳解】如圖，BCCD，BC1，CD，BD2，ABAD，ABAD，BD的中點(diǎn)O為外接球球心，故半徑為1，體積為 ，當(dāng)面ABD與面CBD相互垂直時(shí)，點(diǎn)A到面BCD的距離最大，故此時(shí)三棱錐的體積最大，此時(shí)高為AOBD1；其最大值為：1BCCD1故選：AC本題考查棱錐外接球體積的計(jì)算，以及棱錐體積的計(jì)算，屬綜合中檔題.11在中，角，的對(duì)邊分別為，若為非零實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）A當(dāng)時(shí)，是直角三角形B當(dāng)時(shí)，是銳角三角形C當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形D當(dāng)時(shí)，是鈍角三角形ABC由題意根據(jù)正弦定理，余弦定理逐一判斷各

8、個(gè)選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)，顯然是直角三角形，故命題正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)，顯然是等腰三角形，說明為銳角，故是銳角三角形，故命題正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)，可得，說明為鈍角，故是鈍角三角形，故命題正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)，此時(shí)，不等構(gòu)成三角形，故命題錯(cuò)誤.故選.本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，再利用余弦定理求出角度的范圍即可判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生對(duì)定理的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、“90后”從事互聯(lián)網(wǎng)行

9、業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中正確的是（）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之間出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人A互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占一半以上B互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)“90后”比“80前”多D互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)“90后”比“80后”多ABC【分析】根據(jù)餅狀圖確定互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占總?cè)藬?shù)比例，即可判斷A;根據(jù)條形圖確定互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例，即可判斷B;根據(jù)條形圖確定互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事運(yùn)營崗位的

10、人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例，根據(jù)餅狀圖確定“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例,兩者比較可判斷C;根據(jù)條形圖確定互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，但“80后”中從事技術(shù)崗位的比例不可確定，即可判斷D.【詳解】由題圖可知，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占總?cè)藬?shù)的56%，超過一半，A正確；互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，超過20%，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員（包括“90后”“80后”“80前”）從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%，B正確；互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事運(yùn)營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，超過“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，且“80前”中從事運(yùn)營崗位

11、的比例未知，C正確；互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，但“80后”中從事技術(shù)崗位的比例未知，D不一定正確故選：ABC本題考查餅狀圖與條形圖，考查數(shù)據(jù)分析與判斷能力，屬基礎(chǔ)題.三、填空題13已知復(fù)數(shù)，_.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再利用模的公式進(jìn)行求解【詳解】解：所以故14設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，若與互斥，與對(duì)立，且，則_【分析】由與對(duì)立可求出，再由與互斥，可得求解.【詳解】與對(duì)立，與互斥，.故答案為.15在平行四邊形ABCD中, AD = 1, , E為CD的中點(diǎn). 若, 則AB的長為_.【詳解】設(shè)AB的長為，因?yàn)?，?/p>

12、以=+1+=1，解得，所以AB的長為.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵.16將正方形沿對(duì)角線折起，并使得平面垂直于平面，直線與所成的角為_.60【分析】將所求異面直線平移到同一個(gè)三角形中，即可求得異面直線所成的角.【詳解】如圖，取，的中點(diǎn)，分別為，則，所以或其補(bǔ)角即為所求的角.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?設(shè)正方形邊長為，所以，則.所以.所以是等邊三角形，.所以直線與所成的角為故 60四、解答題17已知平面向量滿足，且的夾角為.()求的值；()求和夾角的余弦值.()2；().【詳解】試題分析：()利用

13、模長平方與向量的平分相等，將已知兩邊平方展開，得到關(guān)于的方程解之即可；()分別求出和模長以及數(shù)量積，利用數(shù)量積公式求夾角.試題解析：()由已知得，即，解得.()， .又.所以和夾角的余弦值為.18如圖，在四邊形中，.(1)求；(2)若，求的長.(1)(2)3【分析】（1）先求出，在中結(jié)合正弦定理求解即可；（2）根據(jù)題中條件運(yùn)用二倍角公式求出的值，然后在中結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，在中，根?jù)正弦定理知，即，解得.(2)因?yàn)榍?，所?因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理知，即，所以，即，解得或（舍去），所以的長為3.19在一個(gè)選拔項(xiàng)目中，每個(gè)選手都需要進(jìn)行4輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，

14、能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為、，且各輪問題能否正確回答互不影響（）求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率； （）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率；解：（） ；（） 【詳解】（）設(shè)事件表示“該選手能正確回答第i輪問題” 由已知，（）設(shè)事件B表示“該選手進(jìn)入第三輪被淘汰”，則（）設(shè)事件C表示“該選手至多進(jìn)入第三輪考核”，則20如圖，正三棱柱的每條棱的長度都相等，D，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，E是棱上一點(diǎn)，且平面.（1）證明：平面.（2）求四棱錐的體積與三棱柱的體積之比.（1）見解析（2）【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理可得，然后可得E是的中點(diǎn)，

15、然后證明四邊形是平行四邊形，得出即可（2）首先證明平面，設(shè)，然后分別求出四棱錐和三棱柱的體積即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，且平面，所?因?yàn)镈是棱的中點(diǎn)，所以E是的中點(diǎn)，又F是棱的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：因?yàn)镕是棱的中點(diǎn)，所以.又底面，所以，而，所以平面.設(shè)，則，四棱錐的體積，又三棱柱的體積，故.本題考查的是線面平行的證明和幾何體體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.21某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表：初一年級(jí)初二年級(jí)初三年級(jí)女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的頻率是0.19

16、.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？(3)在（2）中，若所抽取的初一年級(jí)、初二年級(jí)、初三年級(jí)三個(gè)年級(jí)學(xué)生的體重的平均數(shù)分別是，方差分別是1，2，3，估計(jì)該校所有學(xué)生體重的平均數(shù)和方差.(1)(2)12(3)平均數(shù)48.75千克，方差62.8125【分析】（1）利用 “全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到的是初二年級(jí)女生的概率”列方程，解方程求得的值.（2）利用分層抽樣的抽樣比，計(jì)算出在初三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù).（3）利用平均數(shù)公式和方差公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得答案【詳解】(1)依題意，所以(2)由初一、初二學(xué)生人數(shù)為，所以初三學(xué)生人數(shù)為人，故用分層抽樣

17、法在全校抽取名學(xué)生,問應(yīng)在初三年級(jí)學(xué)生中抽取名.(3)初一年級(jí)應(yīng)抽取學(xué)生的人數(shù)為，初二年級(jí)應(yīng)抽取學(xué)生的人數(shù)為，初一學(xué)生的樣本記為，方差記為，初二學(xué)生的樣本記為，方差記為，初三學(xué)生的樣本記為，方差記為設(shè)樣本的平均數(shù)為，則，設(shè)樣本的方差為則又，故，同理，因此，所以該校所有學(xué)生體重的平均數(shù)為和方差為.22如圖，在AOB中，AOB90，AO2，OB1AOC可以通過AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且OBOC，動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上（1）求證：平面COD平面AOB；（2）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求二面角BCDO的余弦值；（3）求CD與平面AOB所成的角中最大角的正弦值（1）見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)垂直的

18、判定先證明OC平面AOB，然后證明出平面COD平面AOB；（2）建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別求出平面BCD和平面CDO的法向量，得出二面角的余弦值；（3）法一：用幾何法找O到AB的最小值，求出正弦值法二：利用向量法，建立關(guān)于函數(shù)求最值.【詳解】（1）證明：在AOC中，AOOC，OBOC，且AOOBO，OC平面AOB，又OC平面COD，平面COD平面AOB解：（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，D為AB的中點(diǎn)，O（0，0，0），A（0，0，2），B（0，1，0），C（1，0，0），設(shè)為平面OCD的法向量，即令，則，是平面BCD的一個(gè)法向量，設(shè)為平面OCD的法向量，即令，則，是平面OCD的一個(gè)法向量，二面角BCDO的余弦值為（3）解法一：OC平面AOB，CDO為CD與平面AOB所成