九年級數(shù)學(xué)上冊第二十四章圓【24-2】第四課時切線長定理及三角形的內(nèi)切圓

1、24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系第3課時 切線長定理及三角形的內(nèi)切圓導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)九年級數(shù)學(xué)上（RJ） 教學(xué)課件第二十四章 圓學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握切線長的定義及切線長定理.（重點）2.初步學(xué)會運用切線長定理進行計算與證明. （難點）3.認(rèn)識三角形的內(nèi)切圓及其有關(guān)概念，會作一個 三角形的內(nèi)切圓，掌握內(nèi)心的性質(zhì).（重點）導(dǎo)入新課情境引入同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉(zhuǎn)的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數(shù)學(xué)圖形？講授新課切線長定理及應(yīng)用一互動探究問題1 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點作已知圓的切線(如左圖所示)，如果點P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，

2、可以作幾條？POBAO.PA B P1.切線長的定義： 切線上一點到切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長AO切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量2.切線長與切線的區(qū)別在哪里？知識要點問題2 PA為O的一條切線，沿著直線PO對折，設(shè)圓上與點A重合的點為B OB是O的一條半徑嗎？ PB是O的切線嗎？（利用圖形軸對稱性解釋） PA、PB有何關(guān)系？ APO和BPO有何關(guān)系？O.PABBPOA切線長定理: 過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB分別切O于A、BPA = PBOPA=OPB幾何語言:

3、切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.注意知識要點O.P已知：如圖，PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點.求證：PA=PB，APO=BPO.證明：PA、PB是O的兩條切線，OA=OB，OP=OP，RtOAPRtOBP.PA=PB，APO=BPO.推理驗證AB OAPA，OBPB.想一想：若連接兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分AB.證明：PA、PB是O的切線，點A，B是切點，PA = PB ，OPA=OPB.PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線.OP垂直平分AB.O.PABM典例精析例1 已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD

4、、DA與O分別相切與點E、F、G、H.求證：AB+CD=AD+BC.證明：AB、BC、CD、DA與O分別相切于點E、F、G、H，ABCDOEFGH AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.AB+CD=AD+BC.變式訓(xùn)練如圖，四邊形ABCD是O的外切四邊形，且AB=10，CD=15，則四邊形ABCD的周長為_50例2 為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切，且測得PA=5 cm，求鐵環(huán)的半徑解析：

5、欲求半徑，取圓的圓心為O，連OA，OP，由切線性質(zhì)知OPA為直角三角形，從而在RtOPA中由勾股定理易求得半徑BC在RtOPA中，PA5cm，POA30.OQ解：設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，AB與O相切于點Q，連接OP、OA、OQ.AP、AQ為O的切線，又PAQ18060=120，即鐵環(huán)的半徑為BCOA=2PA=10 cm.PAOQAO60.AO為PAQ的平分線，即PAO=QAO. 切線長定理包括線段相等和角相等兩個結(jié)論，解題時應(yīng)有選擇地應(yīng)用，它是證明線段相等、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù).方法歸納BPOAPA、PB是O的兩條切線，A，B是切點，OA=3.（1）若AP=4，則OP= ；（2）若BPA=6

6、0 ，則OP= .56練一練 小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內(nèi)切圓及作法二互動探究問題1 如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？ OOOO最大的圓與三角形三邊都相切三角形角平分線的這個性質(zhì)，你還記得嗎？問題2 如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？ (1) 如果半徑為r的I與ABC的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？(2) 在ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？ 圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點，這一點與三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角

7、形的三條角平分線的交點.為什么呢？已知：ABC.求作：和ABC的各邊都相切的圓.MND作法：1.作ABC和ACB的平分線BM和CN，交點為O.2.過點O作ODBC，垂足為D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.O就是所求的圓.做一做ABC1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.BACI I是ABC的內(nèi)切圓，點I是ABC的內(nèi)心，ABC是I的外切三角形.知識要點三角形的內(nèi)心的性質(zhì)三BACO問題1 如圖，O是ABC的內(nèi)切圓，那么AO、BO、CO有什么特點？互動探究AO、BO、CO 分別平分CAB、ABC、BCA.B

8、ACO問題2 如圖，O是ABC的內(nèi)切圓，過點O分別作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F、G，那么線段OE、OF、OG之間有什么關(guān)系？EFG解：OE=OF=OG知識要點三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.BACIEFG AI、BI、CI 分別平分CAB、ABC、BCA，IE=IF=IG.例3 如圖，ABC中，B=43，C=61 ，點I是ABC的內(nèi)心，求BIC的度數(shù).解：連接IB，IC.ABCI點I是ABC的內(nèi)心，BI，CI分別平分ABC，ACB.在IBC中，例4 如圖，ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=

9、9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的長.想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？理由是什么？CAB FDEO解:設(shè)AE=x，則AF=x.CD=CE =ACAE=13x， BD=BF=ABAF=9x.由 BD+CD=BC，可得 (13x)+(9x)=14， AF=4，BD=5，CE=9.方法小結(jié)：關(guān)鍵是熟練運用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.解得 x=4.ABFDEOC比一比名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1.OA=OB=OC；2.外心不一定在三角形的內(nèi)部三角形三條角平分線的交點1.內(nèi)心到三邊的距離相等；2

10、.AI、BI、CI分別平分BAC、ABC、ACB;3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部ABOABCI1.如圖，PA、PB是O的兩條切線，切點分別是A、B.若AP=4，APB= 40，則APO= ，PB= . 當(dāng)堂練習(xí)20 42.如圖，O為ABC的內(nèi)切圓，AC=10，AB=8，BC=9，點D，E分別為BC，AC上的點，且DE為O的切線，則CDE的周長為_.第1題圖第2題圖11(3)若BIC=100 ，則A = ；(2)若A=80 ，則BIC = ；130203.如圖，在ABC中，點I是內(nèi)心. (1)若ABC=50， ACB=70，則BIC=_；ABCI(4)試探索： A與BIC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？120方法

11、一 證明：連接BD.AC切O于點D，BC切O于點B，DC=BC，CO平分DCBOCBDBE為O的直徑，DEBDDEOC4.如圖，在ABC中，B90，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC相切于點D.求證：DEOC.方法二 證明：連接OD，AC切O于點D，ODAC.ODC=B=90.在RtOCD和RtOCB中， ODOB，OCOC ， RtODCRtOBC（HL）.DOC=BOC.OD=OE，ODE=OED.DOB=ODE+OED，BOC=OED.DEOC5.如圖，在ABC中，I是內(nèi)心，BAC的平分線和ABC的外接圓相交于點D.求證：DIDB.證明：連接BI.I是ABC的內(nèi)心，BAD=CAD，ABI=