1.1.3空間向量的數(shù)量積運算同步練習

1、1.1.3空間向量的數(shù)量積運算同步練習一、單選題 TOC o 1-5 h z .在棱長為1的正方體ABC。-481GA中，設(shè)而=，AD = b，AA1=c ,則 S+c）的值為（）A. 1B. 0C. -1D. -2【答案】B【解析】a （b+c） = a b+a c=O.故選B.已知。溥均為單位向量，它們的夾角為那么1。+3A1=（）A. ypB. 710C. V13D. 4【答案】C【解析】因為“,力均為單位向量，它們的夾角為三，3所以la + 3占 F = a。+ 9b2 +6a -b = 1 + 9 + 6x 1 x 1 xcos = 13,/. |ti + 3| = JiT,故選 C

2、.三棱錐 A-8CD 中，AB=AC=AD=2, NBAD=900, ZBAC=60,則福前等于（）A. -2B. 2C. -2y/3D. 25/3【答案】A【解析】vCD = AD-AC，/. ABCD = 7AD-AC = ABAD - ABAC = 0 2 x 2 x cos 60 = 2 成選 A.在正方體ABC。ABGA中，有下列命題：（麗 + 而 +而尸=3而1即（福一百） = 0；7）；與4力的夾角為60 .其中正確命題的個數(shù)是（）A. 0個B.1個C. 2個D. 3個【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)量積的定義知：正確，同1與奉的夾角為120,，不正確,故選C.已知四面體A-BCD的所有

3、棱長都是2,點E.F分別是AD.DC的中點廁訪.麗=()D.【答案】B【解析】由題意可得E/n AC,所以EE8A = AC氏4 = x2x2xcosl200 = l.故選B.已知正四面體A5CD的棱長為2,則而.麗=(【答案】B【解析】如圖，取C。中點E,連接AE,8E,則8_LA;CO_L8E, AEBE = E.，CZ)_L平面ABE,于是有C_LAB,，A反。力=0.故選B.三棱錐中，AB = AC = AD = 2, 44=90, NB4c = 90。，則福.麗等于（D. 2/3【答案】A【解析】因為NBA=90, ZBAC = 90,即而，而，AB1AC所以油而=而*=0，AB.C

4、D = ABAD-AC)=AB.Ab-AB =0-0 = 0.故選A.D. 0.若空間四邊形O43C的四個而均為等邊三角形，則cos（）,而）的值為（）B-T【答案】D【解析】依題意空間四邊形。43c的四個面均為等邊三角形，設(shè)棱長均為。.而反=。不一麗,則方(花一麗)=畫玩一次.礪=/ cos? a2 cos? = 0/一一 oA.BC oaoc-ob所以cos(QA BC、= I_|= 一|一|- =。.故選 D/叫g(shù)|叫J.已知空間四邊形438的每條邊和對角線的長都等于。，點瓦戶分別是8cA。的中點，則從也4戶的值為（A.aB. -a22c- 3n小，D. -cr4【答案】【解析】AF =

5、 -( + )-=-(ABAD + ACAD) = 224=；(/cos600+/cos60) = (/.故選 Cio.已知+B+i=6, in 1=2, 1川=3,片1=4,則向量力與6之間的夾角心B為（A. 30B. 45。C. 60D.以上都不對【答案】D【解析】Y + B+3=6,51=2, 1g1=3,=4, 以這三個向量首尾相連組成aABC；令麗=3，AC=b BC = a 則 aABC 三邊之長分別為 BC=2, CA=3, AB=4；2BCCA2x2x3由余弦定理，得：cos/BCA=J. 十 3一中又向量Z和CA是首尾相連，這兩個向量的夾角是18。-。，A%即向量。與之間的夾

6、角Vd，不是特殊角.故選D.H.在正方體A88 44GR中，下列結(jié)論錯誤的是（a.（44+ar+4片）2 = 34屋C,向量4Q；與羸的夾角是120【答案】DB.后.（病_而）=0D.正方體A8CO A瓦GQ的體積為|萬福亞|【解析】正方體A8CD 4與G如圖,由正方體的性質(zhì)得 +4。；+44=4么+4萬+。3=43乖。=|石=3|麗=3福故A正確；福一服=福，由力4J,8C,可得A與，平面ARC,則4隹，AC,所以aRAC = 0即后,（4瓦-4& = 0,故B正確;由正方體性質(zhì)可得AOJ/BG，易知8GA為等邊三角形，所以N48G=60,所以向量AO；與港的夾角是i2（y，故c正確：因為4

7、月_LAA；,所以IA月A4Ail=0,故D錯誤.故選D.12.如圖，三棱柱A8C 44G中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，NR4A =NC44=60。，則異而直線從4與8a所成角的余弦值為（【答案】D【解析】三棱柱ABC -A蜴G中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，NB44=NC3=60。, 1 1設(shè)棱長為 1,則 AB AC = lxlxcos60 = 一， AB AA = Ixlxcos60 =, 22AC AAj = 1 x 1 xcos60 = 1. AB1 = AB+ A， BC = AA+AC-AB所以衣;的=（而+M） （M+x?一礪） =AB AAy + AB AC AB + AA + A

8、A , AC AA e AB1 1 t t 1 1 t=i 1 + 1 + = 1 2 22 2而西=J（福 + 羽Y =y）AB2 + 2AB-AA + X2 =#, 網(wǎng)=J（麗+ /一碉? =。1 + 1 + 1-1-1 + 1 =&, AB.BC. 1x/6所以 cos =： =， 所以 .Ij /、1/9 故填 9 ,-BDDCcos(BD, DC) =-x5x3xcos(7i-NBDC)= 一一 一一網(wǎng)|.陷|也義行6， 故選D.二、填空題13.如圖，在長方體 A8CO 4MG2 中，設(shè) AO = AA=1, AB = 2,則 4G.衣=【答案】5【解析】由題意得祠/ = （而+而+

9、麗）（而+而卜正.而+而麗=5.故填514.如圖所示，在空間四邊形A8CO中，48 = 90。，8 = 3, BC = 4, M. N分別為AB, AD的中點，則麗.成二9【答案】-2a【解析】由題易知50 = 5，cosZBDC =- 所以15MNDC = BDDC216.已知 1。1=跑=b1=1.。+。+。=0,則 a c+b c+a b=.3【答案】一7.2【解析】設(shè)七十方+小6 =工,則21=伍+6)*+(5+二)4+(+4)5 = 日產(chǎn)一|5卜二一3.33解得x=二.故填一二. 22.已知：如圖，在60。的二面角的棱上有43兩點，直線AC、8。分別在這個二面用的兩個半平面內(nèi),且都垂

10、直A8，已知A8 = 4,AC = 6,8O = 8,則C =.【答案】2屈【解析】CD = CA + AB + BD所以CD =(CA + AB + BDy =CA2 +AB2 +BD +2(CA-AB+ CABD +AB-BD),/2= 16 + 36 + 64 + 2 0 + 6x8xcos tt + 0 = 116-48 = 68 ,所以|C)| = 2,故填2VT7. A4=l, ZBAD = AAAD = ZAAB = 60 t所以 卜 | = 1 + 1 + 1 + 2cos ABAD + 2cos ZBAA + 2cos Z.DAA=痣乂 g=k閔=“ + M卜 AD + A4

11、,2 + 2 AD A = Jl + l + 2cosZDA4,=亦，所以cosNGA*4*等=手.故填YL 2xACxAB 2x5/6xl33三、解答題.在平行四邊形 A5CO 中，AO=4, CO=3, ZD=60, PAL平面 ABC。，PA=6,求 PC 的長.【解析】因為定=西+而+反,所以I 定 |2= pC、（而 + 而 + 加）2=| 方 P+l AD P+l DC P+2 PA AD +2 PA DC +2 AD DC =62+42+32+2l ADllDClcos 1200=61-12=49,所以I尸乙1=7,即PC=7.如圖所示，己知。是ABC所在平面外一點，PA PC,

12、 PB PC, PA LPB,求證：尸在平面A3c 上的射影”是AABC的垂心.PR【解析】v PA PC. PB PC, PA LPB,：.PA-PC = O, 而正=0, PA PB = 0, P4_平而P8C, A PA BC = 0.由題意可知，平面ABC,，PHBC = U, PHAB = b, PH AC = 0.:在辰=（而-可反=而 反一刀辰 =0, ：. AH 1BC.同理可證 3J_AC, CH LAB.是zMBC的垂心.如圖所示，在正方體A8CQ-A山C1Q1中，E為hG的中點，試求耳弓與）無所成角的余弦值.【解析】設(shè)正方體的棱長為1,標=a, M)=b9 A4 =c,則

13、卬=1方l=ld=l, ab=bc=ca=0.: A = AC = AB + AD 士也IDE = DD+D】E = DD1 + _。 =e+ 一 a, 22)g=(G+力) f c + a =a c+b c+La2+La b=La2=L1I 2 J 2222乂AG =四，|。戶=Ji+(g =._ _ cos=AC D-=: = ，A p IC.IIDEI 無x正 ioX2，AG.與力后所成角的余弦值為MioZACD = 90,沿著它的對角線AC將入48.如圖，在平行四邊形A3CQ中，48 = 2, AC = 42折起，使A3與C。成60。角，求此時8,。之間的距離.B CD【解析】因為ZAC = 90，所以衣詼=0，AC BA = 0-因為AB與CQ成60。角，所以 = 60 或 = 120.因為BD = BA + AC + CD，所以IBDI2=I4I2 +IACI2 +ICDI2 +2BA AC+ 2BA CD + 2AC CD ,所以 I 詬 F=22+(3)2+22+0 + 2x2x2xcos樂,9 + 0 = 10 + 8cos.當麗，麗 = 60。時，I8Z5F=10 + 8cos6Act5 = 10 + 8xcos60o = 14, BD 1= /14 ：當而，麗 = 120。時，I詬F=i()+ 8cos麗，方 = 10 + 8xcos1200 = 6,