機(jī)器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論-剛體運(yùn)動(dòng)(1-3)課件

1、剛體運(yùn)動(dòng)一、剛體變換二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)一、剛體變換 剛體運(yùn)動(dòng)是物體上任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離始終保持不變的連續(xù)運(yùn)動(dòng)。剛體從一位置到另一位置的剛體運(yùn)動(dòng)稱為剛體位移（平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)）。剛體變換：滿足下列條件的變換g:R3-R3為剛體變換：1)長(zhǎng)度不變：2）叉積不變：對(duì)任意點(diǎn)二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矩陣：Rab=xab yab zab 物體相對(duì)于定坐標(biāo)系的每一次旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)于一個(gè)該形式矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣性質(zhì)：設(shè)R R33為旋轉(zhuǎn)矩陣，則： RRT=I detR=+1 (右手坐標(biāo)系） 將滿足這兩個(gè)性質(zhì)的33矩陣的集合記為SO（3），可用旋轉(zhuǎn)矩陣表示剛體變換二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)群：對(duì)于用

2、算子。構(gòu)成的二元運(yùn)算集合G，若滿足下面條件則構(gòu)成一個(gè)群。物體相對(duì)于定坐標(biāo)系的每一次旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)于一個(gè)該形式矩陣 可以證明SO（3）是一個(gè)以單位矩陣I作為單位元素、以矩陣乘法作為群運(yùn)算的群。旋轉(zhuǎn)矩陣可通過矩陣相乘來組成新的旋轉(zhuǎn)矩陣： Rac=RabRbc上式稱為旋轉(zhuǎn)的合成法則二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)點(diǎn)的最用：對(duì)坐標(biāo)系B中的點(diǎn)qb(xb yb zb),可得其在A坐標(biāo)系中的坐標(biāo)qa=Rabqb旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)矢量的作用：對(duì)坐標(biāo)系B中的矢量Vb=qb-pb,則Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)兩矢量的叉積是一個(gè)線性算子，可用表示為：ab=(a)b后面常用

3、符號(hào)來代替(a)引理2.1 對(duì)給定的RSO(3)和v,wR3,則存在下列性質(zhì) R(vw)=(Rv) (Rw) (兩矢量叉積的旋轉(zhuǎn)=旋轉(zhuǎn)的叉積） R(w)RT=(Rw)定理2.2 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是剛體變換 旋轉(zhuǎn)矩陣RSO(3)是一個(gè)剛體變換二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2.2 旋轉(zhuǎn)的指數(shù)坐標(biāo)研究物體繞給定軸轉(zhuǎn)過一定角度的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，wR3表旋轉(zhuǎn)方向的單位矢量，R為旋轉(zhuǎn)角度，則該旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可表示為： 通過數(shù)學(xué)方法可以得到：當(dāng)|w|1時(shí)，上式可修正為：二、三維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2.3 四元數(shù)兩四元數(shù)內(nèi)積：給定Q=（q0,q），其中q0R,qR3，可獲得相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)描述旋轉(zhuǎn)群還可以使用歐拉角來描述。三、三維空間中的剛體運(yùn)

4、動(dòng)如右圖剛體的位姿可以表示為（pab,Rab)記為式1 三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.1 齊次坐標(biāo)法那么齊次坐標(biāo)表示為剛體變換的組合將構(gòu)成新的變換：定理2.5 SE（3）中的元素表示剛體運(yùn)動(dòng)三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.3 旋量：運(yùn)動(dòng)旋量的幾何表示 旋量包括軸l、節(jié)距h及大小M。旋量運(yùn)動(dòng)表示繞軸l旋轉(zhuǎn)M=再沿與l平行的方向移動(dòng)h。如果h=,那么相應(yīng)的旋量運(yùn)動(dòng)即為沿旋轉(zhuǎn)軸移動(dòng)距離為M的平動(dòng)。旋量運(yùn)動(dòng)：三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.3 旋量：運(yùn)動(dòng)旋量的幾何表示 分析右圖點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)，p點(diǎn)最終位置坐標(biāo)為：齊次坐標(biāo)表示為三、三維空間中的剛體運(yùn)動(dòng)3.3 旋量：運(yùn)動(dòng)旋量的幾何表示上式對(duì)任意的pR3均成立，故用旋量表示的剛體運(yùn)動(dòng)為：定理：旋量運(yùn)動(dòng)與旋量是一一對(duì)應(yīng) 的 對(duì)于給定的旋量，其軸為l、節(jié)距為h、大小為M，則存在單位旋量，使得與該旋量有關(guān)的剛體運(yùn)動(dòng)由運(yùn)動(dòng)旋量M產(chǎn)生。三、三維空