【高數(shù)】§33函數(shù)的單調(diào)性與極值解析課件

1、【高數(shù)】33函數(shù)的單調(diào)性與極值解析【高數(shù)】33函數(shù)的單調(diào)性與極值解析觀察與思考：函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有什么關(guān)系？ f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 在(a, b)內(nèi)任取兩點x1，x2 (不妨設(shè) x1 x2)f(x2)- f(x1) = f (x)(x2x1)由拉格朗日中值公式，存在 x ：x1x x2 使得證明：只證(i).f(x1) 0， x2x1 0，故4在(a, b)內(nèi)任取兩點x1，x2 (不妨設(shè) x1 x + 1 利用單調(diào)性證明不定式9例 3 證明函數(shù) 3 函數(shù)的單調(diào)性與極值3.1 函數(shù)的單調(diào)性3.2 極值的定義3.3 函數(shù)的最值103 函數(shù)

2、的單調(diào)性與極值3.1 函數(shù)的單調(diào)性123.2 極值的定義113.2 極值的定義13 不妨設(shè)f(x0)是極大值，則在x0的某個空心鄰域內(nèi)總有 f(x) f(x0) .因為定理假設(shè) f (x0) 存在，所以從而 f (x0)0 同理可證極小值的情形.12 不妨設(shè)f(x0)是極大值，則在x相關(guān)概念：駐點 使導(dǎo)數(shù)值 f (x) = 0 的點 x 稱為函數(shù) f(x) 的駐點 可導(dǎo)函數(shù)極值點必為其駐點 駐點不必為極值點，如 y = x3 在 x = 0 點 函數(shù)在極值點不必可導(dǎo)（非駐點）, 如 y = |x| 在 x = 0點yxoyxo13相關(guān)概念：駐點 使導(dǎo)數(shù)值 f (x) = 0 的點 x判斷極值點

3、方法一：14判斷極值點方法一：16簡要證明(ii)：根據(jù)極限的局部保號性質(zhì)，在點x0的某個鄰域內(nèi)恒有因為因此，當(dāng) x 0；當(dāng) x x0 時，f (x) 0，f(x0)為極大值判斷極值點方法二：15簡要證明(ii)：根據(jù)極限的局部保號性質(zhì)，在點x0的某個鄰域xO y ax0bxO y ax0b 若 x0 是極小值點，則f(x)在a,b上單調(diào)減少, 故f(x) 0f(x) 0f(x) 0y = f(x)y = f(x)f(x) 016xO y ax0bxO y ax0b 若 x0 是極小值點例題 P108-P109 例 5 討論函數(shù) 的單調(diào)性和極值。例 6 討論函數(shù) 的單調(diào)性。例 7 求函數(shù) 的極

4、值。17例題 P108-P109 例 5 討論3 函數(shù)的單調(diào)性與極值3.1 函數(shù)的單調(diào)性3.2 極值的定義3.3 函數(shù)的最值183 函數(shù)的單調(diào)性與極值3.1 函數(shù)的單調(diào)性20函數(shù)的最值 函數(shù)在某個區(qū)間上的 最大值 或 最小值，簡稱 最值。 函數(shù)在區(qū)間上的一個整體性質(zhì)極值 : extreme value, extremum, local maximum / minimum最大值: maximal value, maximum 最小值: minimal value, minimum19函數(shù)的最值 函數(shù)在某個區(qū)間上的 最大值 或 最小值，簡稱 求最值的方法1. 求函數(shù)最值的可能點：駐點，不可導(dǎo)點，區(qū)

5、間端點2. 計算最大值 M = max f(x1) , f(x2) , , f(xn) x1 , x2 , , xn3. 計算最小值 m = min f(x1) , f(x2) , , f(xn) 20求最值的方法1. 求函數(shù)最值的可能點：駐點，不可導(dǎo)點，區(qū)間端例 題（P110）例 8 討論函數(shù) 在區(qū)間 -3，1 上 的最大值和最小值例 9 討論函數(shù) 在區(qū)間 -1，2 上的最大 值和最小值21例 題（P110）例 8 討論函數(shù) 例10 （P111） 如右圖, 在一塊邊長為 2a 的正方形鐵皮上，四角各截去一個邊長為 x 的小正方形, 用剩下的部分做成一個無蓋的盒子. 試問當(dāng) x 取何值時, 它

6、的容積最大, 其值是多少？ 2a x 2a-2x22 例10 （P111） 如右圖, 在例 11 (P111) 某商店按批發(fā)價每件6元買進一批商品進行零售,若零售價每件定為 7 元，可賣出 100 件，若每件的零售價每降低 0.1 元時可多賣出 50 件。問商店應(yīng)買進多少件時，才可獲得最大利益？最大收益是多少？23例 11 (P111) 某商店按批發(fā)價每件6元習(xí)題：p120: 10; 11(1)(2); 13; 15預(yù)習(xí)：4.5函數(shù)的凸性與拐點4.4 結(jié)束24習(xí)題：p120: 10; 11(1)(2); 13; 15函數(shù)25函數(shù)27函數(shù)的定義域為( ) 故函數(shù)在0 ) 上單調(diào)增加 當(dāng)x 0 時 y 0 故函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少 當(dāng)x 0 時 y