【研究生課件應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】3度量空間

1、【研究生課件應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】3度量空間【研究生課件應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】3度量空間3.度量空間一、度量空間的定義和例度量空間的定義;lp空間,Ca,b空間二、度量空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)度量拓?fù)?、開集、閉集、閉包、稠密三、連續(xù)映射一致連續(xù)、Lipschitz連續(xù)、序列收斂四、完備性23.度量空間4 一、度量空間的定義和例定義3.1 設(shè)V是一非空集合,其中元素稱為點(diǎn),:VVR是非負(fù)泛函,滿足: (1)x,yV,(x,y)0; (x,y)=0 x=y(x,yV). (2)(x,y)=(y,x)(x,yV). (3)(x,z)(x,y)+(y,z)(x,y,zV).則稱是V上的距離函數(shù)或度量,V,稱為度量空間.3 一、

2、度量空間的定義和例5設(shè)V,是度量空間,AV.點(diǎn)x到A的距離以(x,A)表示,定義為 (x,A)=Inf(x,y)|yA.V的子集A的直徑dia(A)定義為 當(dāng)A=時(shí),dia(A)=0; 當(dāng)A時(shí),dia(A)=Sup(x,y)|x,yA.V中子集A稱為有界集,如果存在常數(shù)M0,使 dia(A)M.設(shè)SV,|S:SSR是在S上的限制,它仍滿足度量三公理,因而S,|S是度量量空間,稱之為V的子度量空間.4設(shè)V,是度量空間,AV.6例3.1 x,yR,x與y的距離定義為 (x,y)=|x-y|,它滿足度量三條公理.實(shí)際上,(1)x,yR,(x,y)=|x-y|0; (x,y)=|x-y|=0 x=y.

3、(2)x,yR,(x,y)=|x-y|=|y-x|=(y,x).(3)x,y,zR,(x,z)=|x-z|x-y|+|y-z| =(x,y)+(y,z).例3.2 設(shè)V是R上線性空間,在V上定義內(nèi)積 ( , ):VVR,滿足:5例3.1 x,yR,x與y的距離定義為7(1)xV,(x,x)0;(x,x)=0 x=.(2)x,yV,(x,y)=(y,x).(3)kR,x,yV,(kx,y)=k(x,y).(4)x,y,zV.(x+y,z)=(x,z)+(y,z).則稱V是歐氏空間。xV的長(zhǎng)度定義為 x=x, yV兩點(diǎn)間的距離定義為 d(x,y)=x-y=可以證明：d滿足度量三公理，從而V,d是度

4、量空間。6(1)xV,(x,x)0;(x,x)=0 x=.x首先證明:x,yV,有Cauchy不等式 |(x,y)|xy.當(dāng)y=時(shí),上式顯然成立.設(shè)y,t為實(shí)數(shù),置 z=x+ty則不論tR取何值,都有 (x+ty,x+ty)0,即 (x,x)+2(x,y)t+(y,y)t20.特別取則有7首先證明:x,yV,有Cauchy不等式則有9由于 (x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y) (x,x)+2xy+(y,y) =(x+y)2從而有 x+yx+y.設(shè)=x-y,=y-z(x,y,zV),則有 +即 x-zx-y+y-z從而有 d(x,z)d(x,y)+d(y,z)8由于10例3.

5、3 實(shí)數(shù)域R上的n維向量空間 Rn=(x1,x2,xn)T|xiR,1in,取 x =(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,yn)TRnx與y的內(nèi)積為 (x,y)=yTx=x1y1+x2y2+xnyn度量為此外，在Rn上還可以定義其它度量，例如 9例3.3 實(shí)數(shù)域R上的n維向量空間此外，在Rn上還可以定義顯然它們都滿足度量公理(1)和(2).只要驗(yàn)證公理（3）。而 =d1(x,y)+d1(y,z).由于因此10顯然它們都滿足度量公理(1)和(2).只要驗(yàn)證 即 d(x,z)d(x,y)+d(y,z).例3.4 Ca,b是R上的線性空間。f,gCa,b，f與g的內(nèi)積定義為則Ca,b是歐氏空間

6、，其度量為例3.5 考慮lp空間(1p)。11即 d(x,z)d(x,y)+d(y,z).則Cx=(x1,x2,),y=(y1,y2,)lp，它們之間距離為顯然它滿足度量公理（1）和（2）。 下面將證明，它也滿足度量公理（3），從而 lp,是度量空間。設(shè)p,qR(1p),先證Hlder不等式：這里，(x1,x2,xn)T,(y1,y2,yn)TRn.12x=(x1,x2,),y=(y1,y2,)lp，它們先證不等式考慮01,則函數(shù) （x)=xx(0 x)的導(dǎo)數(shù)為 （x)=(x11)它在0 x1為負(fù)。因此，(x)在x=1取最大值。13先證不等式考慮01,則函數(shù)15所以 （x)(1)=1(0 x)

7、于是，xR+，有 xx+(1)下面證明Hlder不等式。14所以 （x)(1)=1(0 x)下面取則有于是有15取則有于是有17即得Hlder不等式由Hlder不等式可推出Minkowski不等式：若1p0,自然數(shù)N,當(dāng)nN時(shí)有 d(xn,x)N時(shí)有 (xn,x)1令M=1+max(x1,x),(xN,x),1,則對(duì)一切nN,有 22定理3.1 設(shè) xn是度量空間V，d中收斂于x序取設(shè)由于所以，23設(shè)由于所以，25二、度量空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)度量空間中開球的定義度量空間中集合的內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)部等概念度量空間中開集、閉集、極限點(diǎn)、導(dǎo)集 閉包等概念度量空間中閉集的充要條件度量空間中開集的特征；閉集的特征度量空間

8、中序列收斂的條件24二、度量空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)度量空間中開球的定義26定義3.2 設(shè)V，是度量空間，xV,rR+.集合 Br(x)=yV|(x,y)N時(shí)xnB(x).證明: ) 0,B(x)=yV|(x,y)N時(shí)有，xn B(x),即 (xn,x)0,存在=(x0,)0,使當(dāng)d(x,x0)時(shí)有 (F(x),F(x0)0,存在=(x0,)0,使 F（B(x0)B(F(x0).定理3.6 設(shè)(V,)是度量空間，A,BV.f:AB是映射.則下列命題相互等價(jià)：37 三、連續(xù)映射39 (1)f:AB連續(xù). (2)開集OB,f-1(O)是A中開集. (3)閉集FB,f-1(F)是A中閉集.證明：（1）（2） 任

9、取開集OB，xf1(O),f(x) O,所以有f(x)的鄰域 U（f(x),)O,于是f1(O)包含x的一個(gè)鄰域U（x,)f1(O),即x是f1(O)的內(nèi)點(diǎn)，從而f1(O)是開集。38 (1)f:AB連續(xù).證明：（1）（2） 任取開集O（2）（3） 設(shè)FB是任一閉集，BF=BF是B中開集，則f1(BF)是A中開集。而 f1(F)=f1(B(BF)=f1(B)f1(B F)所以，f1(F)是閉集（A作為R的子拓?fù)淇臻g為開集）。（3）（1）xX,0,B(F(x)是Y中開集，從而Y- B(F(x)是Y中閉集。因此，39（2）（3） 設(shè)FB是任一閉集，41定義3.7 設(shè)(X,d),(Y,)是度量空間，

10、映射f:XY稱為在X上一致連續(xù),如果0,0,只與有關(guān),當(dāng)|x-y|(x,yX)時(shí),有 |f(x)-f(y)|0,使Lipschitz連續(xù)的映射必一致連續(xù).40定義3.7 設(shè)(X,d),(Y,)是度量空間，映射f:X例3.8 設(shè)X=Rn,Y=Rm都是歐氏空間,因而是度量空間,歐氏度量為其中 x=(x1,x2,xn)T, y=(y1,y2,yn)TRn u=(u1,u2,um)T, v=(v1,v2,vm)TRm.41其中 x=(x1,x2,xn)T, y=(y1,映射F:XY為它是Lipschitz連續(xù)的.這里,FijR(1im,1jn).此映射的分量表達(dá)式為若取x0X,v0=F(x0),則42

11、映射F:XY為它是Lipschitz連續(xù)的.若取x0X,于是有 (v,v0)Cd(x,x0)這里因此F是Lipschitz連續(xù)的.43于是有因此F是Lipschitz連續(xù)的.45定理3.4 設(shè)X,d和Y,是度量空間,F:XY是映射.則F在X上連續(xù) 對(duì)于X中任一收斂序列xn,有 證明:) 設(shè)F在X上連續(xù)，xnx(n),任取Y中開集B，F(xiàn)(x) B,所以，xF-1(B),于是存在自然數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，xn F-1(B),F(xn) B,因此44定理3.4 設(shè)X,d和Y,是度量空間,F:XY)對(duì)于X中任一收斂序列xn,設(shè)要證:F在X上連續(xù).若不對(duì),即F在x*不連續(xù),則存在00.0,存在xX,使 d(x

12、,x*), 而 (F(x),F(x*)0.45)對(duì)于X中任一收斂序列xn,設(shè)要證:F在X上連續(xù).若不特別取1=1,得x1X,使 d(x1,x*)0,存在自然數(shù)N,當(dāng)m,nN時(shí)有 (xm,xn)0,存在自然數(shù)N,當(dāng)m,nN時(shí)有于是 (xm,xn)(xm,x)+ (xn,x) 我們知道,R中Cauchy列一定收斂.但在度量空間中這一結(jié)論一般 不成立. 例如,X=xR|00,存在自然數(shù)N,當(dāng)m,nN時(shí)有于是 例3.9 （1）度量空間(V,)中Cauchy列xn必有界；（2）若xn是度量空間(V,)中Cauchy列，且存在收斂子列證明: (1)設(shè)xnV為Cauchy列，取=1,存在自然數(shù)n0,使當(dāng)m,

13、nn0時(shí)有 (xm,xn)n2時(shí)有 51(2)由于xn為Cauchy列，所以取n2=maxn0例3.10 R是完備的.證明：先證：任何實(shí)數(shù)列xn必有單調(diào)子列。記 Ep=xp,xp+1, (p=1,2, )當(dāng)每個(gè)集合Ep都有最大值時(shí)，選取當(dāng)存在某個(gè)Ep=xp,xp+1, 無最大值時(shí)，則對(duì)任意n1p,52例3.10 R是完備的.當(dāng)存在某個(gè)Ep=xp,xp+1,于是xp+1,xp+2, 中必有大于xp的，取為得到再證：R中的任何Ccauchy列xn是收斂的。由于xn是有界的，所以xn有一個(gè)單調(diào)有界的子列從而，xn收斂。53于是xp+1,xp+2, 中必有大于xp的，取為得到再例3.11 lp(1p0

14、,存在自然數(shù)N,當(dāng)m,nN時(shí)有于是當(dāng)m,nN時(shí)有 |i(m)i(n)| (i=1,2,)因此,對(duì)每個(gè)i(i=1,2,), i(1),i(2),i(n),中R中Cauchy列.54例3.11 lp(1pN時(shí)有從而因此讓k,對(duì)nN,有這里x*=(1,2,)lp.實(shí)際上,取=1,存在自然數(shù)N,當(dāng)nN時(shí)有 (xn,x*)N,有這里x*=(1,2,)而因此.lp是完備的. 由此可見,Rn是完備的. 例4.2 Ca,b,d是完備的,其中實(shí)際上.任取Cauchy列fn(x)Ca,b,56而因此.lp是完備的.實(shí)際上.任取Cauchy列fn(x)0,存在自然數(shù)N,當(dāng)nN時(shí)有 |fn(x)fn(x)|d(fn,

15、fm)0,存在自然數(shù)N,當(dāng)nN時(shí)有59對(duì)于每一個(gè)開球即 (a,yn)yn是A中Cauchy列由于A是完備的，所以aA,即A是閉集。）設(shè)A是閉集。任取A中Cauchy列yn,由于ynV,且是完備，所以，但y*是怕極限點(diǎn)，而A是閉集，所以，y*A,從而，A是完備的。證明: )設(shè)A是完備的。任取aA.58對(duì)于每一個(gè)開球即 (a,yn)yn是A中Cauc)類似.不完備的度量空間是否可在某種意義下成為完備的度量空間?這不僅是必要的而且是可能的.定義4.2 度量空間X,d稱為可完備化的,如果存在度量空間X*,d*,滿足:(1)存在X*,d*的子度量空間Z,d*,它在X*中稠密,且Z與X是等度的;(2)X*

16、是完備的.稱X*是X的完備化空間.59)類似.61可以證明:每一個(gè)度量空間都可完備化.(二)壓縮映射與不動(dòng)點(diǎn)原理定義4.3 設(shè)X,d是度量空間,映射F:XY稱為壓縮映射,如果存在常數(shù)k,滿足0k0;這樣可得序列xnX,滿足 63定理4.3 設(shè)X,d是完備的度量空間,F:XX65 xn=F(xn-1),d(xn-1,xn)0下面證明,xn是Cauchy列.取自然數(shù)m1,m2(m2m1),則有取r=m1-1,得64 xn=F(xn-1),d(注意到于是取m2m1,有65注意到于是取m2m1,有67即由于0k0,存在自然數(shù)N,當(dāng)nN時(shí)有從而當(dāng)mnN時(shí)有66即由于0k0,存在自然數(shù)N,當(dāng)nN時(shí)有由此證明了xn是Cauchy列,由X的完備性,存在x*X,使但F連續(xù),故有而 F(xn)=xn+1因此 即得F的不動(dòng)點(diǎn)x*X.再證唯一性.設(shè)