初中數(shù)學(xué)人教八年級(jí)下冊(cè)（2023年新編）第十七章 勾股定理1勾股定理5

1、17.1勾股定理（第1課時(shí)）五龍中學(xué) 牟恩德教學(xué)目標(biāo)1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法.2.能說出勾股定理,并能應(yīng)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.3.發(fā)展合情推理的能力,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想.教學(xué)重難點(diǎn)【重點(diǎn)】探索和驗(yàn)證勾股定理,并能應(yīng)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.【難點(diǎn)】用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理.教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入國際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會(huì)議,被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”.2023年在北京召開了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì).此圖案就是大會(huì)會(huì)徽的圖案.大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案有什么特殊含義呢?這個(gè)圖案與數(shù)學(xué)中的勾股定理有著密切的關(guān)系.中國古代人把直角三角形

2、中較短的直角邊叫做“勾”,較長的直角邊叫做“股”,斜邊叫做“弦”.上述圖案就揭示了“勾”“股”“弦”之間的特殊關(guān)系.我們學(xué)習(xí)過等腰三角形,知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形,它有許多特殊的性質(zhì).研究特例是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)方法,直角三角形是有一個(gè)角為直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三邊之間存在怎樣的關(guān)系呢?我們的探究活動(dòng)就從等腰直角三角形開始吧.設(shè)計(jì)意圖勾股定理揭示的是特殊三角形的三邊關(guān)系,從探索等腰直角三角形三邊關(guān)系入手,揭示直角三角形的三邊關(guān)系,體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法.二、新知構(gòu)建1.探索勾股定理(1)探索等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系.過渡語(如

3、教材第22頁圖)相傳2500多年前,畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客時(shí),發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.師:這個(gè)地面圖案中有大大小小、各種“姿勢(shì)”的正方形.畢達(dá)哥拉斯在這些正方形中發(fā)現(xiàn)了什么呢?(出示教材圖17.1 - 2)(1)問題提出:在圖17.1 - 2中,是以等腰直角三角形三邊為邊長的三個(gè)正方形.這三個(gè)正方形面積之間存在怎樣的關(guān)系?三個(gè)正方形之間的面積關(guān)系說明了什么?(2)學(xué)生活動(dòng):質(zhì)疑、猜測(cè)、探索、交流三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系.學(xué)生的探索方法可能是:通過數(shù)正方形內(nèi)等腰直角三角形個(gè)數(shù)的辦法,得出兩個(gè)小正方形的面積之和等于大正方形的面積.(3)教師總結(jié):通過直

4、接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù),或者用割補(bǔ)的方法將小正方形中的等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)大正方形,得出結(jié)論:小正方形的面積之和等于大正方形的面積,也就是等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.追問:在圖17.1 - 2中,如果選取更大的等腰直角三角形,按照同樣的方法作三個(gè)正方形,這三個(gè)正方形的面積關(guān)系還一樣嗎?如圖所示.設(shè)計(jì)意圖這個(gè)探索活動(dòng)是學(xué)習(xí)、探索勾股定理的基礎(chǔ).借助三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系,探索等腰直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系,這是本活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn).提出追問的問題,有助于學(xué)生的認(rèn)識(shí)上升到整個(gè)直角三角形的一般性的高度,也為學(xué)生有個(gè)性的創(chuàng)意活動(dòng)搭建了平臺(tái).(2)探索具體邊長的非等腰直角三角形三邊之間

5、的關(guān)系.過渡語除了等腰直角三角形之外,一些特殊邊長的直角三角形,還有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和的規(guī)律嗎?(出示教材圖17.1 - 3)提出問題:(結(jié)合帶提示的下圖)1.正方形A,B,C的面積分別是多少?它們之間的數(shù)量關(guān)系說明了什么?2.正方形A,B,C的面積分別是多少?它們之間的數(shù)量關(guān)系說明了什么?學(xué)生活動(dòng):依據(jù)教材探究的提示,根據(jù)直角三角形的邊長,分別計(jì)算出正方形A,B,A,B的面積;再通過建立一個(gè)大正方形計(jì)算出正方形C,C的面積.探究提示:正方形A,B的面積分別為4和9,通過建立邊長為5的正方形,計(jì)算出正方形C的面積為25減去四個(gè)小直角三角形面積和,也就是正方形C的面積為13.同理,

6、正方形A,B的面積分別為9和25,通過建立邊長為8的正方形,計(jì)算出正方形C的面積為64減去四個(gè)小直角三角形面積和,也就是正方形C的面積為34.活動(dòng)總結(jié):直角三角形兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.設(shè)計(jì)意圖由特殊到一般,借助網(wǎng)格,利用面積割補(bǔ)法計(jì)算正方形的面積,探索直角三角形三邊之間的關(guān)系,為探究無網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關(guān)系打下基礎(chǔ),提供方法.2.例題講解(補(bǔ)充)在直角三角形中,各邊的長如圖,求出未知邊的長度.引導(dǎo)分析:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.通過對(duì)等式變形,可以得出直角三角形三邊之間的關(guān)系:c=,b=,a=.解:(1)根據(jù)勾股定理,得A

7、B=.(2)根據(jù)勾股定理,得AB=2.解題策略在直角三角形中,已知兩邊長,求第三邊長,應(yīng)用勾股定理求解,也可建立方程解決問題.(補(bǔ)充)有兩邊長分別為3 cm,4 cm的直角三角形,其第三邊長為 cm.解析分情況討論:當(dāng)4 cm為直角邊長時(shí),當(dāng)4 cm為斜邊長時(shí),依次求出答案即可.當(dāng)4 cm是直角邊長時(shí),斜邊=5(cm),此時(shí)第三邊長為5 cm;當(dāng)4 cm為斜邊長時(shí),第三邊=(cm).綜上可得第三邊的長度為5 cm或 cm.故填5或.解題策略注意掌握勾股定理的表達(dá)式,分類討論是解決此題的關(guān)鍵,難點(diǎn)在于容易漏解.三、課堂小結(jié)師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:1.如果直角三角形兩直角邊長分別為a,b,

8、斜邊長為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.2.注意事項(xiàng):(1)注意勾股定理的使用條件:只對(duì)直角三角形適用,而不適用于銳角三角形和鈍角三角形.(2)注意分清斜邊和直角邊,避免盲目代入公式致錯(cuò).(3)注意勾股定理公式的變形:在直角三角形中,已知任意兩邊長,可求第三邊長,即c=,b=,a=.四、檢測(cè)反饋1.如圖所示,字母B所代表的正方形的面積是()A.12B.13C.144D.194解析:根據(jù)勾股定理知,斜邊長的平方等于兩直角邊長的平方和,則字母B所代表的正方形的面積等于以三角形斜邊長為邊長的正方形的面積減去以另一直角邊長為邊長的正方形的面積,即169-25=

9、144.故選C.2.如圖所示,若A=60,AC=20 m,則BC大約是(結(jié)果精確到0.1 m)()A.34.64 mB.34.6 mC.28.3 mD.17.3 m解析:A=60,C=90,B=30,AB=2AC,AC=20,AB=40,BC=2034.6(m).故選B.3.在RtABC中,C=90.(1)若a=3,b=4,則c=;(2)若b=6,c=10,則a=;(3)若a=5,c=13,則b=;(4)若a=1.5,b=2,則c=.解析:根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.(1)c=5;(2)a=8;(3)b=12;(4)c=2.5.答案:(1)5(2)8(3)12(4)2.54.如圖所示,RtABC中,C=90,AD平分CAB,DEAB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的長;(2)求ADB的面積.解:(