高數(shù)高斯公式

1、高數(shù)高斯公式第1頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四一、高斯 ( Gauss ) 公式定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,下面先證:函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側(cè), 則有 (Gauss 公式)高斯 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四證明: 設(shè)為XY型區(qū)域 , 則定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四所以若 不是 XY型區(qū)域 ,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個 XY型區(qū)域,故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵

2、消,在輔助面類似可證 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四例1. 用Gauss 公式計算其中 為柱面閉域 的整個邊界曲面的外側(cè). 解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =(用柱坐標(biāo))及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化? 若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計算? 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四例2. 利用Gauss 公式計算積分其中 為錐面解: 作輔助面取上側(cè)介于 z = 0

3、及 z = h 之間部分的下側(cè). 所圍區(qū)域?yàn)?則 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四利用重心公式, 注意機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四例3.設(shè) 為曲面取上側(cè), 求 解: 作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四在閉區(qū)域 上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林( Green )第一公式例4. 設(shè)函數(shù)其中 是整個 邊界面的外側(cè). 分析:高斯公式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

4、第9頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四證:令由高斯公式得移項(xiàng)即得所證公式.(見 P171)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1. 連通區(qū)域的類型 設(shè)有空間區(qū)域 G , 若 G 內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于 G, 則稱 G 為空間二維單連通域 ; 若 G 內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于 G 的曲面, 則稱 G 為空間一維單連通域 .例如, 球面所圍區(qū)域 環(huán)面所圍區(qū)域 立方體中挖去一個小球所成的區(qū)域 不是二維單連通區(qū)域 .既是一維也是二維單連通區(qū)域 ;是二維但不是一維單

5、連通區(qū)域 ;是一維但機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四2. 閉曲面積分為零的充要條件定理2. 在空間二維單 連通域G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),為G內(nèi)任一閉曲面, 則證: “充分性”. 根據(jù)高斯公式可知是的充分條件. 的充要條件是: “必要性”. 用反證法. 已知成立,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四因P, Q, R 在G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) ,則存在鄰域 則由高斯公式得 與矛盾, 故假設(shè)不真. 因此條件是必要的. 取外側(cè),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁

6、，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四三、通量與散度引例. 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1, 速度場為理意義可知, 設(shè) 為場中任一有向曲面, 單位時間通過曲面 的流量為 則由對坐標(biāo)的曲面積分的物 由兩類曲面積分的關(guān)系, 流量還可表示為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四若 為方向向外的閉曲面, 當(dāng) 0 時,說明流入 的流體質(zhì)量少于 當(dāng) 0 時,說明流入 的流體質(zhì)量多于流出的, 則單位時間通過 的流量為 當(dāng) = 0 時,說明流入與流出 的流體質(zhì)量相等 . 流出的, 表明 內(nèi)有泉; 表明 內(nèi)有洞 ;根據(jù)高斯公式,

7、 流量也可表為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四方向向外的任一閉曲面 , 記 所圍域?yàn)? 設(shè) 是包含點(diǎn) M 且為了揭示場內(nèi)任意點(diǎn)M 處的特性, 在式兩邊同除以 的體積 V, 并令 以任意方式縮小至點(diǎn) M 則有此式反應(yīng)了流速場在點(diǎn)M 的特點(diǎn): 其值為正,負(fù)或 0, 分別反映在該點(diǎn)有流體涌出, 吸入, 或沒有任何變化. 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四定義:設(shè)有向量場其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場內(nèi)的一片有向 則稱曲面, 其單位法向量 n, 為向量場

8、 A 通過有向曲面 的通量(流量) .在場中點(diǎn) M(x, y, z) 處 稱為向量場 A 在點(diǎn) M 的散度.記作divergence機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四表明該點(diǎn)處有正源, 表明該點(diǎn)處有負(fù)源, 表明該點(diǎn)處無源, 散度絕對值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場 A 處處有 , 則稱 A 為無源場. 例如, 勻速場 故它是無源場.P16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明: 由引例可知, 散度是通量對體積的變化率, 且第18頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四*例5.置于原點(diǎn), 電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的

9、場強(qiáng)為解: 計算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷的事實(shí)相符. 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1) 計算曲面積分 (非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四2. 通量與散度 設(shè)向量場P, Q, R, 在域G內(nèi)有一階 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù), 則 向量場通過有向曲面 的通量為 G 內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁，共25頁，2022年，5月20日

10、，20點(diǎn)52分，星期四思考與練習(xí)所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2) 為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四作業(yè)P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3; 4第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四 備用題 設(shè) 是一光滑閉曲面,所圍立體 的體 是 外法線向量與點(diǎn) ( x , y , z ) 的向徑試證證: 設(shè) 的單位外法向量為 則的夾角,積為V,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁，共25頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)52分，星期四高斯(1777 1855)德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家, 是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家, 他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域 , 在數(shù)論、 級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論