高數(shù) 二重積分的計(jì)算

1、高數(shù) 二重積分的計(jì)算第1頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí), 由曲頂柱體體積的計(jì)算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則若D為Y 型區(qū)域則第2頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四 X型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.第3頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例1. 計(jì)算其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解

2、法1. 將D看作X型區(qū)域, 則解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則作草圖、選擇類型、確定上下限-后積先定限、限內(nèi)化條線第4頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例2. 計(jì)算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解1: 及直線1第5頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例2. 計(jì)算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解2: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 后對(duì) y 積分,及直線則 第6頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例3. 計(jì)算其中D 是直線 所圍成的閉區(qū)域.解: 由被積函數(shù)可知,先對(duì) x 積分不行, 第7頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，

3、星期四說(shuō)明:選擇積分序的原則：先積分的容易，并能為后積分創(chuàng)造條件；積分域的劃分，塊數(shù)越少越好第8頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例4. 交換下列積分順序解: 積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域 , 則第9頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例5. 計(jì)算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,第10頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 =常數(shù)第11頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四對(duì)

4、應(yīng)有在內(nèi)取點(diǎn)即第12頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四則1、極點(diǎn)在邊界外注意：積分域的邊界曲線用極坐標(biāo)表示如何確定上下限？第13頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四2、極點(diǎn)在邊界上(1)(2)第14頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四3、極點(diǎn)在邊界內(nèi)第15頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四何時(shí)選用極坐標(biāo)？積分域D形狀：圓域、環(huán)域、扇域、環(huán)扇域被積函數(shù)形式：第16頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例6. 計(jì)算其中解: 在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無(wú)法用直角由于故坐

5、標(biāo)計(jì)算.第17頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四注:利用例6可得到一個(gè)反常積分公式Rs1s2第18頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例7. 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 由對(duì)稱性可知o第19頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例8:其中D 為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.第20頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例9. 交換積分順序提示: 積分域如圖第21頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四第三節(jié)一、三重積分的概念 二、三重積分的計(jì)算三重積分 第九章

6、 第22頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四一、三重積分的概念 類似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為第23頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四定義. 設(shè)存在,稱為體積元素, 若對(duì) 作任意分割: 任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì): 下列“乘積和式” 極限記作第24頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四二、三重積分的計(jì)算1. 利

7、用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 第25頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四如圖，方法1 . 投影法第26頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四得第27頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四其中 為三個(gè)坐標(biāo)例1. 計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域 .解:面及平面第28頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例2. 計(jì)算三重積分解: 第29頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四解第30頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四

8、第31頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四方法2. 截面法記作第32頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例2. 計(jì)算三重積分解: 用“先二后一 ” 注：被積函數(shù)為一元函數(shù)時(shí)，多選用截面法第33頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例3 .計(jì)算積分其中是兩個(gè)球 ( R 0 )的公共部分.提示: 由于被積函數(shù)缺 x , y ,原式 =利用“截面法” 計(jì)算方便 .第34頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四小結(jié): 直角坐標(biāo)系三重積分的計(jì)算方法方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”“三次積分”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)二種

9、方法(包含6種次序)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇. 第35頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四 例4：設(shè)計(jì)算提示: 利用對(duì)稱性原式 = 奇函數(shù)靈活應(yīng)用對(duì)稱性：第36頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例5：計(jì)算解：積分域關(guān)于y=x、y=z、x=z平面對(duì)稱第37頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四1. 將用三次積分表示,其中由所提示:六個(gè)平面圍成 ,第38頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面第

10、39頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.第40頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四其中為由例1. 計(jì)算三重積分所圍解: 在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.第41頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例2. 計(jì)算三重積分解: 在柱面坐標(biāo)系下所圍成 .與平面其中由拋物面原式 =第42頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四解知交線為第43頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，

11、17點(diǎn)29分，星期四第44頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四解所圍成的立體如圖， 第45頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 第46頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四第47頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面第48頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2) 被積

12、函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.第49頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例5. 計(jì)算三重積分解: 在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中 與球面第50頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四例6.求曲面所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱性, 所求立體體積為yoz面對(duì)稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz 第51頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四第52頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四第53頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，17點(diǎn)29分，星期四第54頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月2