高數(shù) 二重積分概念

1、高數(shù) 二重積分概念第1頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例3.解: 設水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應存在,的有蓋長方體水問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.第2頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例3.某廠要用鐵板做一個體積為2的有蓋長方體水問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?無條件極值:對自變量只有定義域限制第3頁，共54頁，2022年，5月2

2、0日，20點45分，星期四三、條件極值條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉化第4頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四方法2 拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設 記例如,故 故有第5頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.第6頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四推廣

3、拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如, 求函數(shù)下的極值.在條件第7頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例5.要設計一個容量為則問題為求x , y ,令解方程組解: 設 x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱, 試問 第8頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四得唯一駐點由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當高為第9頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星

4、期四例6：已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示:設 C 點坐標為 (x , y),則 第10頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.第11頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四3.求旋轉拋物面與平面之間的最短距離.解：設為拋物面上任一點，則 P 的距離為問題歸結為約束條件:目標函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面第12頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四令解此方程組得唯一

5、駐點由實際意義最小值存在 ,故第13頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解: 設內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,則它們所對應的三個三角形面積分別為設拉氏函數(shù)解方程組, 得故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 第14頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四第九章一元函數(shù)積分學多元函數(shù)積分學重積分曲線積分曲面積分重 積 分 第15頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四解法: 類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:底： xoy 面上的閉區(qū)域

6、 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” 二重積分的概念與性質 第一節(jié)第16頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體第17頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四4)“取極限”令第18頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四2. 平面薄片的質量 有一個平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,計算該薄片的質量 M .度為設

7、D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域相應把薄片也分為小區(qū)域 .第19頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第 k 小塊的質量第20頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四兩個問題的共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結構式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”曲頂柱體體積: 平面薄片的質量: 第21頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四二、二重積分的定義及可積性定義

8、:將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 第22頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四如果 在D上可積,與劃分D的分割方法無關也常二重積分記作這時分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃 記作曲頂柱體體積:平面薄板的質量:對二重積分定義的說明：第23頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四（3） 定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義

9、在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值第24頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四三、二重積分的性質( k 為常數(shù)) 為D 的面積, 則 第25頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四特別, 由于則5. （比較定理）若在D上6. （估值定理）設D 的面積為 ,則有第26頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四7.(二重積分的中值定理)證: 由性質6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點

10、在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點使使連續(xù),因此第27頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例1. 比較下列積分的大小:其中解: 積分域 D 的邊界為圓周它與 x 軸交于點 (1,0) ,而域 D 位從而于直線的上方, 故在 D 上 第28頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例3. 估計下列積分之值解: D 的面積為由于積分性質5即: 1.96 I 2D第29頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四對稱性：1 設D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 2、當區(qū)域關于 y 軸對稱, 函數(shù)關于變量 x 有奇偶性時, 仍在 D 上在

11、閉區(qū)域上連續(xù),域D 關于x 軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分, 則有第30頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四3、當區(qū)域關于 原點對稱, 函數(shù)關于變量 x、y 同時有奇偶性時, 仍有類似結果.4、當區(qū)域關于y=x對稱, 則第31頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四四、曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的第32頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算第33頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四第二節(jié)二重積分的計算法 第九章 第

12、34頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時, 由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則若D為Y 型區(qū)域則第35頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四 X型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.第36頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例1. 計算其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法1. 將D看作

13、X型區(qū)域, 則解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則作草圖、選擇類型、確定上下限-后積先定限、限內(nèi)化條線第37頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例2. 計算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解1: 及直線1第38頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例2. 計算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解2: 為計算簡便, 后對 y 積分,及直線則 第39頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例3. 計算其中D 是直線 所圍成的閉區(qū)域.解: 由被積函數(shù)可知,先對 x 積分不行, 第40頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四說

14、明:選擇積分序的原則：先積分的容易，并能為后積分創(chuàng)造條件；積分域的劃分，塊數(shù)越少越好第41頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例4. 交換下列積分順序解: 積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域 , 則第42頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例5. 計算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,第43頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四二、利用極坐標計算二重積分則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為在極坐標系下, 用同心圓 =常數(shù)第44頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四對應有

15、在內(nèi)取點即第45頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四則1、極點在邊界外注意：積分域的邊界曲線用極坐標表示如何確定上下限？第46頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四2、極點在邊界上(1)(2)第47頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四3、極點在邊界內(nèi)第48頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四何時選用極坐標？積分域D形狀：圓域、環(huán)域、扇域、環(huán)扇域被積函數(shù)形式：第49頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分，星期四例6. 計算其中解: 在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角由于故坐標計算.第50頁，共54頁，2022年，5月20日，20點45分