新高考一輪復習蘇教版 第5章 第4節(jié)　第2課時　余弦定理、正弦定理應用舉例 學案

1、 9/9第2課時余弦定理、正弦定理應用舉例考試要求能夠運用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題. 測量中的幾個常用術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角，方位角的范圍是0，360)方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)例：(1)北偏東：(2)南偏西： 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)東北方向就是北偏東45的方向()(2)從A

2、處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關系為180.()(3)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系()(4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2).()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習題衍生1點A在點B的北偏東60，則點B在點A的()A北偏西60B南偏東30C南偏西60D北偏西30C如圖所示，點B在點A的南偏西60，故選C2.如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計算出A，B兩點的距離為()

3、A50eq r(2) mB50eq r(3) mC25eq r(2) mDeq f(25r(2) ,2) mA由正弦定理得eq f(AB,sinACB)eq f(AC,sin B)，又B30，ABeq f(ACsinACB,sin B)eq f(50f(r(2),2),f(1,2)50eq r(2)(m)3如圖，在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5，在塔底D的南偏東60的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0，A，B間的距離是84 m，則塔高CD_m.12eq r(7)設塔高CDx m，則ADx m，DBeq r(3)x m.由題意得ADB9060150，在ABD中，利用余弦定理得842x2(eq r(

4、3)x)22xeq r(3)xcos 150，解得x12eq r(7)(負值舍去)，故塔高CD為12eq r(7)m.4一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，則B，C兩點間的距離是_海里10eq r(2)如圖所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，在ABC中，根據(jù)正弦定理得eq f(BC,sin 30)eq f(AB,sin 45)，解得BC10eq r(2)(海里) 考點一測量距離問題 eq 典例1某省第三次農業(yè)普查農作物遙感測量

5、試點工作，用上了無人機為了測量兩山頂M，N間的距離，無人機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(如圖)，無人機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟解方案一：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角1，1；B點到M，N的俯角2，2；A，B間的距離d.第一步：計算AM.由正弦定理AMeq f(dsin 2,sin12)；第二步：計算AN.由正弦定理ANeq f(dsin 2,sin21)；第三步：計算MN.由余弦定理MNeq r(AM2AN22AMANcos11

6、).方案二：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角1，1；B點到M，N點的俯角2，2；A，B間的距離d.第一步：計算BM.由正弦定理BMeq f(dsin 1,sin12)；第二步：計算BN.由正弦定理BNeq f(dsin 1,sin21)；第三步：計算MN.由余弦定理MNeq r(BM2BN22BMBNcos22).距離問題的解題思路這類實際應用題，實質就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉化為三角形問題去求解提醒：基線的選取要恰當準確；選取的三角形及正弦、余弦定理要恰當eq o(跟進訓練)1如圖，線段CD是某鐵路線上的一

7、條穿山隧道，開鑿前，在CD所在水平面上的山體外取點A、B，在四邊形ABCD中，測得AB50米，BAC45，DAC75，ABD30，DBC75.(1)試求B、D之間的距離及B、C之間的距離；(2)求應開鑿的隧道CD的長解(1)在ABD中，DAC75，CAB45，DAB120，又DBA30，ADB30，ABD為等腰三角形， ABAD50 m.由余弦定理可得BD250250225050cos 1205023，BD50eq r(3)m.ABC中，CAB45，ABCABDCBD3075105，ACB30，由正弦定理可得eq f(50,sin 30)eq f(BC,sin 45).BC50eq r(2)m

8、.(2)在BCD中，DBC75，BC50eq r(2)m，BD50eq r(3)m，根據(jù)余弦定理可得CDeq r(BD2BC22BDBCcosDBC)25(eq r(6)eq r(2)m. 考點二測量高度問題 典例2(2021全國甲卷)2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A ，B ，C 滿足A C B 45，A B C 60.由C點測得B點的仰角為15，BB 與CC 的差為100；由B點測得A點的仰角為45，則A，C兩點

9、到水平面A B C 的高度差AA CC 約為(eq r(3)1.732) ()A346B373C446D473B過C作CHBB 于H，過B作BMAA 于M，則BCH15，BH100，ABM45，CHC B ，A B BMAM，BB MA ，C A B 75，tanBCHtan 15tan(4530)eq f(tan 45tan 30,1tan 45tan 30)2eq r(3)，sin 75sin(4530)eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)f(1,2).則在RtBCH中，CHeq f(BH,tanBCH)100(2eq r(3)，C B 10

10、0(2eq r(3)在A B C 中，由正弦定理知，A B eq f(CB,sinCAB)sinA C B 100(eq r(3)1)，AM100(eq r(3)1)，AA CC AMBH100(eq r(3)1)100373，故選B解決高度問題的三個注意事項(1)要理解仰角、俯角的定義；(2)在實際問題中可能會遇到空間與平面(底面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形；(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空間問題轉化為平面問題eq o(跟進訓練)2(多選)(2021湖南長郡中學一模)如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔AB(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同

11、一水平面內的兩點C與D(B，C，D不在同一直線上)，測得CDs.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：ACB，ACD，BCD，ADB，ADC，BDC，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出塔AB的高度的是()As，ACB，BCD，BDCBs，ACB，BCD，ACDCs，ACB，ACD，ADCDs，ACB，BCD，ADCACD解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長. 對于A, 在CBD中，已知s，BCD，BDC，可以解這個三角形得到BC，再利用ACB、BC解直角ABC得到AB的值；對于B，在CBD中，已知s，BCD，無法解出此三角形，在CAD中，已知s，ACD，無法解出此三角形，也無法通過其

12、他三角形求出它的其他幾何元素，所以它不能計算出塔AB的高度；對于C，在ACD中，已知s，ACD，ADC，可以解ACD得到AC，再利用ACB、AC解直角ABC得到AB的值；對于D，如圖，過點B作BECD，連接AE.由于cosACBeq f(CB,AC)，cosBCDeq f(CE,BC)，cosACEeq f(CE,AC)，所以cosACEcosACBcosBCD，所以可以求出ACD的大小，在ACD中，已知ACD，ADC，s可以求出AC，再利用ACB、AC解直角ABC得到AB的值故選ACD 考點三測量角度問題 eq 典例3 一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行(2eq r(3)2)n mil

13、e到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15的方向航行4 n mile到達海島C(1)求AC的長；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達C，求CAB的大小解(1)由題意，在ABC中，ABC1807515120，AB2eq r(3)2，BC4，根據(jù)余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC(2eq r(3)2)242(2eq r(3)2)424，所以AC2eq r(6).(2)根據(jù)正弦定理得，sinBACeq f(4f(r(3),2),2r(6)eq f(r(2),2)，所以CAB45.解決角度問題的三個注意事項(1)測量角度時，首先應明確方位角及方向角的含義；(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值；(3)在解應用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題，解題過程中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點. eq o(跟進訓練)3已知島A南偏西38方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島北偏西22方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？eq blc(rc)(avs4alco1(參考數(shù)據(jù)：sin 38f(5r(3),14)，sin 22f(3r(3),14)解如圖，設緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一