2021-2022學(xué)年廣東省肇慶市端州區(qū)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1達芬奇的經(jīng)典之作蒙娜麗莎舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對蒙娜麗莎的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點，測得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根

2、據(jù)測量得到的結(jié)果推算：將蒙娜麗莎中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于（ ）ABCD2三棱錐中，側(cè)棱底面，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD3設(shè)直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實數(shù)的取值為A或11B或11CD4己知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，垂足為，若的面積為，則到的距離為（ ）ABC8D65設(shè)Py |yx21，xR，Qy |y2x，xR，則AP QBQ PCQDQ 6已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（ ）A4B3C2D17如圖，在直三棱柱中，點分別是線段的中點，分別記二面角，的平面角為，則下列結(jié)論正確的是（ ）ABC

3、D8已知，則，的大小關(guān)系為（ ）ABCD9一個四面體所有棱長都是4，四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（ ）ABCD10設(shè)，則關(guān)于的方程所表示的曲線是（ ）A長軸在軸上的橢圓B長軸在軸上的橢圓C實軸在軸上的雙曲線D實軸在軸上的雙曲線11已知a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且a，b，a，b，則“ab“是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件12執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知實數(shù)滿約束條件，則的最大值為_.14（5分）已知曲線的方程為，其圖象經(jīng)過點，則曲線在點處的切線方程是

4、_15已知角的終邊過點，則_.16九章算術(shù)卷5商功記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺，術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高），則由此可推得圓周率的取值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的

5、損耗為m元（），運輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、的表達式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.18（12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前n項和，對于任意的滿足關(guān)系式.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項公式是，前n項和為，求證：對于任意的正數(shù)n，總有.19（12分）已知函數(shù).（）已知是的一個極值點，求曲線在處的切線方程（）討論關(guān)于的方程根的個數(shù).20（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為3，其中（1）求的值；（2）若，求證：21（12分）設(shè)數(shù)列的前列項和為，已知

6、.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：.22（10分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線，的交點分別為、（、異于原點），當(dāng)斜率時，求的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】由已知，設(shè)可得于是可得，進而得出結(jié)論【詳解】解：依題意，設(shè)則，設(shè)蒙娜麗莎中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為則，故選：A【點睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力

7、，屬于中檔題2B【解析】由題，側(cè)棱底面，則根據(jù)余弦定理可得 ，的外接圓圓心 三棱錐的外接球的球心到面的距離 則外接球的半徑 ，則該三棱錐的外接球的表面積為 點睛：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑 公式是解答的關(guān)鍵3A【解析】圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長公式得，解得或，故選A4D【解析】作，垂足為，過點N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，從而可求出，進而可求得，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點，即可求出到的距離【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，所以在中，所以，所以，在中，所以，所以，所以 解得，因為，所以為線段

8、的中點，所以F到l的距離為故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識，屬于中檔題5C【解析】解：因為P =y|y=-x2+1，xR=y|y1，Q =y| y=2x，xR =y|y0,因此選C6A【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.7D【解析】過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案【詳解】解：因為，所以，即過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，1，設(shè)平面的

9、法向量， 則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量，故選：D【點睛】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題8D【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，得，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對數(shù)式比較大小，屬于中檔題.9A【解析】將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系，求解即可【詳解】解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體

10、的外接球與正方體的外接球相同，四面體所有棱長都是4，正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以，故選：A【點睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關(guān)鍵在于，巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化，屬于中檔題10C【解析】根據(jù)條件，方程即，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型【詳解】解：k1，1+k0，k2-10，方程，即，表示實軸在y軸上的雙曲線，故選C【點睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵11D【解析】根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可【詳解】解：a，b，a，b，由ab，不一定有，與可能相交；反之，由，可得a

11、b或a與b異面，a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且a，b，a，b，則“ab“是“”的既不充分也不必要條件故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題12B【解析】列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。138【解析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移計算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件，畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.又目標(biāo)函數(shù)表示直線

12、在軸上的截距，由圖可知當(dāng)經(jīng)過點時截距最大，故的最大值為8.故答案為：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.14【解析】依題意，將點的坐標(biāo)代入曲線的方程中，解得.由，得，則曲線在點處切線的斜率，所以在點處的切線方程是，即15【解析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值【詳解】解：角的終邊過點，故答案為：【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題163【解析】根據(jù)圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高）,可得,進而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點睛】本題主要考查

13、了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），.（2）當(dāng)時，此時選擇火車運輸費最?。划?dāng)時，此時選擇飛機運輸費用最省；當(dāng)時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【解析】（1）將運費和損耗費相加得出總費用的表達式.（2）作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】（1），.（2）， 故，恒成立，故只需比較與的大小關(guān)系即可，令，故當(dāng)，即時，即，此時選擇火車運輸費最省，當(dāng)，即時，即，此時選擇飛機運輸費用最省.當(dāng)，即時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【點睛】本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.1

14、8（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)公式得到，計算得到答案.（2），根據(jù)裂項求和法計算得到，得到證明.【詳解】（1）由已知得時，故.故數(shù)列為等比數(shù)列，且公比.又當(dāng)時，.（2）.【點睛】本題考查了數(shù)列通項公式和證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.19（）；（）見解析【解析】（）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是f (x)的一個極值點，得f (2) =0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解即可；（）利用參數(shù)法分離法得到，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點個數(shù)進行求解即可.【詳解】（）因為，則，因為是的一個極值點，所以，即，所以，因為

15、，則直線方程為，即；（）因為，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)在是減函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)在是增函數(shù)，因為時，所以當(dāng)時，方程無實數(shù)根，當(dāng)時，方程有兩個不相等實數(shù)根，當(dāng)或時，方程有1個實根.【點睛】本題考查函數(shù)中由極值點求參，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個數(shù)問題，屬于難題.20（1）（2）見解析【解析】（1）分三種情況去絕對值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab1，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證【詳解】（1），. 當(dāng)時，取得最大值. . （2）由（

16、），得，. ，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，. 令，.則在上單調(diào)遞減. 當(dāng)時，.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，屬中檔題本題主要考查了絕對值不等式的求解，以及不等式的恒成立問題，其中解答中根據(jù)絕對值的定義，合理去掉絕對值號，及合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.21（1）（2）證明見解析【解析】（1）由已知可得，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項公式；（2）當(dāng)時，由，可求，時，由，可證，驗證時，不等式也成立，即可得證.【詳解】（1）由可得，即，所以，解得，（2）當(dāng)時，,當(dāng)時，綜上，由可得遞增，時；所以，綜上：故.【點睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項公式，

17、利用放縮法證明不等式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.22（1）的極坐標(biāo)方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可求解. (2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，分別代入曲線，的極坐標(biāo)方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1) 由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，則曲線的極坐標(biāo)方程為，即，又因為曲線的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（