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1、2.隨機的 Ramsey 模型w(k ) max E u(c )t00tc ,k t t1 t0t 0s.t.ct kt 1 f (kt ) (1 )ktk0 0(1)技術沖擊的假定這里生產函數f (k ) ezt k 且 z z ， N (0, )2t 1ttttt沒有不確定性的情況下， z 0 ， f (k ) ktttt1 0zt 1 t 1zt 2 t 1 t 2zt 3 2t 1t 2t 3f (k ) z k 且log z (1 ) log z log z tt ttt 1tlog zt log z (log zt 1 log z) t與長期趨勢的偏離服從 AR(1)。沒有不確定性

2、的情況下， z z 1， f (k ) k 。 0tttt 1maxE uc (s )ttt t 0c ( st ),k ( st )tt1t0 maxttt(s )uc (s )tc ( st ),k ( st )tt1t0t 0 s St ts.t. c (st ) k(st ) z f k (s) (1 )k (s) ,t 1t 1(t, st )t 1ttttk0 0寫成遞歸問題：(2)求解動態(tài)規(guī)劃：v(k, z) maxu f (k ) (1 )k k Ev(k , z )k k0 0s.t.問題的解包括值函數v(kt , zt ) 和政策函數kt 1 g(kt , zt ) 。Eu

3、ler 方程為：u (ct ) Et u (ct 1 )zt 1 f (kt 1 ) (1 ) | zt c1u(c ) t1 ttf (k ) e kztt定義 Rt 1 rt f (kt 1 ) (1 ) ，not a net rate。Ramsey 模型在隨機情況下可寫為：ctt 11 E R()1/ Euler 方程tt 1cR ek (1 )z 1t1t 1t 1c k e k (1 )kz ttt 1ttz z ， N (0, )2t 1ttt 1穩(wěn)態(tài)狀態(tài) zt 01 R *R* k * 1 (1 )c* k * k *(3)對數線性化 log-linearizationx *對于

4、變量 x ，其穩(wěn)態(tài) x *，定義ttx *x *ln xt x *e x *extx*對 xt 圍繞 x 0 進行 1 階展開x x *e0 x *ex )tt變量 xt 轉換成其穩(wěn)態(tài)值以及其與穩(wěn)態(tài)值的偏離的百分比。xt yt x * y *(1 xt )(1 yt )f (xt ) f (x*)x*)txt* f (x*)f 1) f (x*) df (x*) x * f (x*) (1 x 1)tdx *f (x*) f (x*) f (x*) xt f (x*)(1 xt ) df (x*) x *dx *f (x*)t )yt f (xt ) y * f (x*)(1 yt xt )

5、k * (1 k )kttf (xt )g( yt ) f (x*)g( y*) (1x y z )f tg th th(z )h(z*)tctt 11 E R()1/ Euler 方程tt 1cR ek (1 )z 1t1t 1t 1c k e k (1 )kz ttt 1tt對于資源約束c k e k (1 )kz ttt 1ttln ezt ln ez* ztezt e0 e0 (z 0) 1 zttc * (1 c ) k * (1 k ) (1 z )k * (1 k ) (1 )k * (1 k )tt 1ttt(1 c )c * (1 k )k* (1 z k )k * (1 )

6、(1 k )k *t 1ttttc * k* k* (1 )k *c c * k k* (z k )k * (1 )k k *t 1ttttc c* z k * ( k *1 )k k * k k * 1t 1ttty * zk *c ( k * 1 )k k * k1tttt 1c *c *1 R *y * zk * k k * kc c *t 1tttc *c *關于價格決定R ek (1 )z 1t1t 1t 1R* k * 1 (1 )R * (1 R) k * 1 1 z ( 1)k (1 )t 1t 1t 1R* z ( 1)k k * 1Rt 1t 1t 11 R *R ( 1)

7、k k * 1 zt 1t 1t 1 z ( 1)k 1 (1 )Rt 1t 1t 1 1 (1 )z (1 )kRt 1t 1t 1Euler 方程ctt 11 E R()1/ tt 1c1 E R * (1 R 1 (c c)t 1tt 1t0 E R 1 (c c)tt 1tt 10 E 1 (1 )z (1 )k 1 (c c)t 1t 1tt 1t經過對數線性化后，原來的非線性系統(tǒng)：ctt 11 E R()1/ Euler 方程tt 1cR ek (1 )z 1t1t 1t 1 e k (1 )kz c kttt 1ttz z ， N (0, )2t 1ttt 1 轉化為關于(z,

8、k , k) 的線性系統(tǒng) the linear rational expecions system of equations：t 1tt 1y * zk * k k * kc t 1tt c *tc *c * 1 (1 )z (1 )kRt 1t 1t 10 E 1 (1 )z (1 )k 1 (c c)t 1t 1tt 1tz z ， N (0, )2t 1ttt 1(4)待定系數法(the method of undetermined coefficients)假定每一個內生變量都是專題變量的線性函數：k a k b zt 11 t1 tct a2k b zt2 t這里 a1 1 。才能保

9、證一個沖擊發(fā)生后系統(tǒng)最終回到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，即橫截性條件滿足。接下來求解四個系數 a1 ， a2 ， b1 ， b2 。y * zk * k k * kc tt c *tt 1c *c *y * zk * k k * (a k b z )(a k b z )c 2 t2 ttt c *t1 t1 tc *c *k *k * aa 2 c *c *1y * k * bb 21c *c *0 E 1 (1 )z (1 )k 1 (c c)t 1t 1tt 1tzt 1 zt t1 (1 ) z (1 )(a k bz ) a k b z a (a k bz ) b ( z ) 0E ttt1 t1 t2

10、 t2 t21 t1 t2tt1 (1 ) zt (1 )(a1k b z ) a k b z a (a k b z ) b z 0t1 t2 t2t21 t1 t2ta2 a2a1 1 (1 )(1 )a1 k 1 (1 ) (1 )b1 b2 a2b1 b2 zt 0ta2 a2 a1 1 (1 )(1 )a1 01 (1 ) (1 )b1 b2 a2b1 b2 0這樣，以下四個方程將求解四個系數： a1 ， a2 ， b1 ， b2k *k * aa 2 c *c *1y * k * bb 21c *c *a2 a2 a1 1 (1 )(1 )a1 01 (1 ) (1 )b1 b2 a

11、2b1 b2 0 1a a 0211 1 1 ( 1 (1 )(1 ) c * 1k * 2 1 a 121a ( ) 2212取一個較小的正根， a1 11a ( ) 2212(4)隨機動態(tài)系統(tǒng)的性質經過上述的兩個步驟的處理后，社會計劃者問題關于消費與資本存量水平c , k的tt 1 t 0最優(yōu)路徑被轉換為以下關于兩個狀態(tài)變量(z, k ) 的一個線性動態(tài)系統(tǒng)：t 1tk a k b z(6.2.39)t 11 t1 tct a k b z(6.2.40)2 t2 tzt 1 zt t 1利用(6.2.39)式至(6.2.41)式可刻畫模型經濟的動態(tài)特征?？梢苑治鲇蛇@個模型經濟所生成的宏觀變

12、量的統(tǒng)計特征。計算這些加總的變量的無(6.2.41)條件方差(unconditional varian)，然后比較這些方差與由現實經濟產生的實際數據獲得的樣本方差，檢驗模型經濟設定的合理性。由 zt 1 zt t 1 ，技術進步沖擊的方差為： 2 1 22(6.2.42)z由 k a k b z ，以及兩個狀態(tài)變量 k , z 之間相互獨立，變量 k 的方差為：t 11 t1 ttttb 2 2 21z(6.2.43)1 a2k1由ct a k b z ，可以計算變量c 的方差為：2 t2 tta b 2 2 2 b2 22 22 1z(6.2.44)c1 a2z1最后，把生成函數 y f (

13、k ) ezt k 對數線性化后得 y z k ，變量 y 的方差為：ttttttt b 22 2 22z1z(6.2.45)y1 a21 ) b1 z a(1進一步由i k (1 )k ，對數線性化后代入(6.2.39)式i1k ，tt 1tttt這樣關于投資變量的方差為： (a (1 )2b 2 2 1211z 2(6.2.46)1 a2i1(6.2.42)式至(6.2.46)式給出了在一個存在技術進步沖擊的模型經濟中，產出、消費、投資及資本存量等宏觀變量的波動特征。這些特征可與一個現實經濟體做對比。利用一個現實經濟體的樣本數據可計算上述變量的樣本方差。通常利用 HP 濾波獲得相關變量的周

14、期TT性成分 y , c , k , i , r ，之后計算相關變量樣本方差 var( y) T( y T11y ) ，然后2ttt t tttt 1t 1與(6.2.42)式至(6.2.46)式等模型經濟生成的結構相對比。如果有模型經濟生成的變量的波動幅度與現實經濟相關變量的波動性較接近，那么，說明模型經濟的設定是合理的。利用模型經濟可模擬外生的沖擊源對現實經濟的影響。(5)脈沖響應函數把(6.2.39)式至(6.2.40)式的動態(tài)系統(tǒng)擴展為以下的方程組：b1 a1 k1 t 1 kyt t ab(6.2.47)c22 z t t(1 )abi 1 1 t利用(6.2.47)式連同(6.2.

15、41)式模擬一個技術進步的外生沖擊對模型經濟的影響。假定 z0 0 ，1 1 ， t1 0 。這相當于給了模型經濟一個正的沖擊(即一個正的脈沖)，通過(6.2.47)式可觀察這個沖擊導致的宏觀效應。在 t 0 期，由于 z0 0 ， 0 ，那么， k y c i 0 。到 t 1 期k01000z z 1，代入(6.2.47)式得到(k , y, c , i ) 。到t 2 期， z z ，得到101211 1212(k , y , c , i ) 。依次類推，到在模型經濟中一個正的技術進步的沖擊，所導致的資本322 2存量、產出、消費及投資與各自穩(wěn)態(tài)值偏離程度的變化，對應地，得到一序列所謂的

16、脈沖相應函數。 0 ；同時，由于 1，則 z 0 。因而一個外部的沖這里，由于 a 1 ，所以 kt 11t擊在一定時間之后其影響會，模型經濟會回到其穩(wěn)態(tài)狀態(tài)。圖 6.6 技術進步沖擊對產出的脈沖相應函數3.一個簡單 RBC 模型把勞動供給引入上述新古典增長模型中，就一個簡單的 RBC 模型。這里，技術進步沖擊對經濟波動的傳導機制是這樣的：技術進步水平的變化將改變經濟中勞動力的價格，從而影響代表性家庭的勞動供給，從而影響產出、消費與投資等。假定生成函數為 f (kt ) zt f (kt , nt ) ，其中l(wèi)og zt (1 ) log z log zt 1 t ，即假定技術進步與其長期趨勢

17、的偏離服從一個 AR(1)的過程。沒有不沖擊的情況下， zt z 1。log zt log z (log zt 1 log z) t(6.2.48)構建一個社會計劃者問題的遞歸形式。內生的狀態(tài)變量為資本存量 kt ，外生的狀態(tài)變量為技術進步水平 zt 。定義值函數為v(kt , zt ) ，策略函數為 kt 1 g(kt , zt ) 。一個沒有約束的 Bellman 方程為：v(k, z) maxuzf (k, n) (1 )k k ,1 n Ev(k , z )n,k (6.2.49)上式動態(tài)規(guī)劃問題的解包括值函數v(kt , zt ) 和政策函數kt 1 g(kt , zt ) 。求解上

18、述最大化問題，關于兩期消費(ct , ct 1 ) 應滿足的 Euler 方程為：u1 (ct ,1 nt ) Et u1 (ct 1,1 nt )zt 1 f1 (kt 1, nt 1 ) (1 ) | zt (6.2.50)關于同期消費與勞動供給(ct , nt ) 應滿足以下的 1 階條件：u1 (ct ,1 nt ) zf2 (kt , nt ) u2 (ct ,1 nt )(6.2.51)(6.2.50)式、(6.2.51)式、連同資源約束條件 kt 1 zt f (kt , nt ) (1 )kt ct 以及(6.2.48)式就了社會計劃者問題最優(yōu)解需滿足的必要條件。6.3 競爭性

19、均衡前面兩節(jié)主明了在不確定下社會計劃者。這里將說明如何定義一個不確定性經濟的競爭性均衡。首先說明關于競爭性均衡的三個概念：Date-0 市場競爭性均衡、序貫市場競爭性均衡以及遞歸的競爭性均衡；然后，正如第二章所的，在不確定性的情況下，代表性家庭用于金融資產投資的資產種類與其可能的不確定性狀態(tài)的數量之間如果不一致，市場為不完全的，那么，序貫市場競爭性均衡的結果就會偏離 Pareto 最優(yōu)。在完全市場的假定下，所有競爭性均衡的結果都是 Pareto 最優(yōu)的。1.Date-0 競爭性均衡在一個 Date-0 市場上，代表性家庭把任何一個時點上以及任何一種可能實現的狀態(tài)下的消費品都看成是不同的“商品”

20、，因而，家庭可在 Date-0 市場上簽訂各類“商品”的合同(dated se-contingent claims)。其最優(yōu)的“商品”組合既體現了其資產在不同時點的配置，同時還體現了在同一時點不同可能實現的狀態(tài)下選擇。這樣的市場是完全的(complete)，其競爭性均衡的結果是 Pareto 最優(yōu)的。引入一個具有馬爾可夫鏈性質的隨機過程， (Z , P, 0 ) ，其中隨量 zt Z ，Z z , z , z 。記 st (z , z, z ) ， z Z ，為一條從起點開始到時間t 的一條歷tt 1012nt史路徑。這里，先定義一個純交換經濟的競爭性均衡，然后再看加入生產部門的情形。(1)純

21、交換的模型經濟假定代表性家庭的稟賦為，e (st ) 。在t 0 的時點上，已知 s0 z 。記在t 時點和tt 00歷史 st 上的“商品”價格 p (st ) ，家庭選擇的“商品”數量為c (st )。tt 0tt 0一個 Date-0 市場的競爭性均衡為，存在一組資源配置(allocation)：c (st ) 以及價格tt 0 p (st ) ，滿足：tt 0(i)代表性家庭在給定資源配置以及價格的條件下，最大化效用決定商品需求c (st ) 。家庭tt 0為：0 tu(u(c (st )max E(6.3.1)tc ( st )tt0t 0t 0 s St t tt ttp (s )

22、c (s ) ttp (s )e (s )tts.t.(6.3.2)t 0 st Stt 0 st St(ii)市場均衡c (st ) e (st )t ， st(6.3.3)tt當上述定義的 Date-0 市場競爭性均衡實現時，這個純交換經濟的資源配置為c (st ) e (st ) ，經濟的均衡價格為：tt (st ) u c (st )u c (st )p (s ) (stt ttt| z) t(6.3.4)t (z ) u c (z )0u c (z )00000(2)引入生產部門的模型經濟一個 Date-0 市場競爭性均衡為，存在一組資源配置c (st ), n (st ), k(s

23、t ) ，以及價t 1t 0tt格 p (st ), w (st ), r (st ) ，滿足：tt 0tt(i)代表性家庭給定初始資產 k0 0 ，時間以及價格的條件下，最大化效用決定其商品需求、勞動供給及資產存量c (st ), n (st ), k(st ) 。家庭為：t 1t 0ttE uc (s ),1 n (s )tttmax0ttc ( st ),n ( st ),k ( st )ttt1t0t 0 t 0 st St tt(s )uc (s ),1 n (s )tt(6.3.5)tt t 0 st St t 0 st Stp (s )c (s ) k(s ) p (s )(1

24、r (s )k (s) w (s )n (s )t 1ttttttts.t.ttt 1ttttt(6.3.6)k0 0(ii)代表性企業(yè)利潤生產技術給定的條件下，企業(yè)利潤最大化決定資本和勞動的需求。其 1 階條件為：r (s ) z F k (s), n (s )t 1tt(6.3.7)tt 1 ttw (st ) z F k (st1), n (st )(6.3.8)tt 2tt(iii)市場均衡c (st ) k(s ) z Fk (s), n (s ) (1 )k (s)t 1t 1t ，sttt(6.3.9)tt 1tttt可以證明上述 Date-0 市場競爭性均衡的結果與社會計劃者配

25、置資源的結果是一致的。2.序貫市場競爭性均衡(SMCE)引入 1 期到期 Arrow-Debreu 資產。正如在第二章所分析的，這類資產對應不同的狀態(tài)而設計，資產的數目等同于狀態(tài)的數目。是一種隨狀態(tài)變化的 1 期保險合同(Contingent claims，insurance contracts)。當這類資產存在時，代表性家庭將其資產在不同時點以及在不同狀態(tài)下分配，以實現效用的最大化(Wealth transfers across dates and s es)。其競爭性均衡的結果是 Pareto 最優(yōu)的。如果一個馬爾可夫過程具有 n 種狀態(tài)，如， Z z , z , z 。記 q (st , z z ) 為12ntt 1j在t 時點、歷史路徑為 st 時，t 1期到期、在狀態(tài)實現為 zt 1 z j 情形下的 A-D 資產的價格；對應地，資產的數量記為 B (st , z z ) 。以下，以一個純交換經濟為例，定義t 1t 1j序貫市場競爭性均衡。假定家庭的稟賦水平為 (st ) 。tt 0一個序貫市場均衡為，存在一組資源配置c (st ); B (st , z Z ) 以及價格t 1t 1t 0tq (st , z Z ) ，滿足：tt 1t 0E u(c (s )ttmax0tc ( st