(課件)31回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(三)【人教A版】

1、11.09.2022.3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（三）高二數(shù)學(xué) 選修2-3 第三章 統(tǒng)計案例111.09.2022鄭平正 制作 比數(shù)學(xué)3中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)統(tǒng)計畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程ybxa用回歸直線方程解決應(yīng)用問題選修2-3統(tǒng)計案例引入線性回歸模型ybxae了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結(jié)果11.09.2022鄭平正 制作復(fù)習(xí)回顧1、線性回歸模型：y=bx+a+e， (3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。y=bx+a+e，E(e

2、)=0,D(e)= (4) 2、數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。3、對每名女大學(xué)生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號表示為： 稱為殘差平方和，它代表了隨機誤差的效應(yīng)。11.09.2022鄭平正 制作4、兩個指標：（1）類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用作 為 的估計量， 越小，預(yù)報精度越高。（2）我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其 計算公式是： R2 1，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差。11.09.2022鄭平正 制作表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研究兩個變量間的關(guān)

3、系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。5、殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。11.09.2022鄭平正 制作殘差圖的

4、制作及作用1、坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；3、對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點 錯誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點說明： 第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高。11.09.2022鄭平正 制作例1 在一段時間內(nèi)，某中

5、商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需求量Y1210753解：11.09.2022鄭平正 制作例1 在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格x1416182022需求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.411.09.2022鄭平正 制作例2 關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)： 有如下的兩個線性模型：（1） ；（2） 試比較哪一個擬合效果更好。x24568y3040605

6、07011.09.2022鄭平正 制作6、注意回歸模型的適用范圍：（1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據(jù)來自哪個總體的，預(yù)報時也僅適用于這個總體。（2）模型的時效性。利用不同時間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型，只有用來對那段時間范圍的數(shù)據(jù)進行預(yù)報。（3）建立模型時自變量的取值范圍決定了預(yù)報時模型的適用范圍，通常不能超出太多。（4）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。正如前面已經(jīng)指出的，某個女大學(xué)生的身高為172cm，我們不能利用所建立的模型預(yù)測她的體重，只能給出身高為172cm的女大學(xué)生的平均體重的預(yù)測值。11.09.2022鄭平正 制作7、一般地，建立回歸模型的基本步驟

7、為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預(yù)報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。11.09.2022鄭平正 制作案例2 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)。現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并

8、預(yù)測溫度為28oC時產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個71121246611532511.09.2022鄭平正 制作選變量 解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù) 為預(yù)報變量y。畫散點圖假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a選 模 型分析和預(yù)測當x=28時，y =19.8728-463.73 93估計參數(shù)由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73 相關(guān)指數(shù)R2=r20.8642=0.7464所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知050100150200250300350036912

9、151821242730333639方案1當x=28時，y =19.8728-463.73 93一元線性模型11.09.2022鄭平正 制作奇怪？9366 ?模型不好？11.09.2022鄭平正 制作 y=bx2+a 變換 y=bt+a非線性關(guān)系 線性關(guān)系方案2問題選用y=bx2+a ，還是y=bx2+cx+a ？問題3 產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b ？合作探究 t=x2二次函數(shù)模型11.09.2022鄭平正 制作方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t4

10、4152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關(guān)指數(shù)R2=r20.8962=0.802將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.54當x=28時，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t11.09.2022鄭平正 制作問題 變換 y=bx+a非線性關(guān)系 線性關(guān)系問題如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對數(shù)11.09.2022鄭平正 制作方案3解答溫度xoC

11、21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325xz當x=28oC 時，y 44 ，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化由計算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程為z=0.118x-1.665 ，相關(guān)指數(shù)R2=r20.99252=0.985 對數(shù)變換：在 中兩邊取常用對數(shù)得令 ，則 就轉(zhuǎn)換為z=bx+a11.09.2022鄭平正 制作最好的模型是哪個? 產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型11.09.2022鄭平正 制作比一比函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.8

12、02指數(shù)函數(shù)模型0.985最好的模型是哪個?11.09.2022鄭平正 制作用身高預(yù)報體重時，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值。 事實上，它是預(yù)報變量的可能取值的平均值。這些問題也使用于其他問題。涉及到統(tǒng)計的一些思想：模型適用的總體；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預(yù)報結(jié)果的正確理解。小結(jié)11.09.2022鄭平正 制作什么是回歸分析？ （內(nèi)容）從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對這些關(guān)系式的可信程度進行各

13、種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預(yù)測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預(yù)測或控制的精確程度11.09.2022鄭平正 制作回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別相關(guān)分析中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化相關(guān)分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機變量，自變量 x 可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量相關(guān)分析主要是描述兩個變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對變量 y 的影響大小，還可以由回歸方程進行預(yù)測和控制 11.09.2022鄭平正 制作練習(xí) 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用 y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料。使用年限x 23456維修費用y 2.23.85.56.