北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題及參考標(biāo)準(zhǔn)答案

1、第四屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題及參考答案 試 題1、（滿分20分）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要接著向前沒行一段距離才能停住。我們稱這段距離為“剎車距離”。剎車距離是分析事故的一個(gè)重要的因素。在一個(gè)限速為40千米/時(shí)的路段上，先后有A、B兩輛汽車發(fā)生交通事故。事故后，交通警察現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得A車的剎車距離超過12米，不足15米，B車的剎車距離超過11米，不足12米。又知A、B兩種車型的剎車距離S（米）與車速x（千米/時(shí)）之間有如下關(guān)系： 假如僅僅考慮汽車的車速因素，哪輛車應(yīng)負(fù)責(zé)任？2.（滿分20分）北京電視臺(tái)每星期六晚播出東芝動(dòng)物樂園，在那個(gè)節(jié)目中曾經(jīng)有如此一個(gè)搶答題：小晰蜴體長(zhǎng)15cm

2、，體重15g,問：當(dāng)小晰蜴長(zhǎng)到體長(zhǎng)為20cm時(shí)，它的體重大約是多少（選擇答案：20g,25g,35g,40g）?嘗試用數(shù)學(xué)分析出合理的解答。3. （滿分20分）受日月的引力，海水會(huì)發(fā)生漲落，這種現(xiàn)象叫做潮汐。在通常的情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋。下面是某港口順某季節(jié)每天的時(shí)刻與水深關(guān)系表： 時(shí)刻水深（米）時(shí)刻水深（米）時(shí)刻水深（米）0:005.08:003.116:007.41:006.29:002.517:006.92:007.110:002.418:005.93:007.511:003.519:004.44:007.312:004.420:003.35:006

3、.513:005.621:002.56:005.314:006.722:002.77:004.115:007.223:003.8(1)請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)紙上，依照表中的數(shù)據(jù)，用連續(xù)曲線描出時(shí)刻與水深關(guān)系的函數(shù)圖像；（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5的安全間隙（船底與洋底的距離），問該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)刻必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 4（滿分20分）2000年末，某商家迎來店慶，為了吸引顧客，采取“滿一百送二十，連環(huán)

4、送”的酬賓方式，即顧客在店內(nèi)花鈔票滿100元（這100元能夠是現(xiàn)金，也但是獎(jiǎng)勵(lì)券，或二者合計(jì)），就送20元獎(jiǎng)勵(lì)券；滿200元，就送40元獎(jiǎng)勵(lì)券，滿300元，就送60元獎(jiǎng)勵(lì)券；.。當(dāng)日，花鈔票最多的一顧客用現(xiàn)金70000元，假如按照酬賓方式，他最多能得到多少優(yōu)惠呢？相當(dāng)于商家打了幾折銷售？ 5（滿分20分）某都市預(yù)備進(jìn)行書畫展覽，為了保證展品安全，展覽的保衛(wèi)部門預(yù)備安排保安員值班。情況如下： 展覽大廳是長(zhǎng)方形，內(nèi)設(shè)均勻頒的mn個(gè)長(zhǎng)方形展區(qū)，如圖所示（下圖是一個(gè)34個(gè)展區(qū)的示意圖）。在展廳中，展覽的書畫被掛在每個(gè)展區(qū)的外墻上，參觀者在通道上掃瞄書畫。 保安員站在固定的位置上，不同意轉(zhuǎn)身，只能監(jiān)視他

5、的左右兩側(cè)和正前方，形如“T”形的區(qū)域。且一個(gè)保安員的正前方不安排其它保安員。 不考慮保安員的輪崗、換班問題。 展口的安全意味著每一個(gè)展區(qū)的四面外墻都在保安員的監(jiān)視范圍內(nèi)。問題：（1）關(guān)于如上圖所示的展廳中，最少需要幾個(gè)保安員能使展品安全？在圖中標(biāo)明保安員的位置（不要求證明）。（2） 假如展要有nm個(gè)展區(qū)，最少需要多少個(gè)保安員能使展品安全？請(qǐng)證明你的結(jié)論。競(jìng)賽參考答案 1.解法一： 由題意得這兩輛汽車的剎車距離分不滿足如下的關(guān)系式： 1215， 1112，分不求解這兩個(gè)不等式，得 3035， 1245.可見，A車無責(zé)任，B車應(yīng)付責(zé)任。 解法二：假如=40km/h，則能夠算得=20m,=10m。

6、由于A車實(shí)際剎車距離沒有超過它按限速行駛的剎車距離=20m；而B車實(shí)際剎車距離超過了它按限速行駛時(shí)的剎車距離=10m?？梢夾車無責(zé)任，B車應(yīng)付責(zé)任。2.解：假設(shè)小晰蜴從15cm長(zhǎng)到20cm，體形是相似的。這時(shí)晰蜴的體重正比于它的體積，而體積與體長(zhǎng)的立方成正比。 記體長(zhǎng)為l的晰蜴的體重為，因此有 合理的答案應(yīng)該是35g。3.解：（1）描點(diǎn)作圖，設(shè)x表示時(shí)刻，y表示水深。 （2）由題目條件，水深至少為5.5米時(shí)才能保證貨船駛?cè)敫劭诘陌踩?。為此在上圖中做一條y=5.5的水平直線a。圖象在a止方時(shí)，其對(duì)應(yīng)的x范圍為貨船駛?cè)敫劭诘陌踩珪r(shí)刻段，從圖中能夠看出，那個(gè)時(shí)刻段約為0:30到5:40分，或13:0

7、0到18:20（有10分鐘左右的偏差能夠算對(duì)），在港口停留的時(shí)刻大約為5小時(shí)。 也能夠用線性插值方法，在已知點(diǎn)中，若相鄰兩點(diǎn)在直線a的異側(cè)，設(shè)加在它們中間且過直線a的點(diǎn)與它們共線。因此 利用點(diǎn)（0，5）和（1，6.2），得=（5.5-5）/（6.2-5）=0.417，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為0:25；利用點(diǎn)（5，6.5）和（6，5.3），得=5.83，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為5:50。由此得到第一個(gè)滿足條件的時(shí)刻段約為0:25-5:50。 同理，利用點(diǎn)（12,4.4）和(13,5.6)，得=12.92,對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為12:55；利用點(diǎn)（18,5.9）和(19,4.4)，得=18.27，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為18:16。由此得到第

8、二個(gè)滿足條件的時(shí)刻段約為12:55-18:16。 （3）2:00時(shí)水深為7.1米，船需要的安全水深隨著卸貨時(shí)刻的變化公式為：y=5.5-0.3(x-2); 其中2x5.83，此處利用了插值的結(jié)果。在上面的函數(shù)圖象中畫出該圖象，看出與原圖象的交點(diǎn)大約在7:00左右（有10分鐘左右上午偏差能夠算正確），故知在7:00往常該貨船一定要離開碼頭駛到較深的安全水域。 注： 此處也可利用(6,5.3),(7,4.1)做線性插值，得y=-1.2x+12.5與y=5.5-0.(x-2),聯(lián)立可求得x=7.1,即7:06;若利用(7,4.1),(8,3.1)做線性插值，得y=-x+11.1與y=5.5-0.3(

9、x-2)聯(lián)立可求得x=7,即7:00.這些做法與看圖得到的結(jié)果一致。 4.解：購(gòu)物價(jià)值=所用人民幣值+優(yōu)惠值，將最多購(gòu)物價(jià)值記作。按下列方法購(gòu)物第一次用現(xiàn)金購(gòu)物70000元，獲得獎(jiǎng)勵(lì)券7000012%=14000（元）；第二次用現(xiàn)金購(gòu)物14000元，獲得獎(jiǎng)勵(lì)券1400020%=2800（元）； 第三次用現(xiàn)金購(gòu)物2800元，獲得獎(jiǎng)勵(lì)券280020%=560（元）； 第四次用現(xiàn)金購(gòu)物500元，獲得獎(jiǎng)勵(lì)券50020%=100（元）；第五次用現(xiàn)金購(gòu)物100元，獲得獎(jiǎng)勵(lì)券10020%=20（元）；第六次用現(xiàn)金購(gòu)物80元，獲得獎(jiǎng)勵(lì)券80（60+20），獲得獎(jiǎng)勵(lì)券0元。至此，現(xiàn)金及獎(jiǎng)勵(lì)券全部用完，共計(jì)購(gòu)物（

10、記作a）a=70000+14000+2800+500+100+80=87480(元)。而=80。018%，近似于八折。下面證明=a.設(shè)分k次將70000花掉，第i次購(gòu)物獲得的獎(jiǎng)勵(lì)券為元，剩下的鈔票為元（不包括第i次獲得的獎(jiǎng)勵(lì)券）。則0,并可依次得=（70000-）20%14000；=(7000-)20%+(7000-)20%+-20%=70000 20%+70000-20%; =70000 20%+70000 -(20%)2-20%+70000-)20%+-20%+-20% =70000 20%+70000 +70000 -20%;一般地=70000 20%+70000 +.+70000 -2

11、0%， 即70000 20%+17500。則總共購(gòu)物價(jià)值為70000+70000+17500=87500.即=87480元。接近八折。 5.解：（1）對(duì)如圖所示的34個(gè)展區(qū)，至少要5個(gè)保安員才能保證展覽的書畫是安全的。 保安員站位的方案有多種，其中一個(gè)如下圖所示：（2）對(duì)nm個(gè)展區(qū)，至少要m+n-2個(gè)保安員才能保證展覽的書畫是安全的。 證明：我們把模型進(jìn)行抽象，把nm 個(gè)展區(qū)抽象成一個(gè)nm“格陣”，它有n+m+2條邊（對(duì)應(yīng)待監(jiān)視的走廊），且用字母標(biāo)記如下： 由于保安員監(jiān)視范圍是“T”型區(qū)域，因此稱保安員的位置對(duì)慶的“格隈”中的格點(diǎn)為“T形點(diǎn)?！?如此，我們把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)模型：在n

12、m“格陣”中至少取幾個(gè)“T”形點(diǎn)能夠用這些T形區(qū)域覆蓋nm“格陣”的全部n+m+2條邊。 首先，“T”型點(diǎn)放在nm“格陣”的外邊框的格點(diǎn)上才能發(fā)揮最大作用，覆蓋兩條邊。否則，假如在中間某一格點(diǎn)處放一“T”形點(diǎn)P，那么這一“T”形點(diǎn)P的另一邊的一部分，而另一部分還需要另外的“T”形點(diǎn)去覆蓋，如此P“T”形點(diǎn)相當(dāng)于只覆蓋了一條邊。 此外，在nm“格陣”的邊界格點(diǎn)上，當(dāng)有了一個(gè)“T”形點(diǎn)時(shí)，假如在此邊界上再放入第二個(gè)，它所在的邊界已不需要它覆蓋，那么那個(gè)“T”形點(diǎn)相當(dāng)于覆蓋了一條邊。由于nm“格陣”只有4條邊界，因此“T”形點(diǎn)多于4個(gè)時(shí)，其中4個(gè)覆蓋兩條邊，其余的只相當(dāng)于覆蓋一條邊。因?yàn)檫@“其余的”不是被放在中間的格點(diǎn)上，確實(shí)是被放在已有一個(gè)“T”形點(diǎn)的邊界上，nm“格陣”共有m+n+2條邊，因此至少需“T”形點(diǎn)（m+n+2）-4個(gè)，即m+n