高階微分方程方程組

1、高階微分方程方程組第1頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五教學(xué)要求（基本理論與方法） 一階線性方程組的基本理論與解的性質(zhì) 線性方程組的向量表示和存在唯一性 齊次與非齊次 線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu) 基解矩陣及常數(shù)變易公式 常系數(shù)線性方程組微分方程的求解 exp(At) 的定義與性質(zhì) exp(At)的三種計算方法和兩種特例 常系數(shù)非齊次線性方程組的求解第2頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五 齊次/非齊次 線性方程組解的性質(zhì)和通解結(jié)構(gòu) 解的性質(zhì)（疊加原理）； 解的線性相關(guān)/無關(guān)性及判別 （Wronsky行列式） 齊次與非齊次 通解結(jié)構(gòu)（基本解組） 基解矩陣及

2、其性質(zhì)、常數(shù)變易公式基本概念：線性、齊次與非齊次、解（特解與通解）、初值問題、二者關(guān)系、存在唯一性 向量表示： 向量（矩陣）函數(shù)及微積分、范數(shù)、向量序列與級數(shù) 高階線性方程與方程組的基本概念與理論（與對比）第3頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五矩陣指數(shù)與基解矩陣 矩陣指數(shù)exp A 的定義與性質(zhì) 基解矩陣表示基解矩陣的計算方法 基解矩陣與特征值（向量）關(guān)系 特征值（向量）方法 若當(dāng)塊方法 遞推公式方法第4頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五 高階(線性)微分方程的求解 常系數(shù)齊次線性方程（歐拉方程）的特征根法 常系數(shù)非齊次線性方程的比較系數(shù)法 一般非齊

3、次線性方程的常數(shù)變易法 一般高階（線性）方程的降解法 *(了解) 二階方程的冪級數(shù)法 （Bessel方程）第5頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五常系數(shù)齊次線性微分方程的通解-特征根法基本解組復(fù)解實(shí)值轉(zhuǎn)化第6頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五歐拉方程的基本解組-變換特征方程基本解組第7頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五非齊次常系數(shù)線性方程的特解-比較系數(shù)法類型類型II特解特解待定特解中的系數(shù)，將特解代入方程，比較方程兩端求出系數(shù)，從而得到特解（待定系數(shù)法?。┑?頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五n-k階方程n

4、-1階方程n-1階方程并反復(fù)k次，得n-k階方程方程變換結(jié)果一般高階方程-降階法二階線性方程（已知非零解求另一非線性無關(guān)解）第9頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五為齊次方程的基本解組，則通解：求一般非齊次線性方程的特解-常數(shù)變易法假設(shè)非齊次的某特解：第10頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五 冪級數(shù)解法 Bssel 方程的通解公式和Bessel函數(shù)二階線性方程-冪級數(shù)解法*第11頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五齊次： 基本解組非齊次： 特解常系數(shù)齊次：特征根法常系數(shù)非齊次：比較系數(shù)法、常數(shù)變易法、降階法 冪級數(shù)法*、分解法變系數(shù)

5、方程（非齊次）：降階法、冪級數(shù)法*第12頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五1 計算特征值，n個無關(guān)的特征向量；（I） n個線性無關(guān)特征向量情形2 求解基解矩陣，求標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（實(shí)）；第13頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五（2）求解子空間Uj并分解：（1）求A的特征值、特征向量（3）僅一個特征值利用 公式(5.53);（4）（II）基解矩陣的計算方法-遞推法第14頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五利用遞推法計算基解矩陣結(jié)論其中是下列初值問題的解(III) 基解矩陣的計算方法-遞推法第15頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)

6、14分，星期五練習(xí) 第16頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五3.7 穩(wěn)定性問題 在研究許多實(shí)際問題時，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢。例如，在研究某頻危種群時，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。 第17頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義 稱微分方程或微分方程組 為自治系統(tǒng)或動力系統(tǒng)。

7、（3.28） 若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。 第18頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五例7 本章第2節(jié)中的Logistic模型 共有兩個平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對應(yīng)微分方程的兩兩個特殊解。前者為No=0時的解而后者為No=K時的解。 當(dāng)NoK時，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。 圖3-17 定義1 自治系統(tǒng) 的相空間是指以（x1,xn）為坐標(biāo) 的空間Rn。 特別，

8、當(dāng)n=2時，稱相空間為相平面?？臻gRn的點(diǎn)集(x1,xn)|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,n稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。 第19頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五定義2 設(shè)x0是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱： （1）x0是穩(wěn)定的，如果對于任意的0，存在一個0，只要|x(0)- x0|，就有|x(t)- x0|對所有的t都成立。 （2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且 。 微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來討論，所用工具為以下一些定理。 （3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N

9、=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定的。 第20頁，共24頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)14分，星期五解析方法定理1 設(shè)xo是微分方程 的平衡點(diǎn)：若 ,則xo是漸近穩(wěn)定的若 ,則xo是漸近不穩(wěn)定的證 由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時，有： 由于xo是平衡點(diǎn)，故f(xo)=0。若 ，則當(dāng)x0，從而x單增；當(dāng)xxo時，又有f(x)0，可能出現(xiàn)以下情形： 若q0，120。 當(dāng)p0時，零點(diǎn)不穩(wěn)定； 當(dāng)p0時，零點(diǎn)穩(wěn)定 若q0，120時，零點(diǎn)不 穩(wěn)定 當(dāng)p0時，零點(diǎn)穩(wěn)定（2） 0，零點(diǎn)穩(wěn)定若a=0，有零點(diǎn)為中心的周期解 綜上所述：僅當(dāng)p0時， （3.30）零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)p=0且q0時（3.30）有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)