幾何概型２-完整版PPT

1、3.3.1 幾何概型復(fù)習(xí)古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn):（1）所有的基本事件只有有限個(gè);（2）每個(gè)基本事件發(fā)生都是等可能的. 那么對(duì)于有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如果求呢? 問題1:圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤.甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少?問題情境 事實(shí)上,甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的圓弧的長度有關(guān),而與字母B所在區(qū)域的位置無關(guān).因?yàn)檗D(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤時(shí),指針指向圓弧上哪一點(diǎn)都是等可能的.不管這些區(qū)域是相鄰,還是不相鄰,甲獲勝的概率是不變的.問題2.取一根長度為30cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于10cm的概率有

2、多大？從30cm的繩子上的任意一點(diǎn)剪斷.基本事件:對(duì)于問題2.記“剪得兩段繩長都不小于10cm”為事件A. 把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的1/3. 下圖是臥室和書房地板的示意圖，圖中每一塊方磚除顏色外完全相同，小貓分別在臥室和書房中自由地走來走去，并隨意停留在某塊方磚上。在哪個(gè)房間里，小貓停留在黑磚上的概率大？臥 室書 房問題3 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.幾何概型的特點(diǎn):(1)基本事件有無限多個(gè);(2)基本事件發(fā)生是等可能的.建構(gòu)數(shù)學(xué) 一般地,在幾

3、何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn),記“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率:注:(2)D的測(cè)度不為0,當(dāng)D分別是線段、平面圖形、立體圖形時(shí),相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長度、面積和體積或角度.（1）古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：幾何概型是無限多個(gè)等可能事件的情況，而古典概型中的等可能事件只有有限多個(gè)；（3）區(qū)域應(yīng)指“開區(qū)域” ，不包含邊界點(diǎn)；在區(qū)域 內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在 內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性只與該部分的測(cè)度成正比而與其性狀位置無關(guān)解:設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘.我們所關(guān)心的事件A恰好是打開收音機(jī)的時(shí)刻位于50,60時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得即“等

4、待的時(shí)間不超過10分鐘”的概率為例1 某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用練習(xí).取一個(gè)邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率.2a數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用例2 假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:307:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:008:00之間,問你父親在離開家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標(biāo)X表示報(bào)紙送到時(shí)間,以縱坐標(biāo)Y表示父親離家時(shí)間建立平面直角坐標(biāo)系,假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意,

5、只要點(diǎn)落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報(bào)紙,即時(shí)間A發(fā)生,所以 “拋階磚”是國外游樂場(chǎng)的典型游戲之一.參與者只須將手上的“金幣”（設(shè)“金幣”的半徑為r）拋向離身邊若干距離的階磚平面上，拋出的“金幣”若恰好落在任何一個(gè)階磚（邊長為a的正方形）的范圍內(nèi)（不與階磚相連的線重疊），便可獲獎(jiǎng).練習(xí): 拋階磚游戲 玩拋階磚游戲的人，一般需換購代用“金幣”來參加游戲. 那么要問：參加者獲獎(jiǎng)的概率有多大？ 顯然，“金幣”與階磚的相對(duì)大小將決定成功拋中階磚的概率.設(shè)階磚每邊長度為a ,“金幣”直徑為d .a 若“金幣”成功地落在階磚上，其圓心必位于右圖的綠色區(qū)域A內(nèi).問題化為:向平面區(qū)域S （面積為a2

6、）隨機(jī)投點(diǎn)（ “金幣” 中心），求該點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)的概率.aASa aA于是成功拋中階磚的概率由此可見，當(dāng)d接近a, p接近于0; 而當(dāng)d接近0， p接近于1. 0da, 你還愿意玩這個(gè)游戲嗎？ 例-3.(會(huì)面問題)甲、乙二人約定在下午12點(diǎn)到下午5點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去,設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會(huì)面的概率。解： 以 X , Y 分別表示甲、乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是 即 點(diǎn) M 落在圖中的陰影部分.所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有無窮多個(gè)結(jié)果.由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的.M(X,Y)y543210

7、1 2 3 4 5x二人會(huì)面的條件是： 0 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x -1記“兩人會(huì)面”為事件A練習(xí): 甲、乙兩艘輪船都要?？吭谕粋€(gè)泊位，他們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)。設(shè)甲乙兩艘輪船?？坎次坏臅r(shí)間分別是4小時(shí)和6小時(shí)，求有一艘輪船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)的概率。分析：有一艘輪船停靠泊位時(shí)必須等待一段時(shí)間就是一艘船到達(dá)時(shí)另一艘船還?？吭诓次恢?。Oyx2424則有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的條件是-4 x-y 6解：設(shè)事件A=有一艘輪船?？坎次槐仨毜却欢螘r(shí)間。以x軸和y軸分別表示甲乙兩船到達(dá)泊位的時(shí)間.例-4.(體積問題)在5升水中有一個(gè)病毒,現(xiàn)從中隨機(jī)的取出1

8、升水,求含有病毒的概率是多少?變式：一個(gè)病毒改為兩個(gè)病毒呢？析：設(shè)兩病毒為甲.乙，則含甲的概率為1/5，含乙的概率為1/5，這兩種情況都包括了既有甲又有乙的情況，故應(yīng)去掉這種情況。解：練習(xí)1.兩根相距8m的木桿上系一根拉直繩子,并在繩子上掛一盞燈,求燈與兩端距離都大于3m的概率.數(shù)學(xué)應(yīng)用解：記“燈與兩端距離都大于3m”為事件A，由于繩長8m，當(dāng)掛燈位置介于中間2m時(shí)，事件A發(fā)生，于是練習(xí)2.國家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話， 發(fā)現(xiàn)30min的磁帶上，從開始30s處起，有10s長的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的 信息后來發(fā)現(xiàn),這段談話的部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯(cuò)了鍵，使從此后起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？解:記事件A:按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉則事件A發(fā)生就是在-min時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵故 P(A)= 2 330= 1 45思考：一個(gè)棱長為4的正方體封閉盒子中有一個(gè)半