高等代數(shù)II期中試卷

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)北 京 交 通 大 學(xué)2017-2018學(xué)年第二學(xué)期高等代數(shù)II期中考試試卷 答案 填空題(每題3分,共30分)1. 已知中的向量在基下的坐標(biāo)是, 則在基下的坐標(biāo)是 。2. 已知線性空間的兩組基和， 則由基到基的過渡矩陣是 。3. 設(shè)線性變換A在基的矩陣為，線性變換B在基下的矩陣為，那么A+B在基下的矩陣為 。4已知三階矩陣滿足，則 36 。5. 若矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則= 0 。6復(fù)數(shù)域C上階上三角矩陣的全體關(guān)于矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間,其維數(shù)

2、是 n(n+1) 。7. 設(shè)是的特征向量，則 2 8 下列變換A中，是線性變換的有 ( C ) (A) 在中，A；(B) 在中，A；(C) 在中，A；(D) 把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上線性空間，定義A 其中是任意復(fù)數(shù)。9. 設(shè)線性變換A在基下的矩陣是, 向量 在基下的坐標(biāo)是 , 則A()在該基下的坐標(biāo)是 .10. 以下斷言正確的有( 1 )個(gè)。(A) 平面上的向量關(guān)于下面定義的加法、數(shù)乘運(yùn)算：構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間；(B) 設(shè) 是維線性空間上的線性變換，則；(C) 的兩個(gè)子空間，其中是全體跡為0的n階實(shí)方陣，是全體n階實(shí)上三角陣，則和是直和；(D) 若兩個(gè)同階方陣有相同的特征多項(xiàng)式，則與相似。二（1

3、0分）設(shè)，。求的維數(shù)和一組基。解 7分維數(shù)是5，是一組 基. 10分三（10分） 設(shè)，是線性空間的兩個(gè)子空間，其中；，。(1) 求 的維數(shù)和一組基；(2) 求 的維數(shù)和一組基。解 （1） 的一個(gè)極大線性無關(guān)組是。所以的維數(shù)是4，一組基是。 .5分.（2）設(shè)。則，即，解得 。故 ，這樣 它的維數(shù)是1，一組基是 .10分.四（16分） 設(shè)A是線性空間上的一個(gè)線性變換,且A，A，A。證明是的一組基;求A在基 下的矩陣;求A的值域的維數(shù)與一組基;（4）求A的核的維數(shù)與一組基。解 (1) 令，則。因?yàn)樾辛惺?，所以向量組是的一組基; 3分（2）A 所以A在基 下的矩陣是。 9分 (3) 它的維數(shù)為2，一組

4、基是： 12分(4) 它的維數(shù)為1，一組基是。 16分五（14分）在線性空間上定義線性變換A如下： A。 求A的特征值與特征向量問A能否對角化？若能，試求出的一組基，使A在這組基下的矩陣為對角矩陣。解 (1)取的一組基，A在該基下的矩陣為 4分求出A 的特征根為1，1，2，2。 .5分對應(yīng)特征值1，解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系 .8分于是A 的屬于1的線性無關(guān)的特征向量是；對應(yīng)特征值2，解齊次線性方程組 得基礎(chǔ)解系 .11分于是A 的屬于2的線性無關(guān)的特征向量是.（2）因?yàn)锳有4個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A能否對角化，且A在基（特征向量的基和起來）下的矩陣為對角陣 .14分六、（10分）若三階矩陣有特征值1（二重）和3，且可以對角化。求（1）的值；（2）可逆矩陣，使為對角形。 解 (1) 由已知條件，可知與相似，所以 解得。 5分(2) 對特征值1，解方程組，得基礎(chǔ)解系 對特征值3，解方程組，得基礎(chǔ)解系 令 則 。 10分 七、證明題（每小題5分，共10分）1. 設(shè)分別是方陣的屬于特征值的特征向量。若，證明不是的特征向量。證明 假設(shè)是的特征向量，則，即。因?yàn)閷儆诓煌卣髦档奶卣飨蛄?/p>