北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)(簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱及利用軸對(duì)稱進(jìn)行設(shè)計(jì)（基礎(chǔ)）-知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理)

1、北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱及利用軸對(duì)稱進(jìn)行設(shè)計(jì)（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解軸對(duì)稱變換，能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)軸對(duì)稱后的圖形；能利用軸對(duì)稱變換，設(shè)計(jì)一些圖案，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2. 探索等腰三角形的性質(zhì)定理以及判定定理，能熟練運(yùn)用它們進(jìn)行推理和計(jì)算3. 會(huì)作線段的垂直平分線和角的平分線，探索線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理與判定定理，能用它們解決幾何計(jì)算與證明題.4積累探究圖形性質(zhì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念，同時(shí)能運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、作軸對(duì)稱圖形和對(duì)稱軸1.做軸對(duì)

2、稱圖形 可以根據(jù)兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的性質(zhì)，先確定圖形關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后依順序連接點(diǎn)即可得已知圖形關(guān)系直線的對(duì)稱圖形.要點(diǎn)詮釋：已知一點(diǎn)和直線確定其對(duì)稱點(diǎn)的作法如下：過(guò)這一點(diǎn)作已知直線的垂線，得垂線段，再以垂足為起點(diǎn)，在直線的另一旁截取一點(diǎn)，使這條線段的長(zhǎng)與垂線段等長(zhǎng)，截取的這點(diǎn)就是已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).2.對(duì)稱軸的作法 若兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線因此只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸作法相同要點(diǎn)詮釋：在軸對(duì)稱圖形和成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，

3、如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上.如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)及判定1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）要點(diǎn)詮釋：（1）性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)（2）性質(zhì)2用來(lái)證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等（3）等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸，等邊三角形有三條對(duì)稱軸2.等腰三角形的判定如果一個(gè)三

4、角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）. 要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.要點(diǎn)三、線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理線段垂直平分線（也稱中垂線）的性質(zhì)定理是： 線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上要點(diǎn)詮釋： 性質(zhì)定理的前提條件是線段已經(jīng)有了中垂線，從而可以得到線段相等；逆定理則是在結(jié)論中確定線段被垂直平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個(gè)定理時(shí)不要混淆了.要點(diǎn)四

5、、角平分線性質(zhì)定理及其逆定理角平分線性質(zhì)定理是：角平分線上的任意一點(diǎn)，到角兩邊的距離相等；逆定理：在角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上.要點(diǎn)詮釋：性質(zhì)定理的前提條件是已經(jīng)有角平分線了，即角被平分了；逆定理則是在結(jié)論中確定角被平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個(gè)定理時(shí)不要混淆了.要點(diǎn)五、利用軸對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形，能利用軸對(duì)稱進(jìn)行一些圖案設(shè)計(jì)，體驗(yàn)軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用和豐富的文化價(jià)值，感受生活中的數(shù)學(xué)美.【典型例題】類型一、作軸對(duì)稱圖形及對(duì)稱軸1、已知如下圖，求作ABC關(guān)于對(duì)稱軸l的軸對(duì)稱圖形ABC【思路點(diǎn)撥】分別作出點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，

6、然后連接AB，AC，BC即可得到ABC關(guān)于對(duì)稱軸l的軸對(duì)稱圖形ABC【答案與解析】解：【總結(jié)升華】作一個(gè)圖形的對(duì)稱圖形就是作各個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，把作對(duì)稱圖形的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題2、畫出如圖中的各圖的對(duì)稱軸【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，找到圖形中的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接對(duì)稱圖形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作這個(gè)線段的垂直平分線就是這個(gè)圖形的對(duì)稱軸【答案與解析】解：如圖所示：【總結(jié)升華】本題考查了對(duì)稱軸的畫法解答此題要明確對(duì)稱軸所具有的性質(zhì)：對(duì)稱軸是任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線舉一反三：【變式】在下圖中，畫出ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形.【答案】為所求.類型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定3

7、、（2015秋廣西期末）已知：如圖所示，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】由題意，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出底角，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系即可求出內(nèi)角C【答案與解析】解：在ABC中，AB=AD=DC，AB=AD，在三角形ABD中，B=ADB=（18026）=77，又AD=DC，在三角形ADC中，C=77=38.5【總結(jié)升華】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用等腰三角形兩底角相等，還考查了三角形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系利用三角形的內(nèi)角求角的度數(shù)是一種常用的方法，要熟練掌握舉一反三：【變式】如圖，已知AD是ABC

8、的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求證：ACBF【答案】 證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DGAD，連接BG.ABCDABCDEFG 類型三、線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理4、如圖，ABC中，BAC=110，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足（1）求DAF的度數(shù)；（2）如果BC=10cm，求DAF的周長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求B+C；根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，DA=BD，F(xiàn)A=FC，則EAD=B，F(xiàn)AC=C，得出DAF=BACEADFAC=110（B+C）求出即可（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出DAF的周長(zhǎng)為BD+FC+DF=BC，即

9、可得出答案【答案與解析】解：（1）設(shè)B=x，C=yBAC+B+C=180，110+B+C=180，x+y=70AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G，DA=BD，F(xiàn)A=FC，EAD=B，F(xiàn)AC=CDAF=BAC（x+y）=11070=40（2）AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G，DA=BD，F(xiàn)A=FC，DAF的周長(zhǎng)為：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）【總結(jié)升華】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)注意掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用.舉一反三【變式】（201

10、5徐州）如圖，在ABC中，C=31，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，如果DE垂直平分BC，那么A= 【答案】87解：在ABC中，C=31，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，DBE=ABC=（18031A）=（149A），DE垂直平分BC，BD=DC，DBE=C，DBE=ABC=（149A）=C=31，A=87故答案為：875、如圖，ABC中，ACB=90，AD平分BAC，DEAB于E求證：直線AD是線段CE的垂直平分線【思路點(diǎn)撥】由于DEAB，易得AED=90=ACB，而AD平分BAC，易知DAE=DAC，又因?yàn)锳D=AD，利用AAS可證AEDACD，那么AE=AC，而AD平分BAC，利用等腰三

11、角形三線合一定理可知ADCE，即得證【答案與解析】證明：DEAB，AED=90=ACB，又AD平分BAC，DAE=DAC，AD=AD，AEDACD，AE=AC，AD平分BAC，ADCE，即直線AD是線段CE的垂直平分線【總結(jié)升華】本題考查了線段垂直平分的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理，解題的關(guān)鍵是證明AE=AC舉一反三【變式】如圖，已知ABC，求作一點(diǎn)P，使P到A的兩邊的距離相等，且PA=PB，下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（）AP是A與B兩角平分線的交點(diǎn)BP為A的角平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)CP為AC、AB兩邊上的高的交點(diǎn)DP為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】；

12、類型四、角平分線性質(zhì)定理及其逆定理6、如圖，ABC的角平分線BM，CN相交于O求證：點(diǎn)O到三邊AB、BC、CA的距離相等【思路點(diǎn)撥】作OD、OE、OF分別垂直于三邊AB、BC、CA，D、E、F為垂足，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得OD=OE，OF=OE，OD=OE=OF【答案與解析】證明：作OD、OE、OF分別垂直于三邊AB、BC、CA，D、E、F為垂足，BM為ABC的角平分線，ODAB，OEBC，OD=OE（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）同理可證：OF=OEOD=OE=OF即點(diǎn)O到三邊AB、BC、CA的距離相等【總結(jié)升華】此題主要考查角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等正確作出

13、輔助線是解答本題的關(guān)鍵舉一反三【變式】如圖：ABC的兩個(gè)外角平分線交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是（）PA=PC BP平分ABC P到AB，BC的距離相等 BP平分APCABCD【答案】；7、已知如圖：AD、BE是ABC的兩條角平分線，相交于P點(diǎn)求證：P點(diǎn)在C的平分線上【思路點(diǎn)撥】首先過(guò)點(diǎn)P作PMAB，PNBC，PQAC，垂足分別為M、N、Q，然后證明PQ=PN即可【答案與解析】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PMAB，PNBC，PQAC，垂足分別為M、N、Q，P在BAC的平分線AD上，PM=PQ，P在ABC的平分線BE上，PM=PN，PQ=PN，點(diǎn)P在C的平分線上【總結(jié)升華】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)用此性質(zhì)證明它的逆定理成立角平分