圓的專(zhuān)題知識(shí)講解 初升高數(shù)學(xué)人教A版

1、專(zhuān)題10圓專(zhuān)題專(zhuān)題綜述課程要求平面幾何中直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系包含的知識(shí)點(diǎn)較多，方法靈活，抓住核心概念和基本方法即可，對(duì)定理的本質(zhì)要理解，看到相關(guān)已知能夠聯(lián)想到需要的定理，常常先分析所求問(wèn)題的路徑，找準(zhǔn)方向，綜合運(yùn)用條件加以突破.直線(xiàn)與圓有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交.相切和相交是代數(shù)與幾何研究的重點(diǎn).常用的結(jié)論包括：1.切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.3.相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等4.切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)5.割

2、線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等課程要求課程要求初中課程要求1、圓的基本性質(zhì)2、垂徑定理3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系4、點(diǎn)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系5、正多邊形與圓、弧長(zhǎng)、扇形面積高中課程要求1、握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2、能判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系3、能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題知識(shí)精講知識(shí)精講高中必備知識(shí)點(diǎn)1：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系設(shè)有直線(xiàn)和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系？觀(guān)察圖3.3-1，不難發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線(xiàn)的距離時(shí)，直線(xiàn)和圓相離，如圓與直線(xiàn)；當(dāng)圓心到直線(xiàn)的距離時(shí)，直線(xiàn)和圓相切，如圓與直線(xiàn)；當(dāng)圓心到直線(xiàn)的距

3、離時(shí)，直線(xiàn)和圓相交，如圓與直線(xiàn).在直線(xiàn)與圓相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B.若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，則AB為直徑；若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)圓心，如圖3.3-2，連結(jié)圓心和弦的中點(diǎn)的線(xiàn)段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線(xiàn)的距離，為弦長(zhǎng)的一半，根據(jù)勾股定理，有.當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，如圖3.3-3，為圓的切線(xiàn)，可得，且在中，.如圖3.3-4，為圓的切線(xiàn)，為圓的割線(xiàn)，我們可以證得，因而.高中必備知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)的軌跡在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個(gè)條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，它是符合某個(gè)條件的所有點(diǎn)組成的.例如，把長(zhǎng)度為的線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于；同時(shí)

4、，到定點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)都在這個(gè)圓上.這個(gè)圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：（1）圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說(shuō)，圖形上的任何一點(diǎn)都滿(mǎn)足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說(shuō)，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.下面，我們討論一些常見(jiàn)的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.從上面對(duì)圓的討論，可以得出：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.我們學(xué)過(guò)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的每一點(diǎn)，和線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，和線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.所以有下面的軌跡：和已

5、知線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).由角平分線(xiàn)性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡：到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線(xiàn).典例剖析典例剖析高中必備知識(shí)點(diǎn)1：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系【典型例題】在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)：A（1，1），B（3，1），C（3，1），D（22）（1）畫(huà)出ABC的外接圓P，并指出點(diǎn)D與P相的位置關(guān)系；（2）E點(diǎn)是y軸上的一點(diǎn)，若直線(xiàn)DE與P相切，求點(diǎn)E的坐標(biāo)【答案】（1）見(jiàn)解析，點(diǎn)D在P上；（2）E（0，3）【解析】（1）如圖所示：ABC外接圓的圓心為（1，0），點(diǎn)D在P上；（2）連接PD，直線(xiàn)DE與P相切，PDPE，利用網(wǎng)

6、格過(guò)點(diǎn)D做直線(xiàn)的DFPD，則F（6，0），設(shè)過(guò)點(diǎn)D，E的直線(xiàn)解析式為：ykx+b，D（2，2），F(xiàn)（6，0），-2k+b=-2-6k+b=0解得：k=-1直線(xiàn)DE解析式為：y12x0時(shí)，y3，E（0，3）【變式訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P、Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱(chēng)P、Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，如圖中的P、Q兩點(diǎn)即為“等距點(diǎn)”（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1）在點(diǎn)E（0，3）、F（3，3）、G（2，5）中，點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”是 ；若點(diǎn)B在直線(xiàn)yx+6上，且A、B兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；（2）直線(xiàn)l：ykx3（k0）與

7、x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D若T1（1，t1）、T2（4，t2）是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，且T1、T2為“等距點(diǎn)”，求k的值；當(dāng)k1時(shí)，半徑為r的O上存在一點(diǎn)M，線(xiàn)段CD上存在一點(diǎn)N，使得M、N兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，直接寫(xiě)出r的取值范圍【答案】（1）E、F；（3，3）；（2）k的值為1或2；32r32【解析】（1）點(diǎn)A（3，1）到x、y軸的距離中最大值為3，與A點(diǎn)是“等距點(diǎn)”的點(diǎn)是E、F點(diǎn)B在直線(xiàn)yx+6上，當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)中到x、y軸距離其中至少有一個(gè)為3的點(diǎn)有（3，9）、（3，3）、（9，3），這些點(diǎn)中與A符合“等距點(diǎn)”的是（3，3）故答案為E、F；（3，3）；（2）T1（1，t1）、T2（4，t2）是直線(xiàn)

8、l上的兩點(diǎn)，t1k3，t4k3k0，|k3|k+33，4k33依據(jù)“等距點(diǎn)”定義可得：當(dāng)34k34時(shí)，k+34，解得k1；當(dāng)4k34時(shí)，k+34k3，解得k2綜上所述，k的值為1或2k1，yx3與坐標(biāo)軸交點(diǎn)C（0，3）、D（3，0），線(xiàn)段CD32N點(diǎn)在CD上，則N點(diǎn)到x、y軸的距離最大值中最小數(shù)為32若半徑為r的O上存在一點(diǎn)M與N是“等距點(diǎn)”，則r最小值為32r的最大值為CD長(zhǎng)度32所以r的取值范圍為32r32故答案為E、F；（3，3）【能力提升】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,3(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的M，并寫(xiě)出圓心M的坐標(biāo)；(2)若D(1,4)，試判斷直線(xiàn)【答案】(

9、1)如圖所示見(jiàn)解析，圓心M的坐標(biāo)為(2,1)；(2) 直線(xiàn)【解析】(1)如圖所示，M由圖知，圓心M的坐標(biāo)為(2,1(2)連接MB，DB，DM，DBDDBMDBM即BM直線(xiàn)BD與M相切高中必備知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)的軌跡【典型例題】如圖，點(diǎn)A(-4,3)，將ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180得到ABC.（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出ABC，并寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng).【答案】（1）圖形見(jiàn)解析, A(4,-3)；(2)5.【解析】解：（1）如圖所示，ABC即為所求出；A(4,-3)；（2）連接OA，OA=3旋轉(zhuǎn)過(guò)程中A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)=1805【變式訓(xùn)練】閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是P（x

10、1，y1）、Q（x2，y2），則P、Q這兩點(diǎn)間的距離為|PQ|=x1-x22對(duì)于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)形成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡如平面內(nèi)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)解決問(wèn)題：如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=kx+12（1）到點(diǎn)A的距離等于線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)的軌跡是 ；（2）若動(dòng)點(diǎn)C（x，y）滿(mǎn)足到直線(xiàn)l的距離等于線(xiàn)段CA的長(zhǎng)度，求動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式；問(wèn)題拓展：（3）若（2）中的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線(xiàn)y=kx+12交于E、F兩點(diǎn)，分別過(guò)E、F作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別是M、N，求證：EF是AMN外接圓的切線(xiàn)；1【答案】（1）x2

11、+（y12）2=1；（2）動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=12x2；（3）證明見(jiàn)解析；【解析】（1）設(shè)到點(diǎn)A的距離等于線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，y），AD2=x2+（y12）2直線(xiàn)y=kx+12A（0，12點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，B（0，12AB=1，點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離等于線(xiàn)段AB長(zhǎng)度，x2+（y12）2故答案為：x2+（y12）2（2）過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l平行于x軸，直線(xiàn)l的解析式為y=12C（x，y），A（0，12AC2=x2+（y12）2，點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離為：（y+1動(dòng)點(diǎn)C（x，y）滿(mǎn)足到直線(xiàn)l的距離等于線(xiàn)段CA的長(zhǎng)度，x2+（y12）2=（y+12）動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=12x2（3）

12、如圖，設(shè)點(diǎn)E（m，a）點(diǎn)F（n，b），動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線(xiàn)y=kx+12y=1x22kx1=0，m+n=2k，mn=1，過(guò)E、F作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別是M、N，M（m，12），N（n，1A（0，12AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）22mn+2=4k2+4，MN2=（mn）2=（m+n）24mn=4k2+4，AM2+AN2=MN2，AMN是直角三角形，MN為斜邊，取MN的中點(diǎn)Q，點(diǎn)Q是AMN的外接圓的圓心，Q（k，12A（0，12直線(xiàn)AQ的解析式為y=1kx+1直線(xiàn)EF的解析式為y=kx+12AQEF，EF是AMN外接圓的切線(xiàn)；點(diǎn)E（m，a）點(diǎn)F（n，b）在直線(xiàn)y=

13、kx+12a=mk+12，b=nk+1ME，NF，EF是AMN的外接圓的切線(xiàn)，AE=ME=a+12=mk+1，AF=NF=b+11AE即：1AE【能力提升】在數(shù)學(xué)上，我們把符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形叫做滿(mǎn)足該條件的點(diǎn)的軌跡例如：動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足（m，m1），所有符合該條件的點(diǎn)組成的圖象在平面直角坐標(biāo)系xOy中就是一次函數(shù)y=x1的圖象即點(diǎn)P的軌跡就是直線(xiàn)y=x1（1）若m、n滿(mǎn)足等式mnm=6，則（m，n1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是 ；（2）若點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）的距離與到直線(xiàn)y=1的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡；（3）若拋物線(xiàn)y=14【答案】（1）y=6x；（2）y=14【解

14、析】（1）設(shè)m=x，n1=y，mnm=6，m（n1）=6，xy=6，y=6（m，n1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是y=故答案為：y=6（2）點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）的距離的平方為x2+（y1）2，點(diǎn)P（x，y）到直線(xiàn)y=1的距離的平方為（y+1）2，點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）的距離與到直線(xiàn)y=1的距離相等，x2+（y1）2=（y+1）2，y=1（3）設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為Q的縱坐標(biāo)為y114x24kx4b=0，x1+x2=4k，x1x2=4b，yMN=16k2y點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1

15、對(duì)點(diǎn)精練對(duì)點(diǎn)精練1如圖，將O沿弦折疊，恰好經(jīng)過(guò)圓心O，若O的半徑為6，則的長(zhǎng)為（ ）ABCD【答案】A連接OA、OB，作OCAB于C，由題意得，OC=OA，sinOAC=，OAC=30，OA=OB，OBA=OAC=30，AOB=120，故選A2如圖，為的直徑，直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，連接、，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A若，則平分；B若平分，則；C若，則平分；D若，則【答案】D解：A、AHOD，ODHF，CAD=ADO，AO=OD，HAD=DAO=ADO，AD平分BAH，故正確，不合題意；B、AD平分BAH，HAD=DAO，AO=DO，DAO=ADO，ADO=HAD，AHOD，ODHF

16、，HAHF，故正確，不合題意；C、AHEF，ODEH，AHOD，由A得：AD平分BHA，故正確，不合題意；D、由無(wú)法證明AHEF，故錯(cuò)誤，符合題意；故選D3如圖，在中，點(diǎn)在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)若的半徑為5，則的長(zhǎng)是（ ）ABCD【答案】A解：連接AC、OB、OD、CD，作于點(diǎn)F，作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知于點(diǎn)D，又CA、CD所對(duì)的圓周角為、，且，CAD為等腰三角形又四邊形ODFE為矩形且OD=DF=四邊形ODFE為正方形故CFB為等腰三角形，所對(duì)的圓心角為故選A4如圖，已知，為上一點(diǎn)，以為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與、交于點(diǎn)、，設(shè)，則（）A若，則弧的度數(shù)為B若，則弧的度數(shù)為C若，則弧的度數(shù)

17、為D若，則弧的度數(shù)為【答案】B解：連接BD，設(shè)的度數(shù)是x，則DBC=x，AC過(guò)O，ABD=90，A=，ADB=90-，C=，ADB=C+DBC，90-=+x，解得：x=180-2(+)，即的度數(shù)是180-2（+），A當(dāng)+=80時(shí)，的度數(shù)是180-160=20，故本選項(xiàng)不符合題意；B當(dāng)+=80時(shí)，的度數(shù)是180-160=20，故本選項(xiàng)符合題意；C當(dāng)-=80，即=80+或=-80，的度數(shù)是180-2(80+)=20-4或180-(+-80)=260-2，故本選項(xiàng)不符合題意；D當(dāng)-=80時(shí)，的度數(shù)是20-4或260-2，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B5如圖，為的直徑，C為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)與直徑的

18、延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)為（ ）ABCD【答案】C解：如圖，連接OC，CD為的切線(xiàn)，OCCD，COD=90-D=70，OA=OC，BAC=故選：C6如圖，ABC是等腰直角三角形，ACBC2，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F，與AB分別相交于點(diǎn)G、H，且EH的延長(zhǎng)線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為（）A21B2C+1D【答案】C解：如右圖所示，連接OE、OF，O與AC、BC切于點(diǎn)E、F，OECOFC90，OEOF，又ABC是等腰直角三角形，C90，四邊形CEOF是正方形，OEBC，又以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F，OEOF，O在ACB

19、的角平分線(xiàn)上，ACBC，O是AB中點(diǎn)，AECE，又AC2，AECE1，OEOFCE1，OH1，OECD，OEHBDH，又AB，OB，BD1，CD2+BD+1，故選：C7如圖，已知O的半徑為10，A、B是O上的兩點(diǎn)，AOB90，C是射線(xiàn)OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DEOD交OB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E當(dāng)A從30增大到60時(shí)，弦AD在圓內(nèi)掃過(guò)的面積是（）ABCD【答案】B解：過(guò)點(diǎn)D作AO的垂線(xiàn)，交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于F當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意可知：DOF60，AOD120DFODsin60105，當(dāng)A60時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DFOA于F，連接OD，根據(jù)題意可知：DOF60，DF=ODsin60=5，故選：B8

20、如圖，在矩形ABCD中，BC8，以AB為直徑作O，將矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使所得矩形ABCD的邊CD與O相切，切點(diǎn)為E，邊AB與O相交于點(diǎn)F若BF8，則CD長(zhǎng)為（）A9B10C8D12【答案】B連接OE，延長(zhǎng)EO交BF于點(diǎn)M，CD與O相切，OEC90，又矩形ABCD中，ABCD，EMB90，BMFM，矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)所得矩形為ABCD，CC90，ABCD，BCBC8，四邊形EMBC為矩形，ME8，設(shè)OBOEx，則OM8x，OM2+BM2OB2，（8x）2+42x2，解得x5，ABCD10故選：B9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是 上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為弦

21、的中點(diǎn)，直線(xiàn)與 軸、軸分別交于點(diǎn)，則面積的最小值為（ ）A5B6CD【答案】D解：連接，如圖，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑作，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)于，交于，則上到直線(xiàn)上最短的距離是，此時(shí)，即的面積最小，當(dāng)時(shí)，則 ，當(dāng)時(shí)，解得，則，的半徑為2，由等積法可知：，即的面積最小是，故選：10如圖，內(nèi)接于，其外角平分AD交于D，于M，則結(jié)論中正確的是（ ）ABCD【答案】B解：過(guò)點(diǎn)D作DFBE于F，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，F(xiàn)AD=BCD，外角平分線(xiàn)AD交O于D，F(xiàn)AD=DAC，又DBC=DAC，BCD=CBD，DB=DC，故此選項(xiàng)正確；AD外角平分線(xiàn)，DFBE，DMAC于M，DF=DM，在BFDCM

22、D中，RtBFDRtCMD，BF=CM，又AF=AM，AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，故此選項(xiàng)正確；AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，故此選項(xiàng)正確；SABD和SABC的大小無(wú)法判斷，錯(cuò)誤，故選：B11如圖，在扇形中，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于弧點(diǎn)，得扇形，若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)【答案】連接AC，過(guò)A作AEBC于EABC是等邊三角形，=陰影部分的面積為：=故答案為：12如圖，ABC內(nèi)接于O， E是邊BC的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)D，連接CD，若BCD26，則A_【答案】52解：連結(jié)OB、OC，BC

23、D26，BOD=2BCD=226=52，OB=OC，E是邊BC的中點(diǎn)，OEBC，BOE=COE=52，BOC=DOB+COD=52+52=104，A=故答案為：5213如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以為直徑畫(huà)半圓，若陰影部分的面積分別為，則_【答案】由圖形可知，扇形ABD的面積+半圓BC的面積+陰影部分的面積-正方形ABCD的面積=陰影部分的面積，S2-S1=扇形ABD的面積+半圓BC的面積-正方形ABCD的面積=+22-42=-16，故答案為：-1614如圖，是的直徑，弦，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)【答案】解：設(shè)線(xiàn)段相交于點(diǎn)，是的直徑，弦，與中，故答案為：15如圖，

24、在扇形中，已知，過(guò)的中點(diǎn)作，垂足分別為、，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)【答案】解：連接，為的中點(diǎn)，即，故答案為：16已知，如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，弦CD交AB于E，連接OD、PC、BC，AOD2ABC，PD，過(guò)E作弦GFBC交圓于G、F兩點(diǎn)，連接CF、BG則下列結(jié)論：CDAB；PC是O的切線(xiàn)；ODGF；弦CF的弦心距等于BG其中正確的是_（只需填序號(hào)）【答案】連接BD、OC、AG，過(guò)O作OQCF于Q，OZBG于Z，ODOB，ABDODB，AODOBD+ODB2OBD，AOD2ABC，ABCABD，弧AC弧AD，AB是直徑，CDAB，即正確；CDAB，P+PCD90，ODOC，O

25、CDODCP，PCD+OCD90，PCO90，PC是切線(xiàn)，即正確；假設(shè)ODGF，則AODFEB2ABC， ，即3ABC90，ABC30，已知沒(méi)有給出ABC30，即錯(cuò)誤；AB是直徑，ACB90，EFBC，ACEF，弧CF弧AG，AGCF，OQCF，OZBG，CQAG，OZAG，BZBG，OZCQ，OCOB，OQCOZB90，OCQBOZ（HL），OQBZBG，即正確故答案為：17如圖，銳角內(nèi)接于，于點(diǎn)H，直徑，交于點(diǎn)D，連結(jié)，已知圓的半徑為13，則_，四邊形的面積為_(kāi)【答案】7 255 解：作，垂足為，作，垂足為，連接OB，直徑，四邊形AHGE為平行四邊形，四邊形OGHF為矩形，故答案為：7；2

26、5518如圖，的弦、相交于點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，若，的半徑為，則_【答案】解：連接OC、OA、OD，OC與AF交于點(diǎn)H，如圖，C為弧AB的中點(diǎn)，OCAB，AH=BH，ACDF，ACD=CDF，OD是切線(xiàn)，ODDF，ODF=90，ODC+CDF=90，OC=OD，OCD=ODC，OCE+CEA=OCE+FED=90，CDF=DEF=ACD=AEC，AC=AE，設(shè)AE=5，則BE=3，AC=5，AB=8，AH=4，HE=，在RtACH中，由勾股定理得CH=3，OH=OC-CH=-3，在RtHCE中，由勾股定理得CE2=HC2+HE2=92+2=102，CE=，在RtHO

27、A中，由勾股定理得，OA2=AH2+OH2，即（）2=（4）2+（-3）2，解得=1，CE=，故答案為：19如圖，在半徑為3的O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是_【答案】8解：連接OD，交AC于F，D是的中點(diǎn)，ODAC，AFCF，DFE90，OAOB，AFCF，OFBC，AB是直徑，ACB90，在EFD和ECB中，EFDECB（AAS），DFBC，OFDF，OD3，OF，BC2，在RtABC中，AC2AB2BC2，AC8，故答案為820如圖，已知的半徑為2，弦，點(diǎn)為優(yōu)弧上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)【答案】連接，

28、過(guò)作，sinAOD=，連接，點(diǎn)為的內(nèi)心，點(diǎn)為優(yōu)弧上動(dòng)點(diǎn)，始終等于，點(diǎn)在以為弦，并且所對(duì)的圓周角為的一段劣弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，三點(diǎn)所在的圓的圓心為，連接，則，連接，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)故答案為：21如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)（1）求證：是的切線(xiàn)；（2）若，求的值【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）+1解：（1）連接OB，AC是直徑，ABC=90，即是等腰直角三角形，AO=CO，BOAC，又，BOBF，是的切線(xiàn)；（2）連接OD，OA=OC=OB=，ADC=90，DOC=AOD=60，OD=OC，是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)C作CMBF于點(diǎn)M，則四邊形BMCO是正方形，BM=CM=OB=，ACBF，F(xiàn)=AC

29、D=60，在中，MF=CMtan60=1，BF=BM+MF=+122我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓例如線(xiàn)段的最小覆蓋圓就是以線(xiàn)段為直徑的圓銳角三角形的最小覆蓋圓是該三角形的外接圓（1）分別在圖1，圖2中作出的最小覆蓋圓（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）根據(jù)（1）中的作圖，鈍角三角形的最小覆蓋圓是_；（3）某地要修建一個(gè)基站，服務(wù)四個(gè)村莊E、F、G、H（其位置如圖3所示），為使信號(hào)可以覆蓋四個(gè)村莊，且基站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小，所需功率越?。?，此基站應(yīng)建在何處？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）以最長(zhǎng)邊為直徑的圓；（3）建在的外心（外接圓的

30、圓心），見(jiàn)解析（1）作圖如下圖所示；（2）以最長(zhǎng)邊為直徑的圓；理由：線(xiàn)段的最小覆蓋圓就是以線(xiàn)段為直徑的圓，由于A為鈍角，因此A在圓內(nèi)，該圓為能完全覆蓋該鈍角三角形的最小圓（3）的外心（外接圓的圓心）理由：如圖，的外接圓剛好覆蓋E，F(xiàn)，H三點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)D，連接DH和F，且，HGF=50+60=110，點(diǎn)G在點(diǎn)E，D之間即點(diǎn)G被外接圓覆蓋，此時(shí)該圓為能完全覆蓋該四邊形的最小圓因此，此基站應(yīng)建在的外心處23已知，如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，OFBC于點(diǎn)F，交O于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H，點(diǎn)D為OE的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且ODBAEC（1）求證：BD是O的切線(xiàn)；（2）若O的半徑為5，sinA，

31、求BH的長(zhǎng)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BH=（1）證明：ODBAEC，AECABC，ODBABC，OFBC，BFD90，ODB+DBF90，ABC+DBF90，即OBD90，BDOB，BD是O的切線(xiàn)；（2）解：連接BE，如圖2所示：AB是O的直徑，AEB90，O的半徑為5，sinBAE，AB10，BEABsinBAE， ， sinCBE=sinA=，設(shè)BH=5x，EH=3x，在RtBEH 中，解得，x=，BH=24如圖，是的半徑，且，是半圓上一點(diǎn)，連接，作，過(guò)點(diǎn)作半圓的切線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，切點(diǎn)為，連接（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng) 度時(shí)，為菱形【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60（1）證明：延長(zhǎng)CB交AP于點(diǎn)F，連接OB、OE，ADAO，ADBC，CFAP，BEAP，CFAP，CBBE，即CBE=90，CE是O的切線(xiàn)，則OEP