2021-2022學(xué)年北京北大附屬中學(xué)香山分校高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

1、2021-2022學(xué)年北京北大附屬中學(xué)香山分校高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 命題“存在”的否定是（ ）A存在 B不存在C 對(duì)任意 D對(duì)任意參考答案：D2. 命題“若整數(shù)a，b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為（）A若整數(shù)a，b中有一個(gè)是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)B若整數(shù)a，b都不是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)C若整數(shù)a，b不是偶數(shù)，則a+b都不是偶數(shù)D若整數(shù)a，b不是偶數(shù)，則a+b不都是偶數(shù)參考答案：D【考點(diǎn)】四種命題【分析】根據(jù)命題“若p，則q”的逆否命題為“若q，則p”，寫出對(duì)應(yīng)的命題即可

2、【解答】解：命題“若整數(shù)a，b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為“若a+b不是偶數(shù)，則整數(shù)a、b不都是偶數(shù)”故選：D3. 如果a，b，c滿足cba且ac0，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是( )AabacBc（ba）0Ccb2ab2Dac（ac）0參考答案：C【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式 【專題】常規(guī)題型【分析】本題根據(jù)cba，可以得到ba與ac的符號(hào)，當(dāng)a0時(shí)，則A成立，c0時(shí)，B成立，又根據(jù)ac0，得到D成立，當(dāng)b=0時(shí)，C不一定成立【解答】解：對(duì)于A，cba且ac0，則a0，c0，必有abac，故A一定成立對(duì)于B，cbaba0，又由c0，則有c（ba）0，故B一定成立，對(duì)于C，當(dāng)b=0時(shí)，c

3、b2ab2不成立，當(dāng)b0時(shí)，cb2ab2成立，故C不一定成立，對(duì)于D，cba且ac0ac0ac（ac）0，故D一定成立故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等關(guān)系與不等式，屬于基礎(chǔ)題4. 函數(shù)函數(shù)f（x）=（x3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A（，2）B（0，3）C（1，4）D（2，+）參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】首先對(duì)f（x）=（x3）ex求導(dǎo)，可得f（x）=（x2）ex，令f（x）0，解可得答案【解答】解：f（x）=（x3）ex+（x3）（ex）=（x2）ex，令f（x）0，解得x2故選：D5. 某班m名學(xué)生在一次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，若在這m名學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績(jī)不低于

4、100分的人數(shù)為33，則m等于（）A45B48C50D55參考答案：D【考點(diǎn)】頻率分布直方圖【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分的頻率，再根據(jù)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分的人數(shù)為33求得m【解答】解：由頻率分布直方圖知，數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分的頻率為（0.030+0.020+0.010）10=0.6，在這m名學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分的人數(shù)為33，m=330.6=55故選：D6. 曲線在點(diǎn)處的切線斜率為A B C D 參考答案：A略7. 觀察，則歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則 A. B. C. D. 參考答案：D8. 若kR，則“k3”是“方程=1表示雙

5、曲線”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】根據(jù)雙曲線定義可知，要使方程表示雙曲線k3和k+3同號(hào)，進(jìn)而求得k的范圍即可判斷是什么條件【解答】解：依題意：“方程=1表示雙曲線”可知（k3）（k+3）0，求得k3或k3，則“k3”是“方程=1表示雙曲線”的充分不必要條件故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)要注意討論焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況9. 圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是（ ） A B C D參考答案：B10. 某單位1-4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)如下表所示：月份x1234用水量y4.5432.

6、5根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，由最小二乘法可求得線性回歸方程，則（ ）A0.7 B0.7 C 0.75 D0.75參考答案：A二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 將甲、乙、丙、丁四名老師分配到三個(gè)不同的學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少分到一名老師，且甲、乙兩名老師不能分配到同一個(gè)學(xué)校，則不同分法的種數(shù)為 參考答案：3012. 設(shè)z=x+y，其中x，y滿足，若z的最大值為12，則z的最小值為參考答案：6【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，先求出最優(yōu)解，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=x+y得y=x+z，則直線截距

7、最大時(shí)，z也最大平移直線y=x+z由圖象可知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=x+z的截距最大，此時(shí)z最大為12，即x+y=12，由，得，即B（6，6），此時(shí)B也在直線y=k上，k=6，當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=x+z的截距最小，此時(shí)z最小，由，即，即A（12，6），此時(shí)z=x+y=12+6=6，故答案為：613. 已知一組數(shù)據(jù)，的線性回歸方程為，則_.參考答案：1.84【分析】樣本數(shù)據(jù)的回方程必經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，該組數(shù)據(jù)的中心為，代入回歸方程，得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)的中心為，整理得：.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心，考查統(tǒng)計(jì)中簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)處理能力.14. 如

8、圖，有組數(shù)據(jù)，去掉 組（即填A(yù)，B，C，D，E中的某一個(gè)）后，剩下的四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大。 參考答案：D組15. 在ABC中,若b=2, B=30, C=135, 則a= 參考答案：16. 由曲線與，所圍成的平面圖形的面積為_.參考答案：略17. 已知x、y的取值如下表所示x0134y2.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且，則_參考答案：2.6略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18. 如圖，橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，），離心率e=，直線l的方程為x=4（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P），設(shè)直線A

9、B與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）由題意將點(diǎn)P （1，）代入橢圓的方程，得到，再由離心率為e=，將a，b用c表示出來(lái)代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）方法一：可先設(shè)出直線AB的方程為y=k（x1），代入橢圓的方程并整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=，再求點(diǎn)M的坐標(biāo)，分別表示出k1，k2，k3比較k1+k2=k3即可求得參數(shù)的值

10、；方法二：設(shè)B（x0，y0）（x01），以之表示出直線FB的方程為，由此方程求得M的坐標(biāo)，再與橢圓方程聯(lián)立，求得A的坐標(biāo)，由此表示出k1，k2，k3比較k1+k2=k3即可求得參數(shù)的值【解答】解：（1）橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P （1，），可得由離心率e=得=，即a=2c，則b2=3c2，代入解得c=1，a=2，b=故橢圓的方程為（2）方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x1）代入橢圓方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，在方程中，令x=4得，M的坐標(biāo)為（4，3k），從而， =k注意到A，F(xiàn)，B共線，則有k=kA

11、F=kBF，即有=k所以k1+k2=+=+（+）=2k代入得k1+k2=2k=2k1又k3=k，所以k1+k2=2k3故存在常數(shù)=2符合題意方法二：設(shè)B（x0，y0）（x01），則直線FB的方程為令x=4，求得M（4，）從而直線PM的斜率為k3=，聯(lián)立，得A（，），則直線PA的斜率k1=，直線PB的斜率為k2=所以k1+k2=+=2=2k3，故存在常數(shù)=2符合題意19. 已知A、B、C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，他們的對(duì)邊分別為a、b、c，且（1）求A；（2）若，求bc的值，并求ABC的面積參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；兩角和與差的余弦函數(shù)【專題】解三角形【分析】（1）已知等式左邊利用兩角和與差的余弦函

12、數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出B+C的度數(shù)，即可確定出A的度數(shù)；（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將a，b+c以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積【解答】解：（1）A、B、C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，且cosBcosCsinBsinC=cos（B+C）=，B+C=，則A=；（2）a=2，b+c=4，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2bc，即12=16bc，解得：bc=4，則SABC=bcsinA=4=【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握

13、公式及定理是解本題的關(guān)鍵20. 畫出下列函數(shù)的圖象，（用虛線保留作圖痕跡），并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）f（x）=log2（x+1）（2）f（x）=x22|x|3參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)【專題】計(jì)算題；作圖題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】（1）作函數(shù)y=log2x的圖象，向左平移1個(gè)單位即可，從而寫出單調(diào)區(qū)間；（2）作函數(shù)f（x）=x22|x|3的圖象，從而寫出單調(diào)區(qū)間【解答】解：（1）作函數(shù)y=log2x的圖象，向左平移1個(gè)單位即可，如下圖；，f（x）=log2（x+1）的單調(diào)遞增區(qū)間 （1，+）；（2）作函數(shù)f（x）=x22|x|3的圖象如下，故函數(shù)的單

14、調(diào)遞增區(qū)間 （1，0）和（1，+），單調(diào)遞減區(qū)間 （，1）和（0，1）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了圖象的變換21. 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，且1是其中一個(gè)零點(diǎn)（1）求的值； （2）求的取值范圍；（3）試探究直線與函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，并說(shuō)明理由參考答案：（1）解：， 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取到極小值，即 （2）解：由（1）知， 1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即，的兩個(gè)根分別為， 在上是增函數(shù)，且函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，即 故的取值范圍為ks*5u（3）解：由（2）知，且 要討論直線與函數(shù)圖.點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，即求方程組解的個(gè)數(shù)情況由，得即即或 由方程， （*）得，若，即，解得此時(shí)方程（*）無(wú)實(shí)數(shù)解 若，即，解得此時(shí)方程（*）有一個(gè)實(shí)數(shù)解若，即，解得此時(shí)方