2022屆吉林省延邊市長白山第一高考數學五模試卷含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1中國古代數學著作孫子算經中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數除以正整數后的余數為，則記為，例如現將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（ ）ABCD2已知隨機變量服從正態(tài)分布，（ ）ABCD3已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（ ）.AB9C5D4盒子中有編號為1，2，3，4，5，6，7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位數恰好為5的概率是（ ）

3、ABCD5設直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實數的取值為A或11B或11CD6某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（ ）ABCD7已知函數，存在實數，使得，則的最大值為（ ）ABCD8已知數列中，且當為奇數時，；當為偶數時，則此數列的前項的和為（ ）ABCD9的展開式中，含項的系數為（ ）ABCD10如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD11對某兩名高三學生在連續(xù)9次數學測試中的成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到折線圖，下面是關于這兩位同學的數學成績分析甲

4、同學的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間110,120內；乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；乙同學連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步其中正確的個數為（）A4B3C2D112設為虛數單位，復數，則實數的值是（ ）A1B-1C0D2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數，在區(qū)間上隨機取一個數，則使得0的概率為 14已知等比數列an的前n項和為Sn，若a215已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點.若（點為坐標原點）的面積為32，且雙曲線的焦距為，

5、則雙曲線的離心率為_.16函數的值域為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結果）（2）如果隨機抽取的7名同學的數學，物理成績（單位：分）對應如下表：學生序號1234567數學成績60657075858790物理成績70778085908693若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數學和物理成績均為優(yōu)秀的人數為，求的分

6、布列和數學期望；根據上表數據，求物理成績關于數學成績的線性回歸方程（系數精確到0.01）；若班上某位同學的數學成績?yōu)?6分，預測該同學的物理成績?yōu)槎嗌俜郑扛剑壕€性回歸方程，其中，.768381252618（12分）已知橢圓的右頂點為，為上頂點，點為橢圓上一動點（1）若，求直線與軸的交點坐標；（2）設為橢圓的右焦點，過點與軸垂直的直線為，的中點為，過點作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點在橢圓上19（12分）已知矩陣的一個特征值為4，求矩陣A的逆矩陣.20（12分）已知函數.（）解不等式；（）設其中為常數.若方程在上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.21（12分）如圖，在平面四邊

7、形中，.（1）求；（2）求四邊形面積的最大值.22（10分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求實數的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】從21開始，輸出的數是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.2B【解析】利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結果.【詳解】，所以，.故選：B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎題.3A【解析】根據指數型函數所過的定點，確定，再根據條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,，當且僅當時等號成立，即時取得最小

8、值.故選：A【點睛】本題考查指數型函數的性質，以及基本不等式求最值，意在考查轉化與變形，基本計算能力，屬于基礎題型.4B【解析】由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個球的編號的中位數恰好為5的概率為：故選：B【點睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應用，考查了學生綜合分析，概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.5A【解析】圓的圓心坐標為（1，1），該圓心到直線的距離，結合弦長公式得，解得或，故選A6C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，

9、高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應選7A【解析】畫出分段函數圖像，可得，由于，構造函數，利用導數研究單調性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，在，故.故選：A【點睛】本題考查了導數在函數性質探究中的應用，考查了學生數形結合，轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.8A【解析】根據分組求和法，利用等差數列的前項和公式求出前項的奇數項的和，利用等比數列的前項和公式求出前項的偶數項的和，進而可求解.【詳解】當為奇數時，則數列奇數項是以為首項，以為公差的等差數列，當為偶數時，則數列中每個偶數

10、項加是以為首項，以為公比的等比數列.所以.故選：A【點睛】本題考查了數列分組求和、等差數列的前項和公式、等比數列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.9B【解析】在二項展開式的通項公式中，令的冪指數等于，求出的值，即可求得含項的系數【詳解】的展開式通項為，令，得，可得含項的系數為.故選：B.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題10B【解析】建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：

11、B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.11C【解析】利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關性，成績的比較，說明正誤即可【詳解】甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，錯誤；根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間110,120內，正確；乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，正確；乙同學在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故不正確故選：C【點睛】本題考查折線圖的應用，線性相關以及平均分的求解，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題12A【解析】根據復數的乘法運算化簡，由復數

12、的意義即可求得的值.【詳解】復數，由復數乘法運算化簡可得，所以由復數定義可知，解得，故選：A.【點睛】本題考查了復數的乘法運算，復數的意義，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】試題分析：可以得出，所以在區(qū)間上使的范圍為，所以使得0的概率為考點：本小題主要考查與長度有關的幾何概型的概率計算.點評：幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”、“角度”、“面積”、“體積”等，但要注意求概率時做比的上下“測度”要一致.14-2【解析】試題分析：a2考點：等比數列性質及求和公式15或【解析】用表示出的面積，求得等量關系，聯立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離

13、心率得解.【詳解】聯立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，所以.聯立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質，考查運算求解能力以及函數與方程思想，屬中檔題.16【解析】利用配方法化簡式子，可得，然后根據觀察法，可得結果.【詳解】函數的定義域為所以函數的值域為 故答案為：【點睛】本題考查的是用配方法求函數的值域問題，屬基礎題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）不同的樣本的個數為.（2）分布列見解析，.線性回歸方程為.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【解析】（1）按比例抽取即可，再用乘法原理計算不同的樣本數. （2

14、）名學生中物理和數學都優(yōu)秀的有3名學生，任取3名學生，都優(yōu)秀的學生人數服從超幾何分布，故可得其概率分布列及其數學期望.而線性回歸方程的計算可用給出的公式計算，并利用得到的回歸方程預測該同學的物理成績.【詳解】（1）依據分層抽樣的方法，24名女同學中應抽取的人數為名，18名男同學中應抽取的人數為名，故不同的樣本的個數為.（2）7名同學中數學和物理成績均為優(yōu)秀的人數為3名，的取值為0，1，2，3.，.的分布列為0123 .，.線性回歸方程為.當時，.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【點睛】在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）18（1）（2）見

15、解析【解析】（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯立求出點坐標，從而可得直線方程，得其與軸交點坐標；（2）設，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點坐標，證明此交點在橢圓上，即此點坐標適合橢圓方程代入驗證即可注意分和說明【詳解】解：本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合，（1）由題知，則因為，所以，則直線的方程為，聯立，可得故則，直線的方程為令，得，故直線與軸的交點坐標為（2）證明：因為，所以設點，則設當時，設，則，此時直線與軸垂直，其直線方程為，直線的方程為，即在方程中，令，得，得交點為，顯然在橢圓上同理當時，交點也在橢圓上當時，可設直線的方程為，即直線的方程為，聯立方程，消去得，化簡并解得將

16、代入中，化簡得所以兩直線的交點為因為，又因為，所以，則，所以點在橢圓上綜上所述，直線與直線的交點在橢圓上【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線方程，解方程組求出交點坐標，代入曲線方程驗證點在曲線本題考查了學生的運算求解能力19.【解析】根據特征多項式可得，可得，進而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因為矩陣的特征多項式，所以，所以.因為，且，所以.【點睛】本題考查矩陣的特征多項式以及逆矩陣的求解，是基礎題.20（）；（）.【解析】（I）零點分段法，分，討論即可；（II），分，三種情況討論.【詳解】原不等式即.當時，化簡得.解得；當時，化簡得.此時無解；當時，化簡得

17、.解得.綜上，原不等式的解集為由題意，設方程兩根為.當時，方程等價于方程.易知當，方程在上有兩個不相等的實數根.此時方程在上無解.滿足條件.當時，方程等價于方程，此時方程在上顯然沒有兩個不相等的實數根.當時，易知當，方程在上有且只有一個實數根.此時方程在上也有一個實數根.滿足條件.綜上，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查解絕對值不等式以及方程根的個數求參數范圍，考查學生的運算能力，是一道中檔題.21（1）；（2）【解析】（1）根據同角三角函數式可求得，結合正弦和角公式求得，即可求得，進而由三角函數（2）設根據余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，結合三角形面積公式可求得的最大值，即可求得四邊形面積的最大值.【詳解】（1），則由同角三角函數關系式可得，則