初三數(shù)學(xué)秋季講義 第3講.二次函數(shù)圖象綜合應(yīng)用 教師版

1、PAGE 18PAGE 19PAGE 13二次函數(shù)圖象綜合應(yīng)用3二次函數(shù)圖象綜合應(yīng)用滿分晉級(jí)滿分晉級(jí)階梯函數(shù)函數(shù)16級(jí)圖形中的二次函數(shù)解析式與復(fù)雜圖象變換函數(shù)15級(jí)二次函數(shù)圖象綜合應(yīng)用函數(shù)14級(jí)二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用秋季班第四講秋季班第三講暑期班第三講漫畫釋義 趣味猜謎漫畫釋義中考內(nèi)容與要求中考內(nèi)容與要求中考內(nèi)容中考要求ABC二次函數(shù)能結(jié)合實(shí)際問題情境了解二次函數(shù)的意義；會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象能通過分析實(shí)際問題的情境確定二次函數(shù)的表達(dá)式；能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)確定圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對(duì)稱軸；會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解能用二次函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；能解決二次函數(shù)與其

2、他知識(shí)結(jié)合的有關(guān)問題中考考點(diǎn)分析中考考點(diǎn)分析二次函數(shù)在北京中考中屬于必考考點(diǎn)，并且都以壓軸題形式出現(xiàn)，是中考的難點(diǎn)，也是同學(xué)們失分最高的一部分。這部分內(nèi)容要求學(xué)生們能用數(shù)形結(jié)合、歸納等數(shù)學(xué)思想，根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式確定二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；綜合運(yùn)用方程、幾何、函數(shù)等知識(shí)解決實(shí)際問題。年份2011年2012年2013年題號(hào)7，8，238，2310，23分值11分11分9分考點(diǎn)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；函數(shù)圖象；二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式（函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)），二次函數(shù)與一元二次方程（判別式、求根）函數(shù)圖象；二次函數(shù)的對(duì)稱性；二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式（函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、

3、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)）；二次函數(shù)圖象平移，利用函數(shù)圖象求取值范圍二次函數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)；二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式（函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)），二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)題型一：二次函數(shù)題型一：二次函數(shù)圖象與其解析式系數(shù)的關(guān)系思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航圖象性質(zhì)：二次函數(shù)圖象主要掌握開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、單調(diào)性和最值等方面若二次函數(shù)解析式為（或）（），則：開口方向，越大，開口越小對(duì)稱軸（或）頂點(diǎn)坐標(biāo)，或，單調(diào)性 當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大（如圖1）；當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小（

4、如圖2）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 與軸的交點(diǎn)：； 與軸的交點(diǎn)：，其中是方程的兩根圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 當(dāng)時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有；當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有例題精講例題精講二次函數(shù)的圖象如圖所示，判斷，的符號(hào)由圖知：圖象開口向上，所以；函數(shù)的對(duì)稱軸，所以；函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)小于，所以；函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以；同時(shí)，所以；所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于，所以；所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于，所以典題精練典題精練 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（海淀期末） 二

5、次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象為（） A B C D（2013雅安） = 3 * GB2 一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中，正確的是（）A B C D（2013重慶） B. B = 3 * GB2 D. 如圖，拋物線，下列關(guān)系中正確的是（ ）A B C D （朝陽一模） 如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，若，則的值為 （三帆統(tǒng)練） A提示：把代入即可 提示：先把B代入，得，再把代入即可 函數(shù)與的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：0；當(dāng)1x3時(shí)，其中正確的為 （2013濟(jì)南） 已知二次函數(shù)的圖象如圖

6、所示，有下列個(gè)結(jié)論：；，（的實(shí)數(shù)）； ；，其中正確的結(jié)論有（ ）A個(gè)B個(gè)C個(gè)D個(gè) C對(duì)稱軸在軸的右邊得（由開口向下得，故），拋物線與軸交于正半軸得，不正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，不正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，正確；其實(shí)和到對(duì)稱軸的距離相等，函數(shù)值相等得，代入，即，正確；當(dāng)，可知正確；由對(duì)稱軸得，故正確；拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故，故不正確；，故，故不正確題型二題型二：二次函數(shù)的最值思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航 對(duì)于二次函數(shù)（表示的最大值，表示的最小值） 若自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，如圖，函數(shù)在頂點(diǎn)處時(shí)，取到最值 若，如圖，當(dāng)，；當(dāng)， 若，如圖，當(dāng)，；當(dāng)， 若，且，,如圖，當(dāng)，；當(dāng)，例題精講例題精講 若為任意實(shí)數(shù)，求函數(shù)

7、的最小值； 若，求的最大值、最小值； 若，求的最大值、最小值； 若，求的最大值、最小值； 若為整數(shù)，求函數(shù)的最小值 套用求最值公式（建議教師講配方法）：當(dāng)時(shí)，的最小值是 由圖象可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，最小，且，當(dāng)時(shí)，最大，且 由圖象可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是先減后增，當(dāng)，最小，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，最大，且 由函數(shù)圖象開口向上，且，故當(dāng)時(shí)，取最大值為，當(dāng)時(shí)，取最小值為 ，當(dāng)時(shí)，取最小值為由此題我們可以得到：求二次函數(shù)在給定區(qū)域內(nèi)的最值，得看拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在給定區(qū)域內(nèi)若在，則在頂點(diǎn)處取到一個(gè)最值，若不在，則在端點(diǎn)處取得最大值和最小值（其實(shí)求出端點(diǎn)值和頂點(diǎn)值，這三個(gè)值中最大的為最大值，最

8、小的為最小值）典題精練典題精練 已知m、n、k為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則代數(shù)式的最小值 為 （2013烏魯木齊） 已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為（ ）A B C D （昌平二模）m、n、k為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，m、n、k最小為0，當(dāng)n=0時(shí)，k最大為：；，故最小值為2.5 提示：，令，當(dāng)，的最大值為本題屬于為全體實(shí)數(shù)，求二次函數(shù)的最值，配方法要熟練掌握 B提示：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且拋物線的開口向上，故時(shí)，的最小值為如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)yxPAOByxPAOBMENF 設(shè)與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），觀察四點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出一條正確

9、的結(jié)論，并通過計(jì)算說明； 設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為，若在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，且，過作一條垂直于軸的直線，與兩條拋物線分別交于兩點(diǎn)，試問當(dāng)為何值時(shí)，線段有最大值？其最大值為多少？yxPAOBDQCyxPAOBDQC，解得NFEM 由知，NFEM拋物線，當(dāng)時(shí)，解得，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，當(dāng)時(shí)，解得，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱 拋物線開口向下，拋物線開口向上根據(jù)題意，得又，消可解得，則當(dāng)時(shí)，的最大值為 二次函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，求的取值范圍 二次函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，試求的取值范圍 根據(jù)二次函數(shù)圖象可知，又此二次函數(shù)圖象經(jīng)過，則有，得，據(jù)圖象得對(duì)稱軸在軸左側(cè)，于是有 由圖象可知又頂

10、點(diǎn)在軸的右側(cè)，在軸的下方，則：，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即第03講精講：數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用探究【探究對(duì)象】數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用【探究過程】【探究1】數(shù)形結(jié)合思想在含參二次函數(shù)中求參數(shù)的取值范圍的應(yīng)用；二次函數(shù)的圖像信息： 根據(jù)拋物線的開口方向判斷的正負(fù)性 根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸的位置判斷與之間的關(guān)系 根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)，判斷的大小 根據(jù)拋物線與軸有無交點(diǎn)，判斷的正負(fù)性 根據(jù)拋物線所經(jīng)過的特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到關(guān)于的等式 根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)，判斷的大小例. 的圖象如圖所示設(shè)，則（ ） A B C D不能確定為正，為負(fù)或?yàn)榉治觯阂李}意得，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故，故選C【探究2】數(shù)形結(jié)合思想在求解

11、二次函數(shù)的區(qū)間最值中的應(yīng)用；(區(qū)間最值問題為高中二次函數(shù)部分的重要內(nèi)容，但在目前中考改革創(chuàng)新，部分高中思想下放初中的大前提下，老師可以針對(duì)班里學(xué)生層次進(jìn)行選講)區(qū)間最值分三種類型: “軸定區(qū)間定”、“軸動(dòng)區(qū)間定”、“軸定區(qū)間動(dòng)”；1、軸定區(qū)間定：參見第03講講義 “二次函數(shù)最值”板塊的引例；2、軸動(dòng)區(qū)間定：例求在上的最大值和最小值分析：先求最小值因?yàn)榈膶?duì)稱軸是，可分以下三種情況： 當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，所以； 當(dāng)時(shí)，為最小值，； 當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，所以綜上所述：最大值為與中較大者：，（1）當(dāng)時(shí)，則；（2）當(dāng)時(shí)，則故點(diǎn)評(píng)：本題屬于二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，由于二次函數(shù)的系數(shù)含有參數(shù)，對(duì)稱軸

12、是變動(dòng)的，屬于“軸動(dòng)區(qū)間定”，由于圖象開口向上，所以求最小值要根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分三種情況討論；最大值在端點(diǎn)取得時(shí)，只須比較與的大小，按兩種情況討論即可，實(shí)質(zhì)上是討論對(duì)稱軸位于區(qū)間中點(diǎn)的左、右兩種情況3、軸定區(qū)間動(dòng)：例若函數(shù)當(dāng)時(shí)的最小值為，求函數(shù)當(dāng)時(shí)的最值分析：，按直線與區(qū)間的不同位置關(guān)系分類討論：若，則；若，即，則；若，即，則函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是常值函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，又，故在區(qū)間內(nèi)，（當(dāng)時(shí)取得），小結(jié)：（i）解此類問題時(shí)，心中要有圖象；（ii）含參數(shù)問題有兩種：一種是“軸變區(qū)間定”，另一種是“軸定區(qū)間變”討論時(shí)，要緊緊抓住對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，這是進(jìn)行正確劃分的關(guān)鍵

13、【探究3】數(shù)形結(jié)合思想在求解二次函數(shù)的區(qū)間根中的應(yīng)用；(區(qū)間根問題同樣為高中二次函數(shù)部分的重要內(nèi)容，但在目前中考改革創(chuàng)新，部分高中思想下放初中的大前提下，老師可以針對(duì)班里學(xué)生層次進(jìn)行選講，例如2013年北京市中考第23題實(shí)際就是區(qū)間根思想的應(yīng)用)二次方程的根其實(shí)質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)因此，可以借助于二次函數(shù)及其圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究二次方程的實(shí)根分布問題設(shè)二次方程的兩個(gè)實(shí)根、，方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為1當(dāng)方程有一根大于，另一根小于時(shí)，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像有下列兩種情形：方程系數(shù)所滿足的充要條件：；2當(dāng)方程兩根均大于時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像有下列兩種情形：方程系數(shù)所滿足的充要條件

14、：， ，；3當(dāng)方程兩根均在區(qū)間內(nèi)，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像有下列兩種情形：方程系數(shù)所滿足的充要條件：， ，；4當(dāng)兩根中僅有一根在區(qū)間內(nèi)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像有下列四種情形：方程系數(shù)所滿足的充要條件： ；5當(dāng)兩根在區(qū)間之外時(shí)：對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像有下列兩種情形：方程系數(shù)所滿足的充要條件：，；6當(dāng)兩根分別在區(qū)間、內(nèi)，且，對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像有下列兩種情形：方程系數(shù)所滿足的充要條件：， 小結(jié)： 由函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的位置寫出相應(yīng)的充要條件，一般考慮三個(gè)方面：判別式的符號(hào)；對(duì)稱軸的位置分布；二次函數(shù)在實(shí)根分布界點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)例若方程的兩個(gè)根均大于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：令，如圖得充要條件：，解得思維拓展訓(xùn)練(選講)思維拓展

15、訓(xùn)練(選講)已知：，且，則二次函數(shù)的圖象可能是下列圖象中的（ ） A B C D（西城期末改編）B由，且，可得， ，且過點(diǎn)，由，且=0，利用不等式性質(zhì)，可以進(jìn)一步推出下列不等關(guān)系：，另一方法：，從而得到已知二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、，則對(duì)于下列結(jié)論： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、；，；，其中所有正確的結(jié)論是_.（只需填寫序號(hào)）（海淀中考）當(dāng)時(shí)，代入得，故正確；因?yàn)榈姆?hào)不確定，故開口不確定，因此無法確定當(dāng)時(shí)，故不正確；聯(lián)立方程可得，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，若，若，故正確，故不正確.如圖所示，二次函數(shù)的圖象交軸于和，交軸于，當(dāng)線段最短時(shí)，求線段的

16、長(zhǎng)（人大附中單元練習(xí)）設(shè)，則，是方程的兩根，則當(dāng)時(shí)，取最小值，即最短，此時(shí)，拋物線為， 可求得的縱坐標(biāo)為，即線段的長(zhǎng)是小明為了通過描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象，先取自變量的個(gè)值滿足：，再分別算出對(duì)應(yīng)的值，列出表：表1：記，；， 判斷、之間關(guān)系； 若將函數(shù)“”改為“”，列出表2：表2：其他條件不變，判斷、之間關(guān)系，并說明理由； 小明為了通過描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象，列出表3：表3：由于小明的粗心，表3中有一個(gè)值算錯(cuò)了，請(qǐng)指出算錯(cuò)的值（直接寫答案）（北京四中） ； 證明：同理， 表中的改為 復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固題型一 二次函數(shù)圖象與其解析式系數(shù)的關(guān)系 鞏固練習(xí) 函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中圖象大致是圖中的（ ） 二次函數(shù)

17、的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（ ） A D如圖所示，二次函數(shù)的圖象開口向上，圖象經(jīng)點(diǎn)和且與軸交于負(fù)半軸下列四個(gè)結(jié)論：；， 其中正確的結(jié)論的序號(hào)是 給出下列四個(gè)結(jié)論：； ；其中正確的結(jié)論的序號(hào)是 圖象開口向上得；對(duì)稱軸可得；當(dāng)時(shí)，即；由時(shí)，即故由可知；對(duì)稱軸，；點(diǎn)和在拋物線上，代入解析式得兩式相加得，得，即故如圖，表示拋物線的一部分圖象，它與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)則的取值范圍是（ ）A B C DB（西城畢業(yè)考試）二次函數(shù)的圖象大致如圖所示，判別，和的符號(hào)，并說明理由；如果，求證： 解：因?yàn)閽佄锞€開口向上，因?yàn)閽佄锞€與軸交于負(fù)半軸，又因?yàn)閽佄锞€對(duì)稱軸在軸的

18、右側(cè)，即，異號(hào)，由，得因?yàn)閽佄锞€與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以其判別式 證明：由于點(diǎn)坐標(biāo)為，而，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，把代入，得因?yàn)?，所以題型二 二次函數(shù)的最值 鞏固練習(xí)已知：關(guān)于x的一元二次方程. 求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； 若，求證方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為； 在的條件下，設(shè)方程的另一個(gè)根為. 當(dāng)時(shí)，關(guān)于m的函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），平行于軸的直線與、的圖象分別交于點(diǎn)、. 當(dāng)沿由點(diǎn)平移到點(diǎn)時(shí)，求的最大值. 證明：. ， . 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 解：由，得 當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)左邊.等號(hào)右邊=0.左邊=右邊. 是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根. 解：由求根公式，得. x =m或 ， .當(dāng)時(shí)， 如圖，當(dāng)l沿AB由點(diǎn)A平移到點(diǎn)B時(shí)， 由，得解得m=2或m=1. mA=2，mB=1. 21，當(dāng)m=時(shí)，CD取得最大值. 課后測(cè)課后測(cè)設(shè)二次函數(shù)圖像如圖所示，試判斷：的符號(hào)【解析】由圖像可知，于是若，求的最大值、最小值；【解析】由圖像可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是先減后增，當(dāng)，最小，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，最大，且第十七種品格：第十七種品格：