函數(shù)極限精品課件

1、函數(shù)極限第1頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一5. 初等函數(shù)我們所研究的函數(shù)，通常是基于一些最簡單的函數(shù)，這些函數(shù)在中學(xué)中也已有過介紹：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。以上六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，否則稱為非初等函數(shù)。 思考題：證明實(shí)軸上任一函數(shù)都可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和。第2頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一第二章 極 限2.1 數(shù)列極限2.2 收斂數(shù)列2.3 函數(shù)極限2.4 函數(shù)極限的定理2.5 無窮大與無窮小第3頁，共89頁，20

2、22年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一2.1 數(shù)列極限 問題1 如何用漸近的方法求圓的面積S？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1 A2 A3 A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積, , 顯然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考慮當(dāng)n時(shí), An的變化趨勢. 第4頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一問題2：一個(gè)富翁欲將一枚價(jià)值連城的鉆戒均分給兩個(gè)兒子，請(qǐng)問怎樣分？ 問題3：第5頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一問題6 芝諾的“阿基里斯和烏龜賽跑悖論”

3、 如果讓爬得極慢的烏龜先行一段路程，那么阿基里斯將永遠(yuǎn)追不上烏龜。其理由如下：如果阿基里斯前面有一只烏龜(正從A點(diǎn)向前爬)，則他要追上烏龜必須要經(jīng)過烏龜出發(fā)的地方A；但當(dāng)他追到這個(gè)地方的時(shí)候，烏龜又向前爬了一段距離，到了B點(diǎn)；他要追上烏龜又必須經(jīng)過B點(diǎn)，但當(dāng)他追到B點(diǎn)的時(shí)候，烏龜又爬到了C點(diǎn).所以阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜！第6頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一二、數(shù)列的定義1.定義：數(shù)列是按次序排列的一列無窮多個(gè)數(shù)LL,21nxxx或者可以說，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)，即以N為定義域由小到大取值所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。nx，記為數(shù)列稱為第n項(xiàng)或通項(xiàng)。數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一

4、個(gè)點(diǎn)列：第7頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一xyo12.1.23n如何用數(shù)學(xué)語言描述“ 越來越接近1”。三、數(shù)列的極限第8頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一任意第9頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一若數(shù)列沒有極限,則稱數(shù)列是發(fā)散的.注意：第10頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一幾何解釋:等價(jià)定義第11頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例1證所以,第12頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例2證第13頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星

5、期一例3證其中第14頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一定理1 (唯一性) 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,2.2 收斂數(shù)列一、收斂數(shù)列的性質(zhì)第15頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一2、有界性定理2(有界性 ) 收斂的數(shù)列必定有界.推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.第16頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一3、保序性定理3(保序性) 若且則有推論則若且第17頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一二、收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理4定理5第18頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一定理6第19頁，共8

6、9頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一思考題第20頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一證三、數(shù)列的收斂判別法1.夾逼準(zhǔn)則第21頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一上兩式同時(shí)成立,上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則以后可以推廣到函數(shù)的極限第22頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例5解由夾逼定理得第23頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:第24頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例6證(舍去)第25頁，共89頁，2022年，5月20日，1

7、9點(diǎn)28分，星期一例7 證明數(shù)列收斂證明則第26頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一類似地,第27頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一四、子數(shù)列注意：例如，第28頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一定理1 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同證證畢定理2 數(shù)列 收斂 奇子列 與偶子列 都收斂，且它們的極限相等. 第29頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一定理3 Weierstrass定理 有界數(shù)列必有收斂子列定理的幾何直觀證明思路證明：必要性第30頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一充

8、分性 由魏爾斯特拉斯定理可證。作業(yè)2. 求第31頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一3. 求4. 求5. 第32頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一xxyyoo1111.2.3 函數(shù)極限一、當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的極限第33頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一第34頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一3、另兩種情形:第35頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例1 證明證故不妨設(shè)|x|1，而當(dāng)|x|1時(shí)第36頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一第37頁，共89頁，2022年，

9、5月20日，19點(diǎn)28分，星期一三、當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的極限引例 這個(gè)函數(shù)雖在x=1處無定義，但從它的圖形上可見，當(dāng)點(diǎn)從1的左側(cè)或右側(cè)無限地接近于1時(shí)， f(x)的值無限地接近于4，我們稱常數(shù)4為f(x)當(dāng)x1 時(shí)f(x)的極限。1xyo4第38頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一 定義：設(shè) 在點(diǎn) 的去心鄰域有定義，是常數(shù)。若對(duì) 當(dāng) 時(shí)，有 則稱b是 在 點(diǎn)的極限，記為: 第39頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一 左極限:右極限:2、左右極限第40頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一3、幾何解釋:注意：第41頁，共89頁，2022年

10、，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一分析|f(x)b|(2x1)1|2|x1| 例5 因?yàn)?0 證明 |f(x)b|(2x1)1|2|x1|e e 0 當(dāng)0|x1| 時(shí) 有 /2只要|x1|e /2 要使|f(x)b|0 取 =e 當(dāng)0|x1|d 時(shí) 有 例6 e 0 只要|x1|e 要使|f(x)b|e 第43頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例7 證明 證第44頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例8 證明證不妨設(shè)第45頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一定理1( 惟一性 )2.4 函數(shù)極限的定理 若函數(shù) 在 存在極限,則它

11、的極限是唯一的.證 不妨設(shè) 以及 .由極限的定義，對(duì)于任意的正數(shù) ,存在正數(shù)第46頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一由 的任意性，推得 b = c.令 ,當(dāng) 時(shí),(1)與(2)式均成立,所以第47頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一定理 2（局部有界性） 由此得證明:對(duì) ,存在 ，當(dāng) 時(shí) 若 , 則存在 ， 在 上有界.（ 表示 的去心鄰域）這就證明了 在某個(gè)空心鄰域 上有界.這就證明了 在某個(gè)空心鄰域 上有界.第48頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一定理3.(保序性) 若 與 且 ,則 ,有 .證明：已知 與 , 則 ，有

12、 即第49頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一推論1 若 與 ,且 有 (或 ),則 (或 ).推論2 若 ,且 (或 )則有 (或 ).第50頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一在點(diǎn) x0 的極限也存在, 且都存在, 則在點(diǎn) x0 的極限也存在, 定理 4（四則運(yùn)算法則）若并有第51頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一推論1推論2注:定理中極限號(hào)下面沒有指明極限過程，是指對(duì)任何一個(gè)過程都成立。第52頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一定理5(復(fù)合函數(shù)極限)設(shè)有復(fù)合函數(shù) 若1)2)3)則第53頁，共89頁，

13、2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一證由極限定義得第54頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一注定理中的限制條件的條件不能少。例如,令第55頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例1解第56頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例2解(消去零因子法)第57頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例3解(無窮小因子分出法)第58頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一求 A 和 B. 作業(yè)2 （1）已知 （2） 第59頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一二、函數(shù)極限與數(shù)列

14、極限的關(guān)系定理6 (海涅歸結(jié)原理) 對(duì)任意數(shù)列 且 有證(必要性) 設(shè)則對(duì)任給 那么對(duì)上述 ,存在第60頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一所以這就證明了(充分性)（下面的證法很典型，特別注意不以某個(gè)常數(shù)為極限的數(shù)學(xué)邏輯語言敘述。）恒有時(shí), 不以 b 為極限, 則存在正數(shù)設(shè)任給第61頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一現(xiàn)分別取存在相應(yīng)的使得對(duì)于任意正數(shù)使得第62頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一 另一方面,所以這與矛盾.注 歸結(jié)原理重要應(yīng)用：推論2:若但不存在.推論1: ：若 ,且 而 不存在極限，則 在點(diǎn) 處也不存在極限.第

15、63頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例7都不存在.解故不存在.故不存在.第64頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一密集的等幅振蕩, 當(dāng)然不會(huì)趨于一個(gè)固定的值. -1-0.50.511-1的圖象在 x = 0 附近作無比從幾何上看，第65頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一三、函數(shù)極限存在判別法 定理7 (夾逼性定理) 若 ，有 則： . 證明：證明思想、過程完全類似于數(shù)列極限的夾逼性定理. 定理8 若 ,有且 則 第66頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一證所以不等式中的三個(gè)表達(dá)式均是偶函數(shù), 故當(dāng)例9

16、 :證明：第67頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一解所以即例10 求第68頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例11解例12解第69頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一證 我們只需證明：例13 :證明：第70頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一第71頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例14解一般地第72頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一解一解二例15 求第73頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例6, 求極限 作業(yè)3 求極限（3）（4）

17、（5）（6）第74頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一2.5 無窮小量與無窮大量一、無窮小 在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到極限為0的變量。對(duì)于這種變量不僅具有實(shí)際意義，而且更具有理論價(jià)值，值得單獨(dú)給出定義。若,則稱函數(shù) 是當(dāng) 時(shí)無窮小. 性質(zhì)1其中 是無窮小。第75頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一 性質(zhì)2 若函數(shù) 都是無窮小，則函數(shù) 也是無窮小. 性質(zhì)3 若函數(shù) 是無窮小,函數(shù) 在 的某去心鄰域 有界，則 是無窮小. 第76頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一二、無窮大量 定義 設(shè)函數(shù) 在 有定義.若 有 ，則稱函數(shù) 是無窮大，有

18、時(shí)也稱函數(shù) 在 的“極限”是無窮大，表為第77頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一問題：出如下定請(qǐng)給義：唐詩 王之渙：白日依山盡 黃河入海流 欲窮千里目 更上一層樓詩中藏極限第78頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一 若將上述定義中的不等式 分別改為則分別稱函數(shù) 是正無窮與負(fù)無窮大，并分別表為與第79頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一例1.證明證明例2.證明證明第80頁，共89頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)28分，星期一 性質(zhì)1 若函數(shù) 都是無窮大，則函數(shù) 是無窮大.性質(zhì)3 若函數(shù) 是無窮小(或無窮大),且 ,則函數(shù) 是無窮大(或無窮