中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：例談“蝶形”在平行線中“等積變換”的應(yīng)用

1、例談“蝶形”在平行線中 “等積變換”的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)的百花園里，有一類幾何圖形就像蝴蝶一樣美麗嬌艷，這就是“蝶形”.數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們?cè)谛蕾p“蝶形”之美的同時(shí)，也讓我們產(chǎn)生了對(duì)“蝶形”的遐想. 一、孕蝶破繭而出 例1 如圖1，已知直線，為直線上的兩點(diǎn)，為直線上的兩點(diǎn). (l)請(qǐng)寫出圖中面積相等的各對(duì)三角形. (2)如果，為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，請(qǐng)指出與面積相等的三角形并說(shuō)明理由. 解 (l) 與面積相等，與面積相等，與面積相等. (2)無(wú)論點(diǎn)如何在直線上移動(dòng)，與的面積都相等，因?yàn)樗鼈兌加邢嗤牡走呴L(zhǎng)度，這個(gè)底邊上的高都等于平行線到的距離. 評(píng)析 根據(jù)平行線的性質(zhì)得到與

2、，與這兩對(duì)三角形的面積分別相等.再根據(jù)等式的性質(zhì)，可得到第三對(duì)三角形，即與的面積相等. 二、逐蝶翩然起舞 例2如圖3，五邊形是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過(guò)多年開(kāi)墾荒地，現(xiàn)已變成擴(kuò)大后的形狀，但承包土地與開(kāi)墾荒地的分界小路(圖3中折線)還保留著，張大爺想過(guò)點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多.請(qǐng)你用有關(guān)的幾何知識(shí)，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案.(不計(jì)分界小路與直路的占地面積)(1)寫出設(shè)計(jì)方案，并畫出相應(yīng)的圖形;(2)說(shuō)明方案設(shè)計(jì)理由. 解 (1)連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，就是所求的路. (2)，,.路兩邊的面積相等. 評(píng)析 本題突破口是保持圖形

3、的面積不變，修一條直路可能出現(xiàn)如圖4中的3種情況(，).由蝶形推出,從而確定點(diǎn)，得到直線. 三、捕蝶輕盈敏捷 例3 如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線，例如平行四邊形的一條對(duì)角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線. (1)三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有 (2)如圖5，梯形中，如果延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，那么有.請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過(guò)點(diǎn)作出梯形的面積等分線(不寫作法，保留作圖痕跡). (3)如圖5，四邊形中，與不平行，過(guò)點(diǎn)能否作出四邊形的面積等分線?若能，請(qǐng)畫出面積等分線，并給出證明;

4、若不能，說(shuō)明理由. 解 (1)中線所在的直線.(2)方法一:如圖5，連結(jié).因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以和的公共邊上的高也相等，所以有，所以?方法二:設(shè)與相交于點(diǎn).因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以? 過(guò)點(diǎn)的梯形的面積等分線的畫法為:作的垂直平分線，交于，連結(jié).則是梯形的面積等分線.(作圖略) (3)能，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?，所以和的公共邊上的高也相等，所以有，所以，因?yàn)?，所以面積等分線必與相交，取中點(diǎn)，則直線即為要求作的四邊形的面積等分線. 簡(jiǎn)析 第(1)問(wèn)引入了和“蝶形”面積相關(guān)的三角形中線問(wèn)題，實(shí)則是等底同高問(wèn)題;第(2)問(wèn)是將梯形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，其實(shí)

5、質(zhì)可歸為等底同高問(wèn)題，是捕捉到“蝶形”并將其應(yīng)用使問(wèn)題得到解決;第(3)問(wèn)把梯形變式為一般四邊形，如何將一般四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積問(wèn)題是難點(diǎn).仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，解決問(wèn)題的過(guò)程中同樣可以捕捉到“蝶形”，將“蝶形”進(jìn)行應(yīng)用，使問(wèn)題輕松解決. 四、賞蝶婀娜多姿 例4 (1)如圖7，已知五邊形，是上一點(diǎn)，能否過(guò)折線中的點(diǎn)作一條直線，使得直線左邊的四邊形與原圖中折線左邊的六邊形面積相等. (2)如圖8，已知五邊形，是上一點(diǎn)，能否過(guò)折線中的點(diǎn)作一條直線，使得直線左邊的四邊形與原圖中折線左邊的七邊形面積相等. (3)如圖9，已知五邊形，是上一點(diǎn)，能否過(guò)折線(共有個(gè)點(diǎn)，各線段不相交)中的點(diǎn)作一條直線，使得

6、直線左邊的四邊形與原圖中折線左邊的邊形的面積相等. 解 (1)如圖8，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，交BM于點(diǎn)H，連結(jié)EH，過(guò)點(diǎn)F作FK / EH,交于點(diǎn)，連結(jié)即為所求的直線. (2)如圖8，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則即為所求的直線. (3)作圖略. 評(píng)析 本題作圖是通過(guò)捕捉“蝶形”來(lái)實(shí)現(xiàn)的，每次連結(jié)、作平行線，都用到“蝶形”的性質(zhì)，即等積轉(zhuǎn)換.這三個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是曲直問(wèn)題之間相互依存的問(wèn)題，更是“蝶形”與其它幾何圖形之間相互轉(zhuǎn)化由問(wèn)題. 五、化蝶玉蝶戀花 例5 我們把能夠平分四邊形面積的直線稱為“好線”.利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”:如圖10，在四邊形中，取對(duì)角線的中點(diǎn)，連結(jié).再過(guò)點(diǎn)作交于，則直線即為一條“好線”. (1)試說(shuō)明直線是“好線”的理由; (2)如圖11 , 為一條“好線”, 為邊上的一點(diǎn)，請(qǐng)作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)的“好線”，并對(duì)畫面作適當(dāng)說(shuō)明(不需要說(shuō)明理由). 解 (1)設(shè)與的交點(diǎn)是.因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)?，折線能平分四邊形的面積，所以直線平分四邊形的面積，即是“好線”. (2)如圖11，連結(jié)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，連結(jié)，則為一條“好線”.(證略).