三角函數(shù)的遞推關(guān)系數(shù)列

1、 - 9 -三角函數(shù)的遞推關(guān)系數(shù)列1、當(dāng)三角函數(shù)在遞推關(guān)系中出現(xiàn)時(shí)，一般無(wú)需求出具體的數(shù)列通項(xiàng)，二是通過(guò)構(gòu)造使式子結(jié)構(gòu)由三角函數(shù)形式變?yōu)檎叫问?，獲得題干提供的形式，是解題思路明朗。在處理與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)列不等式問(wèn)題時(shí)，則是通過(guò)第（1）問(wèn)提供的不等式合理賦值或利用常見(jiàn)不等式、裂項(xiàng)放縮等，使式子達(dá)到待證的理想效果。2、若需求通項(xiàng)時(shí)，常需考慮三角函數(shù)的周期，分類(lèi)討論。3、在一些遞推形式比較特殊的復(fù)雜數(shù)列中，可以考慮利用三角換元，將其簡(jiǎn)化。一、利用三角函數(shù)不等式放縮（1）證明：恒成立，此時(shí)，令，則，（金鈺奇說(shuō)這是循環(huán)論證，那下面用單位圓來(lái)證明一下）若，則，從右圖來(lái)證明。在單位圓上作，則由得,即，由

2、于和都是偶函數(shù)，的情況不證自明。（2）證明：恒成立總結(jié)：觀察發(fā)現(xiàn)（2）中的不等式利用三角函數(shù)中的特殊值點(diǎn)構(gòu)造的。此類(lèi)不等式在證明時(shí)較常采用函數(shù)求導(dǎo)。例題1、已知數(shù)列滿(mǎn)足，求證：證明：由，知因?yàn)橛胁坏仁?，所以?dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，則累乘有綜上：注：本題在解答時(shí)，先使用誘導(dǎo)公式將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為題目所提供的形式，即構(gòu)造出的形式，然后利用不等式放縮解決問(wèn)題。例題2、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（1）求證：（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證證明：（1）由題意知，因此.因?yàn)?，?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以 （2）由（1），因此由知，故綜上：三角函數(shù)數(shù)列周期性問(wèn)題例題3、已知數(shù)列滿(mǎn)足求例題4、（鄞州中學(xué)2019-2020學(xué)年第二學(xué)期高三

3、期初考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足（1）證明：為常數(shù)列，并求（2）令求數(shù)列的前n項(xiàng)和分析：本題借用三角函數(shù)的周期性，考察奇偶數(shù)列解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，得，即同除得，整理得，所以為常數(shù)列因?yàn)?，所以則，所以（2）由（1）得所以則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，.例題5、（2007浙江）已知數(shù)列an中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且（）求；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）記，求證：解：（）（）由（）知（）證明：，利用三角函數(shù)極值縮放例題6、已知數(shù)列中，.（1）求證：.（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：解：（1）由迭代函數(shù)可知單調(diào)遞增趨于1而：于是（2）根據(jù)已知，有令，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則只需證明此時(shí)由已知條件變?yōu)橐虼死萌菗Q元解決部分復(fù)雜函數(shù)遞推式例題7、已知數(shù)列中，.定義求；（2）求證： 設(shè)，帶入得若，則，所以（2）例題8、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，且，其中。（1）試判斷數(shù)列的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列的前項(xiàng)的和為證明：。（1），注意到又當(dāng)時(shí)，故，單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，注意到故代入得又由（1）知：當(dāng)時(shí)，故，故因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列累乘得其中（3）由（2）知：其中。先證明：，其中