拉普拉斯方程

1、拉普拉斯方程(Laplaces equatiOn )又稱調(diào)和方程、位勢方 程，是一種偏微分方程，因由法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯首先提出而得 名。拉普拉斯方程表示液面曲率與液體表面壓強之間的關(guān)系的公式。基本概述一個彎曲的表面稱為曲面，通常用相應(yīng)的兩個曲率半徑來描述 曲面，即在曲面上某點作垂直于表面的直線，再通過此線作一平 面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點與曲線相切的圓半徑稱為 該曲線的曲率半徑R1。通過表面垂線并垂直于第一個平面再作第二個平面并與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑R2 ,用R1與R2可表示出液體表面的彎曲情況。若液面是彎曲的，液體內(nèi) 部的壓強pl與液體外的壓強p2就會不同，在液

2、面兩邊就會產(chǎn)生壓 強差A(yù)P= P1- P2 ,稱附加壓強，其數(shù)值與液面 曲率大小有關(guān)，可表示為:,式中Y是液體表面張力系數(shù)，該公式稱為拉,式中Y是液體表面張力系數(shù)，該公式稱為拉+ + =O+ + =O血卻,其中？2為拉普拉斯普拉斯方程。在數(shù)理方程中拉普拉斯方程為: 算子，此處的拉普拉斯方程為二階 偏微分方程。三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結(jié)為求解對實自變量X、y、Z二階可微的實函數(shù) :其中?2稱為拉普拉斯算子。拉普拉斯方程的解稱為調(diào)和函數(shù)。如果等號右邊是一個給定的函數(shù)f （X，y，Z），即：則該方程稱為泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的 橢圓型偏微分方程。偏微分算子

3、飛（可以在任意維空間中定義這樣 的算子）稱為拉普拉斯算子，英文是LaPIaCe OPeratOr或簡稱作 LaPlaCian。方程的解稱為調(diào)和函數(shù)，此函數(shù)在方程成立的區(qū)域內(nèi)是解析的。任意兩 個函數(shù)，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意 線性微分方程）， 這兩個函數(shù)之和（或任意形式的 線性組合）同樣滿足前述方程。這 種非常有用的性質(zhì)稱為 疊加原理?？梢愿鶕?jù)該原理將復(fù)雜問題的已 知簡單特解組合起來，構(gòu)造適用面更廣的通解。二維方程兩個自變量的拉普拉斯方程具有以下形式：2u2u 1= 0解析函數(shù)的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。人物介紹拉普拉斯， 1749 年 3 月 23 日生于法國西北部 卡爾瓦多斯

4、的博 蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授。 1795 年任巴黎綜合工科學(xué) 校教授，后又在高等師范學(xué)校任教授。 1799 年他還擔(dān)任過法國經(jīng)度 局局長，并在拿破侖政府中任過 6 個星期的內(nèi)政部長。 1816 年被 選為法蘭西學(xué)院 院士， 1817 年任該院院長。 1827 年 3 月 5 日卒于 巴黎。拉普拉斯在研究天體問題的過程中，創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué) 的方法，以他的名字命名的 拉普拉斯變換 、拉普拉斯定理 和拉普拉 斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。拉普拉斯曾任拿破侖的老師，所以和 拿破侖 結(jié)下不解之緣。拉 普拉斯在數(shù)學(xué)上是個大師，在政治上是個小人物、墻頭草，總是效 忠于得勢的一邊，被人看不起，拿破侖曾譏笑他把 無窮小量 的精神 帶到內(nèi)閣里。在席卷法國的政治變動中，包括拿破侖的興起和衰 落，沒有顯著地打斷他的工作。盡管他是個曾染