數(shù)學研究性學習數(shù)學發(fā)展史課件

1、數(shù)學發(fā)展史當對數(shù)的認識變得越來越明確時，人們感到有必要以某種方式來表達事物的這一屬性，于是導致了記數(shù)。 手指計數(shù)：利用兩只手的十個手指。亞里士多德指出：十進制的廣泛采用， 只不過是我們絕大多數(shù)人生來具有10個手指這一事實的結(jié)果。 石子記數(shù)：在地上擺小石子，但記數(shù)的石子堆很難長久保存。 結(jié)繩記數(shù)：在一根繩子上打結(jié)來表示事物的多少。比如今天獵到五頭羊，就 以在繩子上打五個結(jié)來表示；約定三天后再見面，就在繩子上打三個結(jié)，過一天解一個結(jié)。刻痕記數(shù)：1937年在維斯托尼斯（摩拉維亞）發(fā)現(xiàn)一根40萬年前的幼狼前 肢骨，7英寸長，上面有55道很深的刻痕。這是已發(fā)現(xiàn)的用刻痕方法計數(shù)的最早資料。直到今天，在歐、

2、亞、非大陸的某些地方，仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法來計算他們的牲畜。 古中國的數(shù)學九章算術(shù)第一章“方田”： 主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法。包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積的計算方法。另外還系統(tǒng)地講述了分數(shù)的四則運算法則，以及求分子分母最大公約數(shù)等方法。 第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術(shù)； 第三章“衰分”：比例分配問題；介紹了開平方、開立方的方法，其程序與現(xiàn)今程序基本一致。這是世界上最早的多位數(shù)和分數(shù)開方法則。它奠定了中國在高次方程數(shù)值解法方面長期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。 第四章

3、“少廣”：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等； 第五章“商功”：土石工程、體積計算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法； 第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負擔問題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀末以后才形成類似的全套方法。 第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般問題的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大。 第八章“方程”：一次方程組問題；采用分離系數(shù)的方法表

4、示線性方程組， 相當于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進和使用了負數(shù)，并提出了正負術(shù)正負數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時實際還施行了正負數(shù)的乘除法。這是世界數(shù)學史上一項重大的成就，第一次突破了正數(shù)的范圍，擴展了數(shù)系。外國則到7世紀印度的婆羅摩及多才認識負數(shù)。 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當時的社會生活密切相關(guān)的。提出了勾股數(shù)問題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，mn。在西方，

5、畢達哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個公式的幾種特殊情況，直到3世紀的丟番圖才取得相近的結(jié)果，這已比九章算術(shù)晚約3個世紀了。勾股章還有些內(nèi)容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國外到19世紀末才由美國的數(shù)論學家迪克森得出。初等數(shù)學的開創(chuàng)芝諾的四個悖論：第一個悖論 是運動不存在，理由是運動物體到達目的地之前必須到大半路，而到大半路之前又必須到大半路的半路.如此下去，它必須通過無限多個點，這在有限長時間之內(nèi)是無法辦到的。第二個悖論 是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜，因為烏龜在他前面時，它必須首先到達烏龜?shù)钠瘘c，然后用第一個悖論的邏輯，烏龜老在他的前面。這兩個悖論是反對空間

6、、時間無限可分的觀點；而第三、第四悖論是反對空間、時間又不可分的間隔組成。第三個悖論是說：“飛矢不動”，因為在某一時間間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個悖論是游行隊伍悖論，內(nèi)容大體相似。這說明希臘人已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾。 阿基米德砂粒計算是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)量，他運用了很奇特的想象，建立了新的量級計數(shù)法，確定了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對數(shù)運算是密切相關(guān)的。圓的度量利用圓的外切與內(nèi)接邊形，求得圓周率為： 這是數(shù)學史上最早的，明確指出誤差限度的值。他還證明了圓面積等于以圓周長為底、

7、半徑為高的正三角形的面積；使用的是窮舉法。 球與圓柱熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內(nèi)切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的1.5倍。拋物線求積法研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學權(quán)重方法再次驗證這個結(jié)論，使數(shù)學與力學成功地結(jié)合起來。 論螺線是阿基米德對數(shù)學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同

8、一著作中，阿基米德還導出幾何級數(shù)和算術(shù)級數(shù)求和的幾何方法。 平面的平衡是關(guān)于力學的最早的科學論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題。 浮體，是流體靜力學的第一部專著，阿基米德把數(shù)學推理成功地運用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學公式表示浮體平衡的規(guī)律。 論錐型體與球型體講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉(zhuǎn)而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉(zhuǎn)而成的球型體的體積。 阿基米德的理論為幾何和微積分的開創(chuàng)寫下了不可磨滅的一章 笛卡爾的變量 他引入了變量的概念，于是運動進入了數(shù)學，微積分的產(chǎn)生也就顯得非常自然。并且現(xiàn)代的a,b,c與x,y,z等符號也是笛卡爾首先使用。在笛卡兒時代，代數(shù)還是一個比較新

9、的學科，幾何學的思維還在數(shù)學家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。笛卡爾的思想核心：把幾何學的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在熟知的“解析幾何學”。1637年，笛卡爾發(fā)表了幾何學，創(chuàng)立了平面直角坐標系，用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的位置，用來描述空間上的點。歐拉笛卡爾公式： 在任意凸多面體中，設(shè)V為頂點數(shù)，E為棱數(shù)，F(xiàn)是面數(shù)，則V-E+F=2。該公式最早被笛卡爾證明。笛卡爾葉形線： 首先由笛卡爾在1638年提出，他從葉形線的隱式方程為極坐標中方程為根據(jù)，從自明的直觀公理出發(fā)，運用數(shù)學的邏輯演繹，推出結(jié)論。這種方

10、法和培根所提倡的實驗歸納法結(jié)合起來，經(jīng)過惠更斯和牛頓等人的綜合運用，成為物理學特別是理論物理的重要方法。微積分的創(chuàng)立 到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國

11、的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。 十七世紀下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學來考慮的。戈特弗里德威廉萊布尼茨

12、萊布尼茨曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，得出復數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復數(shù)的和是實數(shù)的結(jié)論。在后來的研究中，萊布尼茨證明了自己結(jié)論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論，此外，萊布尼茨還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念。數(shù)學方法的轉(zhuǎn)變幾何方法解析方法高等數(shù)學的完善十九世紀是數(shù)學發(fā)展史上一個偉大轉(zhuǎn)折的世紀，它突出地表現(xiàn)在兩個方面： 一方面是近代數(shù)學的主題部分發(fā)展成熟了，經(jīng)過一個多世紀數(shù)學家們的努力，它的三個組成部分取得了極為重要的成就：微積分發(fā)展成為數(shù)學分析，方程論發(fā)展成為高等代數(shù)，解析幾何發(fā)展成為高等幾何，這就為近代數(shù)學向現(xiàn)代數(shù)學轉(zhuǎn)變準

13、備了充分的條件。 令一方面，近代數(shù)學的基本思想和基本概念，在這一時期中發(fā)生了根本的變化：在分析學中，傅立葉級數(shù)論的產(chǎn)生和建立，使得函數(shù)概念有了重大突破；在代數(shù)學中，伽羅瓦群論的產(chǎn)生，使得代數(shù)運算的概念有了重大的突破；在幾何學中，非歐幾何的誕生在空間概念方面有了重大的突破，這三項突破促使近代數(shù)學迅速向現(xiàn)代數(shù)學轉(zhuǎn)變。 十九世紀還有一個獨特的貢獻，就是數(shù)學基礎(chǔ)的研究形成了三個理論：實數(shù)理論、集合論和數(shù)理邏輯，這三個理論的建立為即將到來的現(xiàn)代數(shù)學準備了更為深厚的基礎(chǔ)。三大數(shù)學危機的解決第一次數(shù)學危機畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他

14、發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導致了數(shù)學史上第一個無理數(shù)2 的誕生。小小2的出現(xiàn)，卻在當時的數(shù)學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數(shù)學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的2的存在而推翻

15、了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數(shù)學史上一場大的風波，史稱“第一次數(shù)學危機”。第二次數(shù)學危機 導源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數(shù)學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂

16、的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。 一直到十九世紀二十年代，一些數(shù)學家才開始比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經(jīng)歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數(shù)學分析奠定了一個嚴格的基礎(chǔ)。第三次數(shù)學危機 十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學的基石?！耙磺袛?shù)學成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使

17、數(shù)學家們?yōu)橹兆怼?900年，國際數(shù)學家大會上，法國著名數(shù)學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學大廈今天，我們可以說絕對的嚴格性已經(jīng)達到了” 可是，好景不長。1903年，一個震驚數(shù)學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學家羅素提出的著名的羅素悖論。 羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根

18、據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。 危機產(chǎn)生后，數(shù)學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個公理化集合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學家改進，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。柯西近代數(shù)學的領(lǐng)跑者于是，現(xiàn)代數(shù)學開始形成其他貢獻雖然柯西主要研究分析，但在數(shù)學中各領(lǐng)域都有貢獻。關(guān)于用到數(shù)學的其他學科，他在天文和光學方面的成果是次要的，可是他卻是數(shù)理彈性理論的奠基人之一。除以上所述外，他在數(shù)學中其他貢獻如下： 1分析方面：在一階偏微分方程論中行進丁特征線的基本概念；認識到傅立葉變換在解微分方程中的作用等等。 2幾何方面：開創(chuàng)了積分幾何，得到了把平面凸曲線的長用它在平面直線上一些正交投影表示出來的公式。 3代數(shù)方面：首先證明了階數(shù)超過了的矩陣