最新高考數(shù)學(xué)新增分大一輪新高考：第十二章-12.2-幾何概型

1、12.2幾何概型最新考綱1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法(包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬)估計(jì)概率.2.初步體會(huì)幾何概型的意義.3.通過閱讀材料，了解人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過程1幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型2在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式P(A)eq f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).3要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)根本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性4隨機(jī)模擬方法(1)使用

2、計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法(2)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法這個(gè)方法的根本步驟是用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；計(jì)算頻率fn(A)eq f(M,N)作為所求概率的近似值概念方法微思考1古典概型與幾何概型有什么區(qū)別？提示古典概型與幾何概型中根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求根本領(lǐng)件有有限個(gè)，幾何概型要求根本領(lǐng)件有無限多個(gè)2幾何概型中線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在內(nèi)影響概率值嗎？提示幾何概型中線段的端點(diǎn)，圖形的邊框是

3、否包含在內(nèi)不會(huì)影響概率值題組一思考辨析1判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“)(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零()(2)幾何概型中，每一個(gè)根本領(lǐng)件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的時(shí)機(jī)相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是Peq f(1,9).()題組二教材改編2在線段0,3上任投一點(diǎn)，那么此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為()A.eq f(1,2) B.eq f(1,3) C.e

4、q f(1,4) D1答案B解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為0,1)，長度為1，0,3的區(qū)間長度為3，故所求概率為eq f(1,3).3有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，假設(shè)小球落在陰影局部，那么可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)時(shí)機(jī)，應(yīng)選擇的游戲盤是()答案A解析P(A)eq f(3,8)，P(B)eq f(2,8)，P(C)eq f(2,6)，P(D)eq f(1,3)，P(A)P(C)P(D)P(B)4.如下圖的正方形及其內(nèi)部表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，那么此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A.eq f(,4)B.eq f(2,2)C.eq f(,6)D.eq f(4

5、,4)答案D解析如題干圖所示，區(qū)域D的面積為4，而陰影局部(不包括)表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域易知該陰影局部的面積為4.因此滿足條件的概率是eq f(4,4)，應(yīng)選D.題組三易錯(cuò)自糾5在區(qū)間2,4上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，假設(shè)x滿足|x|m的概率為eq f(5,6)，那么m_.答案3解析由|x|m，得mxm.當(dāng)0m2時(shí)，由題意得eq f(2m,6)eq f(5,6)，解得m2.5，矛盾，舍去當(dāng)2m4時(shí)，由題意得eq f(m2,6)eq f(5,6)，解得m3.故m3.6在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，那么該矩形面積小于32 cm

6、2的概率為_答案eq f(2,3)解析設(shè)ACx cm(0 x12)，那么CB(12x)cm，那么矩形的面積Sx(12x)12xx2(cm2)由12xx20，解得0 x4或8x12.在數(shù)軸上表示，如下圖由幾何概型概率計(jì)算公式，得所求概率為eq f(8,12)eq f(2,3).題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型例1 在等腰RtABC中，直角頂點(diǎn)為C.(1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求|AM|AC|的概率；解(1)如下圖，在AB上取一點(diǎn)C，使|AC|AC|，連接CC.由題意，知|AB|eq r(2)|AC|.由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的，所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上，因此根本領(lǐng)件的區(qū)域應(yīng)是線段AB.

7、所以P(|AM|AC|)eq f(|AC|,|AB|)eq f(|AC|,r(2)|AC|)eq f(r(2),2).(2)由于在ACB內(nèi)以C為端點(diǎn)任作射線CM，所以CM等可能分布在ACB內(nèi)的任一位置(如下圖)，因此根本領(lǐng)件的區(qū)域應(yīng)是ACB，所以P(|AM|AC|)eq f(ACC,ACB)eq f(f(f(,4),2),f(,2)eq f(3,4).思維升華 求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的概率的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)，然后求解要特別注意“長度型與“角度型的不同，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度)跟蹤訓(xùn)練1(1)某公司的

8、班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，那么他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2) C.eq f(2,3) D.eq f(3,4)答案B解析如下圖，畫出時(shí)間軸小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB上時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得所求概率Peq f(1010,40)eq f(1,2)，應(yīng)選B.(2)如圖，四邊形ABCD為矩形，ABeq r(3)，BC1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧，在DAB內(nèi)

9、任作射線AP，那么射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為_答案eq f(1,3)解析因?yàn)樵贒AB內(nèi)任作射線AP，所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域是DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在CAB內(nèi)，那么區(qū)域?yàn)镃AB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為eq f(CAB,DAB)eq f(30,90)eq f(1,3).題型二與面積有關(guān)的幾何概型命題點(diǎn)1與面積有關(guān)的幾何概型的計(jì)算例2 (2023全國)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色局部和白色局部關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自黑色局部的概率是()A.eq f(1,4) B

10、.eq f(,8) C.eq f(1,2) D.eq f(,4)答案B解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，那么正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形4.由圓中的黑色局部和白色局部關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑S白eq f(1,2)S圓eq f(,2)，所以由幾何概型知，所求概率Peq f(S黑,S正方形)eq f(f(,2),4)eq f(,8).命題點(diǎn)2隨機(jī)模擬例3 (1)如下圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)估計(jì)橢圓的面積為()A7.68 B8.68C16.32 D17.32答案C解析由隨機(jī)模擬的思想方法，可得黃豆落在橢

11、圓內(nèi)的概率為eq f(30096,300)0.68.由幾何概型的概率計(jì)算公式，可得eq f(S橢圓,S矩形)0.68，而S矩形6424，那么S橢圓0.682416.32.(2)假設(shè)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)發(fā)動(dòng)射擊擊中目標(biāo)的概率先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù)，指定0,1,2,3表示沒有擊中目標(biāo)，4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該運(yùn)發(fā)動(dòng)

12、射擊4次至少擊中3次的概率為_答案0.4解析根據(jù)數(shù)據(jù)得該運(yùn)發(fā)動(dòng)射擊4次至少擊中3次的數(shù)據(jù)分別為75279857863669474698804595977424，共8個(gè)，所以該運(yùn)發(fā)動(dòng)射擊4次至少擊中3次的概率為eq f(8,20)0.4.思維升華 求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解跟蹤訓(xùn)練2 (2023全國)從區(qū)間0,1內(nèi)隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1

13、的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，那么用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A.eq f(4n,m) B.eq f(2n,m) C.eq f(4m,n) D.eq f(2m,n)答案C解析由題意得(xi，yi)(i1,2，n)在如下圖方格中，而平方和小于1的點(diǎn)均在如下圖的陰影中，由幾何概型概率計(jì)算公式知eq f(f(,4),1)eq f(m,n)，eq f(4m,n)，應(yīng)選C.題型三與體積有關(guān)的幾何概型例4 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，那么使四棱錐MABCD的體積小于eq f(1,6)的概率為_答案eq f(1,2)解析過點(diǎn)M作平面RS平面AC，那么兩平面間的距離是

14、四棱錐MABCD的高，顯然點(diǎn)M在平面RS上任意位置時(shí)，四棱錐MABCD的體積都相等假設(shè)此時(shí)四棱錐MABCD的體積等于eq f(1,6)，只要M在截面以下即可小于eq f(1,6)，當(dāng)VMABCDeq f(1,6)時(shí)，即eq f(1,3)11heq f(1,6)，解得heq f(1,2)，即點(diǎn)M到底面ABCD的距離，所以所求概率Peq f(11f(1,2),111)eq f(1,2).思維升華 求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求跟蹤訓(xùn)練3 在一個(gè)球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方

15、體，一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，那么此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為()A.eq f(6,) B.eq f(3,2) C.eq f(3,) D.eq f(2r(3),3)答案D解析由題意可知這是一個(gè)幾何概型，棱長為1的正方體的體積V11，球的直徑是正方體的體對(duì)角線長，故球的半徑Req f(r(3),2)，球的體積V2eq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)3eq f(r(3),2)，那么此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率Peq f(V1,V2)eq f(2r(3),3).1在區(qū)間0，上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，那么事件“sin xeq f(1,2)發(fā)生的概率為()A.eq f(3,4) B

16、.eq f(2,3) C.eq f(1,2) D.eq f(1,3)答案D解析在0，上，當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(5,6)，)時(shí)，sin xeq f(1,2)，故概率為eq f(f(,3),)eq f(1,3).2在區(qū)間1,3上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，假設(shè)x滿足|x|m的概率為eq f(1,2)，那么實(shí)數(shù)m為()A0 B1 C2 D3答案B解析區(qū)間1,3的區(qū)間長度為4.不等式|x|m的解集為m，m，當(dāng)1m3時(shí)，由題意得eq f(m1,4)eq f(1,2)，解得m1(舍)，當(dāng)0m1時(shí)，由eq f(2m,4)eq f(1,2)，那么

17、m1.故m1.3(2023益陽市、湘潭市調(diào)考)假設(shè)正方形ABCD的邊長為4，E為四邊上任意一點(diǎn)，那么AE的長度大于5的概率等于()A.eq f(1,32) B.eq f(7,8) C.eq f(3,8) D.eq f(1,8)答案D解析上時(shí)，AE的長度大于5，因?yàn)檎叫蔚闹荛L為16，CMCN2，所以AE的長度大于5的概率為eq f(2,16)eq f(1,8)，應(yīng)選D.4(2023廣東七校聯(lián)考)在如下圖的圓形圖案中有12片樹葉，構(gòu)成樹葉的圓弧均相同且所對(duì)的圓心角為eq f(,3)，假設(shè)在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自樹葉(即圖中陰影局部)的概率是()A2eq f(3r(3),)B4eq f(6r

18、(3),)Ceq f(1,3)eq f(r(3),2)D.eq f(2,3)答案B解析設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式得陰影局部的面積S24eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)r2f(r(3),4)r2)4r26eq r(3)r2，圓的面積Sr2，所以此點(diǎn)取自樹葉(即圖中陰影局部)的概率為eq f(S,S)4eq f(6r(3),)，應(yīng)選B.5(2023石家莊模擬)P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PA,sup6()0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在ABC內(nèi)，那么黃豆落在PBC內(nèi)的概率是()A.eq f(1,4

19、) B.eq f(1,3) C.eq f(2,3) D.eq f(1,2)答案D解析以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，那么eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PD,sup6()，因?yàn)閑q o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PA,sup6()0，所以eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PA,sup6()，得eq o(PD,sup6()2eq o(PA,sup6()，由此可得，P是ABC邊BC上的中線AO的中點(diǎn)，點(diǎn)P到BC的距離等于點(diǎn)A到BC的距離的eq f(1,2)，所以SPBCeq f(1,2)SA

20、BC，所以將一粒黃豆隨機(jī)撒在ABC內(nèi)，黃豆落在PBC內(nèi)的概率為eq f(SPBC,SABC)eq f(1,2)，應(yīng)選D.6(2023惠州模擬)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在?周髀算經(jīng)?一書中給出了勾股定理的絕妙證明如下圖是趙爽的弦圖弦圖是一個(gè)勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí)圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成朱(紅)色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用2勾股(股勾)24朱實(shí)黃實(shí)弦實(shí)弦2，化簡得：勾2股2弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1eq r(3)，假設(shè)向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1 000顆圖釘(大小忽略不計(jì))，那么落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A866 B500 C300 D134

21、答案D解析設(shè)勾為a，那么股為eq r(3)a，所以弦為2a，小正方形的邊長為eq r(3)aa，所以題圖中大正方形的面積為4a2，小正方形的面積為(eq r(3)1)2a2，所以小正方形與大正方形的面積比為eq f(r(3)12,4)1eq f(r(3),2)，所以落在黃色圖形(小正方形)內(nèi)的圖釘數(shù)大約為eq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(3),2)1 000134.7(2023山東)在1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，那么事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交發(fā)生的概率為_答案eq f(3,4)解析由得，圓心(5,0)到直線ykx的距離小于半徑，eq f(|5k|,r(k21)3，

22、解得eq f(3,4)keq f(3,4)，由幾何概型得Peq f(f(3,4)blc(rc)(avs4alco1(f(3,4),11)eq f(3,4).8在等腰直角三角形ABC中，C90，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，那么CAMn.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影局部(不包括mn這條直線)的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，所求的概率為eq f(1,2).11向量a(2,1)，b(x，y)(1)假設(shè)x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab1的概率；(2)

23、假設(shè)x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的根本領(lǐng)件總數(shù)為6636，由ab1，得2xy1，所以滿足ab1的根本領(lǐng)件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè)故滿足ab1的概率為eq f(3,36)eq f(1,12).(2)假設(shè)x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，那么全部根本領(lǐng)件的結(jié)果為(x，y)|1x6,1y6滿足ab0的根本領(lǐng)件的結(jié)果為A(x，y)|1x6,1y6且2xy0畫出圖象如下圖，矩形的面積為S矩形25，陰影局部的面積為S陰影25eq f(1,2)2421，故滿足ab0的概率為eq f(21,25).12甲、乙兩船駛向一個(gè)

24、不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的如果甲船停泊時(shí)間為1 h，乙船停泊時(shí)間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率解設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出，那么0 x24，0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1 h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件構(gòu)成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A為圖中陰影局部，全部結(jié)果構(gòu)成的集合為邊長是24的正方形及其內(nèi)部所求概率為P(A)eq f(A的面積,的面積)eq f(2412f(1,2)2422f(1,2),242)eq f(506.5,576)eq f(1 013,1 152).13在長為1的線段上任取兩點(diǎn)，那么這兩點(diǎn)之間的距離小于eq f(1,2)的概率為_答案eq f(3,4)解析設(shè)任取兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為x，y，那么0 x1，且0y1，如下圖，那么總事件所占的面積為1.記這兩點(diǎn)之間的距離小于eq f(1,2)為事件A，那么Aeq blcrc(avs4a