高考數學疑點難點精講E

1、難點25圓錐曲線綜合題圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應用，與圓錐曲線有關的 定值問題、最值問題、參數問題、應用題和探索性問題，圓錐曲線 知識的縱向聯系，圓錐曲線知識和三角、復數等代數知識的橫向聯 系，解答這部分試題，需要較強的代數運算能力和圖形認識能力， 要能準確地進行數與形的語言轉換和運算，推理轉換，并在運算過 程中注意思維的嚴密性，以保證結果的完整.難點磁場()若橢圓4+=13/0)與直線/： x+y=l在第一象 限內有兩個不同的交點，求所滿足的條件，并畫出點P(a,b) 的存在區(qū)域.案例探究例1 已知圓攵過定點A(q,0)(q0),圓心k在拋物線C：y2=2ax 上運動，MN為圓攵在y

2、軸上截得的弦.(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？(2)當IOAI是IOM與IONI的等差中項時，拋物線C的準線與圓k 有怎樣的位置關系？命題意圖：本題考查圓錐曲線科內綜合的知識及學生綜合、靈 活處理問題的能力，屬 級題目.知識依托：弦長公式，韋達定理，等差中項，絕對值不等式， 一兀二次不等式等知識.錯解分析：在判斷d與R的關系時，沏的范圍是學生容易忽略 的.技巧與方法：對第問，需將目標轉化為判斷d=%o+3與 R=ylx2+a 的大小.解：設圓心女(Xo,yo),且y(=2ax0,圓上的半徑R=L4KI=向4)2 + ,0 = Qx。? + /MN=2 r2 -x02 = 2J. +

3、2 _而2 =2a(定值)弦MN的長不隨圓心k的運動而變化.設 M(O,yi)、N(0j2)在圓 k： (xx0)2+(yyo)2=o2+2 中，令 x=O,得 J2yoy+%22=022力乃二必a二1041是IOMI與IONI的等差中項.：.OM+ON=y+y2=2OA=2a.又 IMNI=lyi 為1=2。一 1力用g1二墳1 一乃1乃乃0,因此為2/WO,即2ax0/WO.Oo/.圓心k到拋物線準線距離d=x()+ Wa,而圓k半徑=/：+/ .a.且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準線相交.22例2如圖，已知橢圓二+工=l(2Wm5),過其左焦點且斜 m m-l率為1的直線與橢圓及其準

4、線的交點從左到右的順序為A、B、C、D,設角72)=11451-ICDII(1)求八M的解析式；(2)求角h)的最值.命題意圖：本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數關系 式，并求其最值，體現了圓錐曲線與代數間的科間綜合.屬級題目.知識依托：直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式， 利用單調性求函數的最值.錯解分析：在第（1）問中，要注意驗證當時，直線與 橢圓恒有交點.技巧與方法：第（1）問中，若注意到馬,孫為一對相反數，則可 迅速將IL43IICQII化簡.第問，利用函數的單調性求最值是常用方 法.解：（1）設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為。、b、c,則 a2=m,b2=m - l,

5、c=cTh2=l橢圓的焦點為尸1（-1,0）,尸2（1，。）.故直線的方程為廣x+1,又橢圓的準線方程為4土，即x=m. C.*.A（m,m+l）,D（m,m+1）fy = X + 1考慮方程組，工2 V2 ，消去y得：（m1）/+2（%+1）2=2（加一1）+ - = 1I ni m 整理得：（2m1 ）x2+2mx+2mm=0/ =4m-4（2加一l）（2m/）=8川（機一I）2.2Wm0 恒成立，xB+xc=.2m-1又TA、B、C、。都在直線y=x+l上AB=xBXA=y/2=（XB%A） y/2 ,CD= （XqX（j）AB CD=y2xB-x+xDXcl=V2 l（xB+Xc） （

6、Xa+切）1又 .,=.辦+切二 TOC o 1-5 h z ：.ABCD=xb+xc V2=l_| 拉=也（275） 1-2m2m故人根）二更況，2,5.2m（2）由人根）二孚，可知角力=當2/712m又 2 - 2 2 - 2m5次M 竽孚故人機）的最大值為半，此時機=2次的最小值為華，此時m=5.例3艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西 30且與8相距4千米，它們準備捕海洋動物，某時刻A發(fā)現動物 信號，4秒后從。同時發(fā)現這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈.設艦與動 物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是 秒咨千米/秒，其中g為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問 艦A發(fā)

7、射炮彈的方位角和仰角應是多少？命題意圖：考查圓錐曲線在實際問題中的應用，及將實際問題 轉化成數學問題的能力，屬級題目.知識依托：線段垂直平分線的性質，雙曲線的定義，兩點間的 距離公式，斜拋運動的曲線方程.錯解分析：答好本題，除要準確地把握好點P的位置（既在線 段5c的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上），還應對 方位角的概念掌握清楚.技巧與方法：通過建立恰當的直角坐標系，將實際問題轉化成 解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時 間差來建立方程.解：取A3所在直線為x軸，以43的中點為原點，建立如圖 所示的直角坐標系.由題意可知，4、B、。艦的坐標為(3, 0)、(

8、一3, 0)、(-5, 2V3).由于8、C同時發(fā)現動物信號，記動物所在位置為P,則IP8=IPCI. 于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為3)，+76=0.又由A、B兩艦發(fā)現動物信號的時間差為4秒，知IP8I I附1=4, 故知尸在雙曲線二-q=1的右支上.45直線與雙曲線的交點為(8, 56)，此即為動物P的位置，利用 兩點間距離公式，可得1必1=10.據已知兩點的斜率公式，得所以直線以的傾斜角為60 。，于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應是北偏東30 .設發(fā)射炮彈的仰角是，初速度v0=則&* =V 3g v0-cosffAsin2 8=萼=立,.仰角夕=30 . %2錦囊妙計解決圓錐曲線綜

9、合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定 義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯系及其規(guī) 律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.(1)對于求曲線方程中參數的取值范圍問題，需構造參數滿足的 不等式，通過求不等式(組)求得參數的取值范圍；或建立關于參數 的目標函數，轉化為函數的值域.(2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和 結論能明顯體現幾何特征及意義，可考慮利用數形結合法解；當題 目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函 數，再求這個函數的最值.殲滅難點訓練一、選擇題 TOC o 1-5 h z ()已知A、B、C三點在曲線產五上，

10、其橫坐標依次 為1, m,4(l0,則(-v)?+(4二V 的最小值為()A.4B.2C.8D,2V2二、填空題.(*)A是橢圓長軸的一個端點，。是橢圓的中心，若 橢圓上存在一點P，使則橢圓離心率的范圍是.()一輛卡車高3米，寬1.6米，欲通過拋物線形隧道, 拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若拱口寬為。米，則能使卡車通過 的a的最小整數值是.(*)已知拋物線產小一1上一定點5(1, 0)和兩個 動點尸、Q,當尸在拋物線上運動時，BP_LPQ,則Q點的橫坐標 的取值范圍是.三、解答題.(*)已知直線 廣攵九一1與雙曲線f二1的左支交 于4、B兩點,若另一條直線/經過點尸(-2, 0)及線段45的中點

11、 Q,求直線/在y軸上的截距b的取值范圍.()已知拋物線 C： y2=4x.(1)若橢圓左焦點及相應的準線與拋物線C的焦點F及準線I 分別重合，試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程；(2)若M(m,0)是x軸上的一定點，Q是所求軌跡上任一點， 試問IMQ有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由.(*)如圖，越昆為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OOL45, 0為線段0。LL 的中點，已知1451=4,曲線。過。點，動點尸在曲線C上運動且保 持IM+IPBI的值不變.(1)建立適當的平面直角坐標系，求曲線。的方程；(2)過D點的直線/與曲線C相交于不同的兩點M、N,且“在 D

12、、N之間，設也二求人的取值范圍. DN學法指導怎樣學好圓錐曲線圓錐曲線將幾何與代數進行了完美結合.借助純代數的解決手 段研究曲線的概念和性質及直線與圓錐曲線的位置關系，從數學家 笛卡爾開創(chuàng)了坐標系那天就已經開始.高考中它依然是重點，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有. 為此需要我們做到：.重點掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質.這些都是圓錐 曲線的基石，高考中的題目都涉及到這些內容.重視求曲線的方程或曲線的軌跡，此處作為高考解答題的命 題對象難度較大.所以要掌握住一般方法：定義法、直接法、待定系 數法、相關點法、參數法等.加強直線與圓錐曲線的位置關系問題的復習.此處一直為高 考的熱點.這類問

13、題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點、 線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數形結合思想 和設而不求法與弦長公式及韋達定理聯系去解決.這樣加強了對數 學各種能力的考查.重視對數學思想、方法進行歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、 簡化解題過程.(1)方程思想解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因 此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理， 就簡化解題運算量.(2)用好函數思想方法對于圓錐曲線上的一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯 系、相互制約的量，從而使一些線的長度及。力,c,e之間構成函數關 系，函數思想在處理這類問題時就很有效.(3)掌握坐標法坐

14、標法是解決有關圓錐曲線問題的基本方法.近幾年都考查了 坐標法，因此要加強坐標法的訓練.參考答案難點磁場y = l解：由方程組，/ y2消去招整理得(L+mf Z/x+ai 一b2)=0則橢圓與直線/在第一象限內有兩個不同的交點的充要條件是 方程在區(qū)間(0, 1)內有兩相異實根，令“rAlL+Z/bf24入+/(1 一房),則有 =4- - 42儲 +2)(1 一 2)0/(0) = a2(l-b2)0#1,f() = b2 -a2 +a2(-b2)020 10b0a2+b2a b0同時滿足上述四個條件的點尸3力)的存在區(qū)域為下圖所示的陰 影部分:殲滅難點訓練一、1.解析：由題意知 A(l, 1

15、), B(m,V),C(4,2).直線4C所在方程為X3y+2=0,點B到該直線的距離為d=四半衛(wèi).VioSMBC =-AB-d=-xy/Wx1，n3E + 2-m-3y + 2=-(y -)2MBC 22Vio 2224加(1,4),當面=|時，Sy.有最大值,此時加二?答案：B2.解析：考慮式子的幾何意義，轉化為求圓，+9=2上的點與 雙曲線外=9上的點的距離的最小值.答案：C22二、3.解析：設橢圓方程為彳+2=1(力0),以0A為直徑的 a b圓：f。%+/=0,兩式聯立消 yx ax+b2=0.BP e2x2-ax+b2=O,a該方程有一解如一解為。，由韋達定理%2=4-a,0 x2

16、a,即0 4 ee e.2答案:JLeo故有再+X2=0- -k2解得一五k2 + g或b ,2=x l(x 1).(2)設。(羽y),則MQ=-m)2 + y2 = yl(x-m)2 +x-lx -(m- )2 +m -(x 1)(i)當小一即機|時，函數仁x(加g)2+m ：在(1 , +8)上遞增，故才無最小值，亦即IMQI無最小值.(ii)當機一；1,即機1時，函數上f (加一：)2+/或一(在一；處有最小值機一3,. IMQImin=.8.解：(1)以A3、OD所在直線分別為X軸、y軸，O為原點、, 建立平面直角坐標系，V PA+PB=QA+QB=242=245AB=4.二曲線。為以

17、原點為中心，A、8為焦點的橢圓.設其長半軸為。，短半軸為。，半焦距為c,則2。=2石，a=y/5 ,c=2,b=l.曲線。的方程為1+=1.(2)設直線/的方程為y=kx+2,代入+/= 1,得(1 +5爐 *+20 履 +15=0./=(2(R)2-4X 15(1+5的0,得爐3 .由圖可知也=工=A5DN x2由韋達定理得20kXi 由韋達定理得20kXi + X7 =T1 + 5小15X 工2 =5-1 + 522將尤尸代入得(1 +(1 +九)勺400小(1 + 51)2151 + 51兩式相除得? = 1兩式相除得? = 1801 W，,5 +型，即4 1X AM=FN,求證：MN平

18、面命題意圖：本題主要考查線面平行的判定，面面平行的判定與 性質，以及一些平面幾何的知識，屬*級題目.知識依托：解決本題的關鍵在于找出面內的一條直線和該平面 外的一條直線平行，即線（內）線（外）n線（外）面.或轉化為證兩個平面 平行.錯解分析：證法二中要證線面平行，通過轉化證兩個平面平行, 正確的找出MN所在平面是一個關鍵.技巧與方法：證法一利用線面平行的判定來證明.證法二采用轉 化思想，通過證面面平行來證線面平行.證法一：作NQ1BE, P、Q 為垂足，貝ljNQ/AB.：.MP/NQ,又 AM=NF, AC=BF,:MC=NB, /MCP=/NBQ=45：.RtAMCP m RtANBQ故四

19、邊形MPQN為平行四邊形：.MN/PQPQu平面5CE, MN在平面5CE外，.A/N平面 BCE.證法二：如圖過M作MH_LA8于“，則 AM AH =AC AB連結NH,由8AAe FN=AM,得到=絲BF AB：.NIJ /i AE / BE, MH / IH -由；斯平面MNH獷平而iX：E，.MN平面BCE.例2在斜三棱柱A.B.C-ABC中，底面是廠初方等腰三角形，45=AC,側面3與GCJ_底面45c./(1)若。是BC的中點，求證：AZ)_LCG； c、VK、(2)過側面BB.CC的對角線BCX的平面交側棱于M,若4M=MAi，求證：截面?zhèn)让?SGC；O)AM=MAl是截面“3

20、。1_1_平面BBCiC的充要條件嗎？請你 敘述判斷理由.命題意圖：本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質， 屬級題目.知識依托：線面垂直、面面垂直的判定與性質.錯解分析：(3)的結論在證必要性時，輔助線要重新作出.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于對題目中條件 的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙 作輔助線.(1)證明：AB=AC,。是 3c 的中點，：.AD1BC底面 A3C_L平面 BBCC,.A。J_側面 BBCCAADlCCi.(2)證明：延長5A與5M交于M 連結GN，：AM=MAl, ：.NAi=ABYA 向=4G，：.AC=AN=AB：.CN.

21、LClB底面 NBC|_L側面 BB|CiC,，GN_L側面 BBC.截面 GNBJj則面 BBiGC二.截面M5G_L側面GC.(3)解：結論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.過用作MELBCX于E,截面M3G JJ則面BBC則面 BBCC,又/AZ)，側面 BBCC.：.ME/AD, ：.M. E、D、A 共面?zhèn)让?551GC，-AM/DEV CCXLAM, ：.DE/CCX是的中點，是5G的中點：.AM=DE=cc=AA, ：.AM=MA.錦囊妙計垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉化關 系：1 .平行轉化線線平行一線面平行 a 麗平行 r 2.垂直轉化線線垂直二

22、三線面垂直臺面面垂直每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉向另一 垂直或平行最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內 作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.殲滅難點訓練一、選擇題）在長方體ABCDABiCD中，底面是邊長為2 的正方形，高為4,則點4到截面的距離是（）A fB.。C4D.33834.（*）在直二面角a一I中，直線au a，直線bu 8,a、 b與/斜交，貝l（）A.a不和力垂直，但可能abB.”可能和b垂直，也可能a bC.a不和b垂直，a也不和b平行 D.a不和b平行，但 可能ab二、填空題.（*）設X、八Z是空間不同

23、的直線或平面，對下面 四種情形，使“乂,工且y_LZ=X為真命題的是（填序號）.x、y. z是直線 x、丫是直線，z是平面 z是直線， x、丫是平面x、八z是平面.（）設a,b是異面直線，下列命題正確的是.過不在a、b上的一點P 一定可以作一條直線和a、b都相交過不在。、人上的一點尸一定可以作一個平面和a、b都垂直過a一定可以作一個平面與b垂直過a一定可以作一個平面與b平行三、解答題5.(*m如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形, 側棱以垂直于底面，E、尸分別是45、尸C的中點.求證：CDPD;(2)求證：石尸平面 山。；(3)當平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線E5_L平面

24、PCD?B6.(*幻如圖，在正三棱錐A8C。中，N54C=30 ,AB=a, 平行于AO、8C的截面E/GH分別交AB、BD、DC、C4于點E、F、G、H.(1)判定四邊形ErGH的形狀，并說明理由.(2)設P是棱AD上的點，當AP為何值時，平面PBC_L平面EFGH,請給出證明.7.()如圖，正三棱柱A5CA由iG的各棱長都相等,O、 E分別是CG和AS的中點，點尸在5C上且滿足： 3.若M為A5中點，求證：551平面/加；(2)求證：EF1BC；(3)求二面角ABiDCi的大小.汝口圖，已知平行六面體ABC。一A向CQ的底面是菱形且NGC3二ZCCD=ZBCD=60 ,證明：CiClBD；

25、假定CD=2, CC,=|,記面CXBD為面CBD為，求二面 角。一3。一的平面角的余弦值；當段的值為多少時，可使4。_1面。歸。? c L I參考答案難點磁場1.(1)證明：A=6iCi，5是的中點，S)iL4同于 Di，又.平面Ap453|_L平面A向C, .。1。平面4百氏4,而45|u平面44B&,(2)證明：連結 DQ, ,。是 A5 中點,:.DDCC, :.CD /CD,由(1)得 COJLAS，又CNi_L平面A1A381，CXBLAB,由 三垂線定理得BDLABX,又.AO)i3, .A3_LAQ 而二.在以，平面 AXCD.(3)解：由(2)4&J_平面ACO于0,連結。0

26、|得/AC0為直線 AC 與平面 AC。所成的角，：ABi=3, AC=AlCl=2, .A0=l, sinOCAi，AC 2 NOCAT.6殲滅難點訓練一、1.解析：如圖，設 AiGGBQ尸Oi，B。 J_A4，與。平面AAQi，故平面4AQ|_LA5Qi，交線為A。1,在面44。1內過4作4HJ_A0于H,則易知AH長即是點4到平面ABiD的距離，在RtAAiA中，A。產及，40尸3人,由A0 AA=h AO,可得 AH=.答案：C2.解析：如圖，在/上任取一點P,過P分別在。、月內作。 /a,b 在加上任取一點A,過A作AC_L/,垂足為C,則 AC_L ，過。作C8JL/交b于B,連4

27、8,由三垂線定理知A5 l.b,AAPB為直角三角形，故/APB為銳角.答案：C二、3.解析：是假命題，直線X、K Z位于正方體的三條共 點棱時為反例，是真命題，是假命題，平面X、八Z位于正 方體的三個共點側面時為反例.答案：4.三、5.證明：（I”;外，底面43C。，AZ）是尸。在平面A5CZ） 內的射影，YCDu平面 45CZ)且 CZ)J_4O, ：.CDA_PD.(2)取 CO 中點 G,連 EG、FG,:E、尸分別是 43、PC 的中點，：.EG/AD, FG/PD二平面平面 山。，故石尸平面以O(3)解：當平面尸CO與平面43co成45角時，直線石方上面 PCD證明：G為C。中點，

28、貝ijG_LCQ,由(1)知尸G_LCO,故/EG/ 為平面PCD與平面45C。所成二面角的平面角.即/EGb=45 ,從 而得 NA。尸=45 , AD=AP由 RtAMRtACB,f# PE=CE又尸是PC的中點，：.EFPC,由CD1EG, CDFG,得 。_1_平面片/6, CZ)_LEF即EbJ_C。，故平面尸CD.證明：AD面 EFGH)面 ACDC1 面 EFGH-HG 1=ADZ7 H(；A DU 而 A CD同理石尸尸G,.GH是平行四邊形：ABCD是正三棱錐，在底面上的射影0是ABCD的中 心，：.D01BC, J.ADLBC,J.HGLEH,四邊形EFG”是矩形.(2)作

29、 CP_L4。于尸點，連結 5P, ：AD1BC, /.AD BCPG 4。，G J_ 面 5CP, Gu 面 EFGH.面 BCP _L 面 EFGH, 在 RtaAPC 中，ZCAP=30 , AC=a,：.AP=-a.(1)證明：連結EM、MF, E分別是正三棱柱的棱AB 和AB,的中點，：.BBX/ME,又 551tz平面 7的，.3&平面(2)證明：取3C的中點M 連結4N由正三棱柱得：ANLBC, 又 BF ： FC=1 ： 3,是 5N 的中點，WMFAN, J.MFLBC,而 5C_L55” BBJ/ME.：.MELBC,由于，BC_L平面 E尸M,又EF 平面石尸M, ：.B

30、CLEF.(3)解：取SG的中點O,連結A|O知，401_面3。向，由 點O作BD的垂線OQ,垂足為Q,連結4Q,由三垂線定理，4。 B1D,故N4QO為二面角ABXDC的平面角，易得N AI QO=arctan 岳.(1)證明：連結4G、AC, AC和30交于點O,連結GO,四邊形43co 是菱形，BC=CD又,： /BCCk/DCCi，GC 是公共邊，.C1BCACC, ：.CB=CD:DO=OB, ：.COLBD, flAClBD, ACHCO=O.5O_L平面 AG，又 GCu平面 AC” .CC1BD.(2)解：由(1)知 ACJ_3Z), COLBD,.NGOC 是二面角。3。一的

31、平面角.在GBC 中，BC=2, GC=3 N8CG=60 , AC+Cj)2 -2X2X2Xcos60 二史.24VZOCB=30 ,.OB=l,BC=l,CiO=,gp CXO=CXC.作C1HOC,垂足為H,則H是OC中點且0”=日， COSCQC=叵(3)解：由(1)知 3O_L平面 AG，AQu平面4G，當*=1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同理可證8G_LAC，又*；BDCBCi=B,，AC_L平面 G8D難點27求空間的角空間的角是空間圖形的一個要素，在異面直線所成的角、線面 角、二面角等知識點上，較好地考查了學生的邏輯推理能力以及化 歸的數學思想.難點磁場()如圖，H為6

32、0。的二面角，等腰直角三角 形MPN的直角頂點尸在/上，Me a,NW尸,且MP與所成的角 等于NP與。所成的角.(1)求證：MN分別與所成角相等；(2)求；與所成角.案例探究例1在棱長為a的正方體A5CDA B C D中，E、 廠分別是3C、A D的中點.(1)求證：四邊形尸是菱形；(2)求直線A。與OE所成的角；(3)求直線AO與平面夕EO尸所成的角；(4)求面夕EO尸與面A8CD所成的角.命題意圖：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角 的一般求法，綜合性較強，屬級題目.知識依托：平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作 二面角的平面角.錯解分析：對于第(1)問，若僅由E=ED

33、=DF=FB就斷定8 ED尸是菱形是錯誤的，因為存在著四邊相等的空間四邊形，必須 證明夕、E、D、歹四點共面.技巧與方法：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所 成的角采用平移法.求二面角的大小也可應用面積射影法.證明：如上圖所示，由勾股定理，得夕E=ED=DF=FB=存, 下證、E、D、尸四點共面，取AO中點G,連結A G、EG, 由B知，B EGA是平行四邊形.：.B E/A G,又4 F &DG,：A GOE 為平行四邊形.A G/FD,二次、E、D、歹四點共面故四邊形夕EDF是麥形.(2)解：如圖所示，在平面45C。內，過C作。尸OE,交直 線AZ)于P,則NA CP(或補角)為異

34、面直線A。與DE所成的角.在CP 中，易得A，C=4ia, CP=DE=-aA P=a 22由余弦定理得cosA。尸嚕故A。與OE所成角為arccos嚕.(3)解：乙4。氏：乙4。尸,4。在平面夕尸內的射影在NED尸的平分線上.如下圖所示.又二次EDF為菱形,DB為N。廠的平分線，故直線與平面夕石。尸所成的角為夕在 RtZW AZ)中，AD=/2a, AB =G.a,B D=4ia則cosAO夕二23故A。與平面夕EZm所成的角是arccos4.(4)解：如圖，連結石尸、B D,交于。點,顯然。為夕。的 中點，從而0為正方形45C。一A B C。的中心.作OH_L平面A8CO,則為正方形ABC

35、。的中心， 再作垂足為M,連結OM,則OM_LOE,故NOMH為二面角夕 DE f 的平面角.在 Rt2Z)O石中，OE=a,OD=-a,i!l DE=-a, 222則由面積關系得0g嗡 =嚕。在中，sinOMH= =我OM 6故面夕。廠與面45C。所成的角為arcsin叵. 6例2如下圖，已知平行六面體48C。-Ai&GOi中，底面 ABCD是邊長為a的正方形，側棱AAi長為仇且AA與AB. AD的 夾角都是120 .求：(IMG的長；(2)直線BDi與AC所成的角的余弦值.命題意圖：本題主要考查利用向量法來解決立體幾何問題，屬 級題目.知識依托：向量的加、減及向量的數量積.錯解分析：注意畫

36、，獲 =120而不是60 ,=90 .技巧與方法：數量積公式及向量、模公式的巧用、變形用.W：(1)1 AC, l2= AC, AC =(AA+AC)(AA1+AC) =(AAi+AB + AD)(AAi+AB + AD)=AAt2 + AB I2 + AD 2 +2AAl AB + 2AAi AD + 2AB AD由已知得:l麗|2 = /,|詬|2=|而|2=。2=20,= 90AA , AB - h a cos 120 = -ab,AA1 - AD - b a cos 120 = -ab,AB - AD = 0,.-.I 記=2/ + . -2ab,：. AG 1= l2a2 +b2 -

37、2ab.(2)依題意得,I AC 1= 42a, AC =布+而BD = AD + BA = AA| + AD AB記函=(施+而)(布+而-麗=AB - A4 + AD - A4 + AB AO + AD2 - AB2 -AB-AD- -ahI西/=麗.西=(麗+而礪)(麗+詬Q)=1 福 F +|a。I2 +IA5 I2 +2 麗麗-2鼐麗-2麗而= 2/+/.-.I 西 1= yj2a2+b2cos=cos=BO| AC-b與4C所成角的余弦值為/ b .J4a 2+ 2/錦囊妙計空間角的計算步驟：一作、二證、三算.異面直線所成的角范圍：0 PN不合理，舍去.5也，二,一知與所成角為30

38、。.殲滅難點訓練一、1.解析：（特殊位置法）將尸點取為4，作OEL4。于E, 連結A4,則AE為04的射影，又：.AMOA,即 AM與O尸成90角.答案：D2.解析：作40_LC3的延長線，連0。，則0。即為AZ）在平面 5co上的射影，-AO=OD=-a,. ZADO=45 .2答案：B二、3.解析：在OC上取一點C,使。C=l,過C分別作C4_L 0C 交。4 于 A, CB_LOC 交 OB 于 B,則 AC=1, OA=收，BC=6,05=2, RtZS403 中，AB2=6, ABC 中，由余弦定理，得 cosAC3= _V3答案：4.解析：設一個側面面積為S1，底面面積為S,則這個

39、側面在 底面上射影的面積為？，由題設得U，設側面與底面所成二面角 JJ J15為。，貝Ijcos e=J = L,：.夕=60 .S, 35 2答案：60三、5.(1)解：因為以_1 平面 AC, AB BC, ：. PB BC, BP ZPBC=90，由勾股定理得PB=4pa2+aba.PC= y/PB2+PC2 = V6 .(2)解：如圖，過點。作CE3。交AO的延長線于E,連結PE,則尸。與8。所成的角為NPC石或它的補角.CE=BD V2,且 PE= Ipa2 + ae2 = V10由余弦定理得cgsPCE=pcCE二PE；旦 2PCCE 6PC與5。所成角的余弦值為與.6(3)證明：

40、設尸8、PC中點分別為G、F,連結/G、AG、DF,貝U G尸8CAO, Iae2 + ef2 V2T 廣tan ADF = = ZADF = arctan DF DF 33即AD與BC所成的角為arctan容(3)解：VAElffi BCD,過后作EG_L8。于G,連結AG,由 三垂線定理知AG_LBO,AAGE為二面角ABDC的平面角V ZEBG=30 , BE=m,：.EG=m 24又 AE二旦 m, .，.tanAGE=2, ZAGE=arctan2. 2GE即二面角ABDC的大小為arctan2.(1)證明：連結 O”，*：C H_L平面 AB。，：,ZC DH 為 CO與平面45。

41、所成的角且平面C A_L平面45。，過。作。石 LAB,垂足為E,貝1。石_1_平面C HA.故NQC E為C。與平面C 4所成的角VsinDC7 E=W 四二sinDC H CD CD：.ADC EW/DC H,：.ADC E+ZC DEW/DC H+ZC DE=90(2)解：作HGJ_AO,垂足為G,連結C G,則C GLAD,故NC GH是二面角C 一4。一”的平面角 即 NU GH=60 ,計算得 tan54)=變.難點28求空間距離空間中距離的求法是歷年高考考查的重點，其中以點與點、點 到線、點到面的距離為基礎，求其他幾種距離一般化歸為這三種距 離.難點磁場()如圖，已知45。是矩形

42、，45=。,4。二4以，平面 ABCD, PA=2c,Q 是 PA 的中點.求：。到BO的距離；Q）P到平面BQD的距離.案例探究例1把正方形45co沿對角線4c折起成直二面角，點以 方分別是A。、5c的中點，點O是原正方形的中心，求：（1）石尸的長；（2）折起后/石。尸的大小.軸、z軸兩兩互相垂直.技巧與方法：建系方式有多種，其中以0點為原點，以無、無、 歷的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向最為簡單.解：如圖，以。點為原點建立空間直角坐標系0一%”,設正方 形ABCD邊長為q,則A（0, 一日氏0）（亞氏0,0）,。（0,辛氏0）,。（0,0, 當 a）,E（O,一今a, a）,F（當 a

43、,梟0） TOC o 1-5 h z - a /V22 z V2V22 V22 3百(1) IEF r = ( a 0) + ( a H a) + (0 a) =EF = a444442*V2 2 ,y/2(2)OE = (0-a,a),OF = (a,ti,0)4444OE OF = 0 x a + ( ci)(- 6/)4- tz , 0 =44448OE h 而 1=cos=匹 百一= 22OEOF 2 ZEOF=120例2正方體A5CQ4叢。1。1的棱長為1,求異面直線AC1 與AS間的距離.命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬* 級題目.知識依托：求異面直線的距離，可求兩異

44、面直線的公垂線，或 轉化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得.錯解分析：本題容易錯誤認為08是AC與AB1的距離，這主 要是對異面直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂 直相交的直線上垂足間的距離.技巧與方法：求異面直線的距離，有時較難作出它們的公垂線, 故通常采用化歸思想，轉化為求線面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如圖，連結AG，在正方體AG中，AiGAC, AiG平面ABC，.AiG與平面A&C間的距離等于異面直線AiG 與間的距離.連結 BQi、BD,設 BRn41G=0,8OCAC=OVAC1BD, ACVDD, C_L平面即。平面ABC_L平面BBQQ,連結Bx

45、0,則平面ASCG平面BB D D=B i O作。iG_L8Q 于 G,則 0G_L平面 ABCOiG為直線4G與平面ABC間的距離，即為異面直線AC1 與AS間的距離.在 RCOO同中，.,。向邛，。尸1,；OBi=So：+OiB：= .,.OiG二筆普咚 即異面直線41G與A5間距離為當.解法二：如圖，在AC上任取一點M,作MNL4與于M 作 MRL415于 R,連結 RN,平面4向。1。1，平面A1AB81，.MR_L平面A1A8B1，MR1ABX：ABRN,設 4R=x，則/?8尸1一工VZC1Aii=ZAB01=45 ,MR=x,RN=NB 尸立(1 - x);MN = Hmr2 +

46、RN。= Jx2 + g(l _x)2 = Jg(x g)2 + ； (0Xy(a2 +b2)c2 +a2b2殲滅難點訓練一、1.解析：過點M作JLE則MM，平面BCTZMBE=ZMBC:BM為NE3C為角平分線，A ZEBM =45 ,BM =&，從而 MN二字答案：A2.解析：交線/過5與AC平行，作CZ)_L/于。，連CQ,則 CjD為AiG與I的距離，而CD等于AC上的高，即絲,RtzGCO 中易求得。1。=葭=2.6答案：C二、3.解析：以A、B、。、。為頂點的四邊形為空間四邊形， 且為正四面體，取P、Q分別為A3、CO的中點，因為AQ=5Q二a, .尸。1_4民同理可得尸。_1。，

47、故線段PQ的 長為P、Q兩點間的最短距離，在Rt APQ中， 耍衍前=停飛7亭答案：a4.解析：顯然NE4O是二面角EABC的平面角，ZMD=30 ，過/作/G_L平面ABC。于G,則G必在4。上，由石尸平面 ABCD.二. FG為EF與平面ABCD的距離，即FG=.2答案：彳 2三、5.證明:由于8cl 皿,則5cl 平面4C5同理，48平面ACOi，則平面Ai5G平面ACQ(2)解：設兩平行平面ABC與AC。間的距離為d,則d等于 Dr到平面ABCX的距離.易求4G=5, Ad=2有，Bg=A ,則 cosAIG=嚏，則sinA/G=粵，則S一二百,由于“加=%常自，則 765765|SM

48、1BC, d=ADC-55,代入求得仁萼，即兩平行平面間的距 離為12a/T61(3)解:由于線段SA被平面43G所平分，則一、5到平面AlBCl的距離相等，則由(2)知點Bi到平面AG的距離等于坦畫.61.解：(1)連結。5交AC于0,連結E0,底面A3co是正方形：.DOAC,又七。_1_面45。J.E0LAC,即NEOO=45又 DO二旦a, AC=/2a, EO D0 -a :. S4eac=&a 2cos4502(2)：44_底面43。，：.AAAC,又AA_LA5AA0是異面直線A11與AC間的公垂線又 EO/BDlf。為 50 中點，:DB=2EO=2a*.DD- V2ci, :

49、.與 4C 距離為近(3)連結與。交于P,交E0于Q,推證出5Q_L面E4cSQ是三棱錐與一E4C的高，得eQ二|qb-咨d=&beac 3 224.解：(DgJLAR CCiAiF, BB/CCX.33i，平面4片產即面/_1_面531cle在 RtAA,Bi 中，V ZAjBiE=45 , ABl=a：.AlE=a,A1F=a,EF=a, ：,AiE吟a同理Ai/二#a,又E/二。二.E4/為等腰直角三角形，NE4|A90過4作AiNJLER 則N為石尸中點，且A|N_L平面5CGS即AN為點兒到平面BCCIi的距離1心 2 2又AAi面BCCXB, A到平面BCCiBi的距離為葭，a=2

50、,，所求距離為2(2)設3C、51G的中點分別為。、D,連結A。、和AQi，則。1必過點N,易證為平行四邊形.&CJOiGL4|N.5。1_1平面4。415C_L平面4。自1得平面A5CJ_平面4。自1，過 4 作AM_L平面43C,交,AD 于M,若4|M=AiM 又/Ap4M=NAZ)iN, /4AM產NAWA =90/. 4肪4八4百。|,.44=4。|=回即當44尸當時滿足條件.8.解：(l)：3CAO,3Cu面 PBC,：.AD/ PBC從而AD與PC間的距離就是直線4。與平面尸3。間的距離.過 A 作 AE_LP3,又 AE_L3CAEJ_平面尸5C, AE為所求.在等腰直角三角形

51、布5中，PA=AB=a：.AE=a2(2)作 CM/AB,由已知 cosAC=|V5.,.taiL4)C=i,BP CM=DM二.4BCM 為正方形，AC=4ia,PC=6a過A作AH_LPC,在Rt以。中，得A二逅下面在上找一點凡 使PC_LC/取中點憶 ACM、/CM均為等腰直角三角形A ZACM+ZFCM=450 +45 =90.bC_L4C,即FC1PC：,AD上存在滿足條件的點F.學法指導立體幾何中的策略思想及方法立體幾何中的策略思想及方法近年來，高考對立體幾何的考查仍然注重于空間觀點的建立和 空間想象能力的培養(yǎng).題目起點低，步步升高，給不同層次的學生有 發(fā)揮能力的余地.大題綜合性強

52、，有幾何組合體中深層次考查空間的 線面關系.因此，高考復習應在抓好基本概念、定理、表述語言的基 礎上，以總結空間線面關系在幾何體中的確定方法入手，突出數學 思想方法在解題中的指導作用，并積極探尋解答各類立體幾何問題 的有效的策略思想及方法.一、領悟解題的基本策略思想高考改革穩(wěn)中有變.運用基本數學思想如轉化，類比，函數觀點 仍是考查中心，選擇好典型例題，在基本數學思想指導下，歸納一 套合乎一般思維規(guī)律的解題模式是受學生歡迎的，學生通過熟練運 用，逐步內化為自己的經驗，解決一般基本數學問題就會自然流暢.二、探尋立體幾何圖形中的基面立體幾何圖形必須借助面的襯托，點、線、面的位置關系才能 顯露地“立”

53、起來.在具體的問題中，證明和計算經常依附于某種特 殊的輔助平面即基面.這個輔助平面的獲取正是解題的關鍵所在，通 過對這個平面的截得，延展或構造，綱舉目張，問題就迎刃而解了.三、重視模型在解題中的應用學生學習立體幾何是從認識具體幾何模型到抽象出空間點、 線、面的關系，從而培養(yǎng)空間想象能力.而數學問題中許多圖形和數 量關系都與我們熟悉模型存在著某種聯系.它引導我們以模型為依 據，找出起關鍵作用的一些關系或數量，對比數學問題中題設條件, 突出特性，設法對原圖形補形，拼湊、構造、嵌入、轉化為熟知的、 形象的、直觀的模型，利用其特征規(guī)律獲取優(yōu)解.難點29排歹1）、組合的應用問題排列、組合是每年高考必定考

54、查的內容之一，縱觀全國高考數 學題，每年都有12道排列組合題，考查排列組合的基礎知識、 思維能力.難點磁場（）有五張卡片，它們的正、反面分別寫。與1, 2與 3, 4與5, 6與7, 8與9,將其中任意三張并排放在一起組成三位 數，共可組成多少個不同的三位數？案例探究例1 在ZAOB的0A邊上取m個點，在OB邊上取n個點（均 除。點外），連同。點共計+1個點，現任取其中三個點為頂點作 三角形，可作的三角形有（）命題意圖：考查組合的概念及加法原理，屬級題目.知識依托：法一分成三類方法；法二，間接法，去掉三點共線 的組合.錯解分析：a中含有構不成三角形的組合，如：中，包 括0、Bi、鳥;C3a中，

55、包含0、Ap、M 其中4，、Aq,Bi、鳥分別 表示。4、0B邊上不同于0的點；B漏掉AQB； D有重復的三 角形.如C C3中有AQ6c3c中也有AQB八技巧與方法：分類討論思想及間接法.解法一：第一類辦法：從04邊上（不包括0）中任取一點與從 邊上（不包括。）中任取兩點，可構造一個三角形，有CLQ個； 第二類辦法：從0A邊上（不包括0）中任取兩點與0B邊上（不包括 0）中任取一點，與。點可構造一個三角形，有C：,C：個；第三類辦 法：從04邊上（不包括0）任取一點與0B邊上（不包括O）中任取一 點，與0點可構造一個三角形，有C：,C：個.由加法原理共有 2V=C；C；+C；C, +C 個三

56、角形.解法二：從加+九+1中任取三點共有個，其中三點均在射 線04（包括0點），有C3個，三點均在射線。5（包括0點），有C3 個.所以，個數為C3C3個.答案：c例2四名優(yōu)等生保送到三所學校去，每所學校至少得一名, 則不同的保送方案的總數是.命題意圖：本題主要考查排列、組合、乘法原理概念，以及靈 活應用上述概念處理數學問題的能力，屬*級題目.知識依托：排列、組合、乘法原理的概念.錯解分析：根據題目要求每所學校至少接納一位優(yōu)等生，常采 用先安排每學校一人，而后將剩的一人送到一所學校，故有3A：種. 忽略此種辦法是：將同在一所學校的兩名學生按進入學校的前后順 序，分為兩種方案，而實際題目中對進入

57、同一所學校的兩名學生是 無順序要求的.技巧與方法：解法一，采用處理分堆問題的方法.解法二，分兩 次安排優(yōu)等生，但是進入同一所學校的兩名優(yōu)等生是不考慮順序的.解法一：分兩步：先將四名優(yōu)等生分成2, 1, 1三組，共有 C；種；而后，對三組學生安排三所學校，即進行全排列，有A?3種. 依乘法原理，共有N=C： a； =36（種）.解法二：分兩步：從每個學校至少有一名學生，每人進一所學 校，共有A；種；而后，再將剩余的一名學生送到三所學校中的一 所學校，有3種.值得注意的是：同在一所學校的兩名學生是不考慮 進入的前后順序的.因此，共有-3=36（種）.答案：36錦囊妙記排列與組合的應用題，是高考常見

58、題型，其中主要考查有附加 條件的應用問題.解決這類問題通常有三種途徑：（1）以元素為主， 應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.（2）以位置為主考慮， 即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.（3）先不考慮附加條件, 計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列數或組合數.前兩種 方式叫直接解法，后一種方式叫間接解法.在求解排列與組合應用問題時，應注意：(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；(2)通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理；(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；(4)列出式子計算和作答.解排列與組合應用題常用的方法有：直接計算法與間接計算 法；分類法與分步法；元

59、素分析法和位置分析法；插空法和捆綁法 等八種.經常運用的數學思想是：分類討論思想；轉化思想；對稱思想.殲滅難點訓練一、填空題.()從集合0, 1, 2, 3, 5, 7, 11中任取3個元素分 別作為直線方程Ar+5y+C=0中的A、B、C,所得的經過坐標原點 的直線有 條(用數值表示).(*)圓周上有2n個等分點以其中三個點為 頂點的直角三角形的個數為.二、解答題.(*)某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色 的2, 3張為不同花色的4,有5次出牌機會，每次只能出一種點數 的牌但張數不限，此人有多少種不同的出牌方法？.()二次函數產af+bx+c的系數。、b、c,在集合 3, -2, -1

60、, 0, 1, 2, 3, 4中選取3個不同的值，則可確定坐 標原點在拋物線內部的拋物線多少條？5.(*)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求 不同的排列方法總數.(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置.(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊.(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起.(4)全體排成一行，男、女各不相鄰.(5)全體排成一行，男生不能排在一起.(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變.(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人.(*)20個不加區(qū)別的小球放入編號為1、2、3的三 個盒子中，要求每