18 數(shù)理方法教學大綱

1、 6/618數(shù)理方法教學大綱 本科數(shù)學物理方法課程教學大綱 課程中英文名稱： Methods of Mathematics and Physics 課程編碼：101072 課程性質(zhì)：學科基礎必修課 適用專業(yè)：應用物理專業(yè) 學時數(shù)： 64 ；其中：理論學時： 64 ；實踐學時： 0 ；學分數(shù)： 4 ； 編寫人：；審定人：； 一、課程簡介 （一）課程教學目的與任務 1本課程要求學生對規(guī)定的內(nèi)容有一個總體了解。掌握其中的基本概念，熟悉一些重要的理論及公式，并使所學到的知識在頭腦中形成合理的結構。 2本課程要求學生能運用學到的基本數(shù)學方法解決一類常見的物理問題，能較順利地學習本專業(yè)后繼的物理課程。 3

2、本課程要求學生能熟悉在數(shù)學物理方法的創(chuàng)立過程中用過的創(chuàng)新思維方法，如類比、推廣、猜想及模型化等，為寫出有特色的學年論文和/或畢業(yè)論文創(chuàng)造條件。 （二）課程教學的總體要求 本課程的內(nèi)容為數(shù)學課程，注重邏輯推理和具有一定的系統(tǒng)性和嚴謹性。但是，它與其它的數(shù)學課有所不同。本課程內(nèi)容有很深廣的物理背景，實用性很強。因此，在這門課的教學過程中，不能單純地追求理論上的完美、嚴謹，而忽視其應用。學生在學習時，不必過分地追求一些定理的嚴格證明、復雜公式的精確推導，更不能死記硬背，而應重視其應用技巧和處理方法 （三）課程教學內(nèi)容 本課程的主要內(nèi)容包括復變函數(shù)、傅立葉級數(shù)、數(shù)學物理方程、特殊函數(shù)等。理論力學中常用

3、的變分法，量子力學中用到的群論以及現(xiàn)代物理中用到的非線性微分方程理論等，雖然也屬于數(shù)學物理方法的內(nèi)容，但在本大綱中不作要求?？梢栽诤罄m(xù)的選修課中加以介紹。 （四）先修課程及后續(xù)課程 數(shù)學物理方法是物理教育專業(yè)本科的一門重要的基礎課，它是前導課程高等數(shù)學的延伸，為后繼開設的電動力學、量子力學和電子技術等課程提供必需的數(shù)學理論知識和計算工具。本課程在本科物理教育專業(yè)中占有重要的地位，本專業(yè)學生必須 掌握它們的基本內(nèi)容，否則對后繼課的學習將會帶來很大困難。在物理教育專業(yè)的所有課程中，本課程是相對難學的一門課，學生應以認真的態(tài)度來學好本課程。 二、課程教學總體安排 （一）學時分配建議表 （二）推薦教材

4、及參考書目 1教材 梁昆淼編，數(shù)學物理方法，北京：人民教育出版社，1995年第三版。 2參考書目 四川大學編，高等數(shù)學第四冊，北京：高等教育出版社，1996年第三版； 劉連壽、王正清編，數(shù)學物理方法，北京：高等教育出版社，1991年； 嚴鎮(zhèn)軍編，數(shù)學物理方法，合肥：中國科學技術大學出版社，1999年。 （三）課程考核方式 1考核方式 閉卷考試 2成績構成 平時成績占百分之三十，期末考試占百分之七十。 三、課程教學內(nèi)容及基本要求 第一章復變函數(shù)（6） 基本要求： 1熟悉復數(shù)的基本概念和基本運算； 2了解復變函數(shù)的定義，連續(xù)性； 3了解多值函數(shù)的概念； 4掌握復變函數(shù)的求導方法及柯西黎曼方程； 5

5、了解解析函數(shù)的概念，熟悉一些簡單的解析函數(shù)的表示式。 6了解從實變函數(shù)到復變函數(shù)的推廣過程中的創(chuàng)新思想與方法。 教學內(nèi)容： 1.1復數(shù)與復數(shù)運算。復平面，復數(shù)的表示式，共軛復數(shù)，無窮遠點，復數(shù)的四則運算，復數(shù)的冪和根式運算，復數(shù)的極限運算。 1.2復變函數(shù)。復變函數(shù)的概念，開、閉區(qū)域，幾種常見的復變函數(shù)，復變函數(shù)的連續(xù)性。 1.3導數(shù)。導數(shù)，導數(shù)的運算，柯西黎曼方程。 1.4解析函數(shù)。解析函數(shù)的概念，正交曲線族，調(diào)和函數(shù)。 1.5平面標量場。穩(wěn)定場，標量場，復勢。 本章重點： 復變函數(shù)的運算，柯西黎曼條件，解析函數(shù) 第二章復變函數(shù)的積分（3） 基本要求： 1正確理解復變數(shù)函數(shù)路積分的概念； 2

6、深透理解柯西定理及孤立奇點的定義； 3理解并會熟練運用柯西公式。 教學內(nèi)容： 2.1復數(shù)函數(shù)的積分，路積分及其與實變函數(shù)曲線積分的聯(lián)系。 2.2柯西定理?？挛鞫ɡ淼膬?nèi)容和應用，孤立奇點，單通區(qū)域，復通區(qū)域，回路積分。2.3不定積分*。原函數(shù)。 2.4柯西公式。柯西公式的導出，高階導數(shù)的積分表達式。（模數(shù)原理及劉維定理不作要求） 本章重點： 柯西定理，柯西公式和孤立奇點。 第三章冪級數(shù)展開（6） 基本要求： 1理解復數(shù)項級數(shù)概念； 2了解冪級數(shù)的斂散性的判別法及收斂半徑的計算方法； 3會對一些簡單的解析函數(shù)進行泰勒級數(shù)展開； 4了解解析延拓的含義*； 5會對一些簡單的函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)進行羅朗

7、級數(shù)展開； 6熟悉孤立奇點的三種類型，了解極點的階； 教學內(nèi)容： 3.1復數(shù)項級數(shù)，復數(shù)項無窮級數(shù)，收斂性，科西判據(jù)，絕對收斂，一致收斂。 3.2冪級數(shù)、冪級數(shù)的概念，比值判別法，根值判別法，收斂圓，收斂半徑，冪級數(shù)的性質(zhì)。 3.3泰勒級數(shù)。泰勒級數(shù)的系數(shù)計算公式。 3.4解析延拓*。解析延拓的基本思想。 3.5羅朗級數(shù)。廣義冪級數(shù)，收斂環(huán)，羅朗展開。 3.6奇點分類。羅朗級數(shù)的解吸部分、主要部分，留數(shù)，極點，極點的階，單極點，本性極點，無窮遠點為奇點的情況。（支點不作要求）。 本章重點： 冪級數(shù)，比值判別法，泰勒級數(shù)，羅朗級數(shù)、收斂圓，收斂環(huán)，函數(shù)按冪級教展開技巧。 第四章留數(shù)定理（3） 基

8、本要求： 1掌握留數(shù)定理，了解留數(shù)的計算方法； 2應用留數(shù)定理計算實變函數(shù)的定積分。 教學內(nèi)容： 4.1留數(shù)定理。留數(shù)定理概念，計算留數(shù)的一般方法，判斷極點的階，極點留數(shù)的計算方法，例13。 4.2應用留數(shù)定理計算實變函數(shù)的定積分。類型一，類型二。 本章重點： 留數(shù)定理及其計算方法。 第五章傅立葉變換（2+1） 基本要求： 1了解非周期函數(shù)的傅里葉積分表達式和傅立葉變換的概念。 2掌握傅立葉變換的基本性質(zhì)與方法。 3了解提出狄拉克函數(shù)過程中的創(chuàng)造性思想。 4掌握狄拉克函數(shù)的定義、基本性質(zhì)和常用表達式。 教學內(nèi)容： 5.2非周期函數(shù)的傅里葉積分，傅里葉積分的導出，傅立葉變換式，奇函數(shù)的傅里葉正弦

9、積分，偶函數(shù)的傅立葉余弦積分。 5.3狄拉克函數(shù)，廣義函數(shù)的提出，狄拉克函數(shù)的定義、表達式和性質(zhì)。 本章重點： 非周期函數(shù)的傅里葉積分的概念，傅里葉變換的定義。狄拉克函數(shù)的定義、表達式和性質(zhì)。 第二篇數(shù)學物理方程（303） 本篇概述 數(shù)學物理方程是本課程的重點，本篇主要是討論與三類典型的二階線性偏微分方程對應的定解問題以及由此而連帶引出的本征值問題和特殊函數(shù)理論。這三類方程在物理學的許多領域中具有其廣泛的應用，例如在理論力學中的哈密頓方程，電動力學中的麥克斯韋方程，量子力學中的薛定諤方程等等都與這三類方程有密切的關系。 數(shù)學物理方程的意義還在于，對本質(zhì)上不同的物理問題可以具有相同的數(shù)學模型。通

10、過同一數(shù)學模型的研究，反過來就可用類比的方法對不同本質(zhì)的物理問題進行探討。所以，系統(tǒng)地了解這些典型的數(shù)學物理方程及其求解方法，無疑是研究物理學的重要手段。 本篇主要是涉及幾種常用的方程所對應的定解問題的基本解法，側(cè)重介紹行波法和分離變數(shù)法。這兩種方法是求解數(shù)學物理方程定解問題的最基本的方法，學生必須對它們有深刻的理解，特別要靈活掌握分離變數(shù)法。 在本篇中，將討論分離變數(shù)法所引伸出的本征值問題以及二階線性?；辗址匠痰膬缂墧?shù)解法。本征值問題是常微分方程的一個理論分支，有時可以利用冪級數(shù)方法求解，這時可能會出現(xiàn)高等超越函數(shù)，即特殊函數(shù)。 本篇還要討論有關的特殊函數(shù)，特別是勒讓得函數(shù)的理論。特殊函數(shù)的

11、內(nèi)容十分豐富，在數(shù)學中已成為一個獨立分支，它在物理學和工程技術中有著廣泛的應用。例如靜電勢的球坐標解將會出現(xiàn)勒讓得函數(shù)，而在柱坐標下的解將會出現(xiàn)貝塞爾函數(shù)，量子力學中諧振子本征解為厄密多項式，中心勢的角向函數(shù)可由球諧函數(shù)構成，而庫倫勢的徑向函數(shù)由連帶拉蓋爾多項式構成等等。本大綱只較詳細地涉及一類常見的特殊函數(shù)，即勒讓德函數(shù)。 數(shù)學物理方程及其有關的理淪遠遠不止本篇所指定的內(nèi)容。但是學生學好本篇內(nèi)容以后，其它方面的理論就不會產(chǎn)生較大的困難了，可以通過進一步自學來掌握。 本篇的教學時間為30課時，另安排3課時作為機動（可以用來復習常微分方程以及其他需要的擴展教學）。 第七章數(shù)學物理定解問題（5）

12、基本要求： 1了解定解問題的提法； 2了解幾種常見的數(shù)學物理方程的導出； 3熟悉幾種常見的邊界條件和初始條件的表示形式； 4能對兩個自變數(shù)的線性偏微分方程進行分類； 5了解行波法的意義，行波的物理意義，熟練運用達朗伯公式。 教學內(nèi)容： 定解問題。定解條件，邊界條件，初始條件，泛定方程，定解問題。 7.1數(shù)學物理方程的導出*。均勻弦的微小橫振動，均勻桿的縱振動*，均勻薄膜的微小振動*，擴散方程，熱傳導方程，穩(wěn)定濃度分布，穩(wěn)定溫度分布，靜電場，(其他物理模型的方程的導出不作要求)。 7.2定解條件。初始條件，邊界條件（非線性邊界條件不作要求）。 7.3二階線性偏微分方程的分類。二階線性偏微分方程的

13、一般形式，線性齊次和非齊次方程，疊加原理。兩個自變數(shù)的方程分類（多個自變數(shù)的方程分類不作要求），雙曲型，拋物型，橢圓型方程，方程的標準形式。常系數(shù)線性方程。 7.4行波法。達朗伯公式，行波，求解公式。端點的反射*（固定端的情形）。定解問題，適定性。 本章重點： 定解問題、定解條件提法，弦振動方程、擴散方程及穩(wěn)定濃度、溫度分布方程的導出，二階線性方程的分類，常系數(shù)線性方程的化簡，達朗伯公式。 第八章分離變數(shù)（傅里葉級數(shù)）法（6+2） 基本要求： 1掌握分離變數(shù)法，理解本征值問題與本征函數(shù)的聯(lián)系，會靈活處理較簡單的非齊次邊界條件的情況； 2熟悉并掌握齊次泛定方程的定解問題的求解方法； 3能對簡單非

14、齊次泛定方程的定解問題求解。 教學內(nèi)容： 8.1齊次方程的分離變數(shù)法。分離變數(shù)法，駐波，本征值，本征函數(shù)，本征值問題，分離變數(shù)法的方法步驟。 8.2非齊次振動方程和輸運方程。傅立葉級數(shù)法，沖量定理法。 8.3非齊次邊界條件的處理。一般處理方法，特殊處理方法。 8.4泊松方程。 本章重點： 分離變數(shù)法的步驟，本征值問題，非齊次邊界條件的處理。 第九章二階常微分方程的級數(shù)解本征值問題（4） 基本要求： 1掌握對方程進行分離變數(shù)的一般方法，了解一些常見方程進行分離變數(shù)后特殊的情形；2掌握微分方程在常點鄰域的級數(shù)解法； 3了解微分方程在正則奇點鄰域的級數(shù)解法； 4了解斯特姆劉維型本征值問題的提法。了解

15、常見的本征值問題解族的正交性、模和函數(shù)族展開理論。 教學內(nèi)容： 9.1特殊函數(shù)常微分方程。拉普拉斯方程，球坐標，球函數(shù)方程，連帶勒讓得方程*，勒讓得方程，柱坐標，貝塞耳方程*。波動方程，輸運方程，亥姆霍茲方程。 9.2常點鄰域上的級數(shù)解法，微分方程的級數(shù)解法 9.3正則奇點鄰域上的級數(shù)解法*，微分方程的級數(shù)解法，判定方程，例1例2（只要求得到正m階貝塞爾函數(shù)的解）。 9.4斯特姆劉維本征值問題*，本征值，本征函數(shù)，斯特姆劉維本征值問題，正交性，模，廣義傅立葉級數(shù)，廣義傅立葉系數(shù)。 本章重點： 微分方程的級數(shù)解法，本征函數(shù)族，廣義傅立葉級數(shù)展開。 第十章球函數(shù)（5+1） 基本要求： 1掌握勒讓得

16、多項式概念，勒讓得多項式的微分形式，正交關系，模的計算，及其廣義傅立葉展開理論及方法； 2了解一般球函數(shù)和連帶勒讓得函數(shù)的概念。 教學內(nèi)容： 10.1軸對稱球函數(shù)。勒讓得多項式，洛德利格斯公式（施列夫利積分），勒讓得多項式的正交關系，勒讓德多項式的模，廣義傅立葉級數(shù)，母函數(shù)與遞推公式。 10.2連帶勒讓得函數(shù)。連帶勒讓得函數(shù)，本征值問題，洛德利格斯公式，正交性，模，廣義傅里葉級數(shù)（施列夫利積分，拉普拉斯積分不作要求）。 10.3一般的球函數(shù)*。球函數(shù)，球函數(shù)的正交性，球函數(shù)的模，球面上的函數(shù)的，拉普拉斯方程的非軸對稱解。 本章重點： 勒讓德多項式及其微分形式，勒讓德多項式函數(shù)族的正交性、模和展

17、開理論。 第十一章柱函數(shù)（4） 基本要求： 1掌握貝塞爾函數(shù)級數(shù)形式，正交關系，模的計算，及廣義傅立葉展開理論及方法；2了解其他柱函數(shù)的概念和性質(zhì)。 教學內(nèi)容： 11.1三類柱函數(shù)，三類柱函數(shù)，柱函數(shù)的極限行為，遞推公式。 11.2貝塞爾方程，貝塞爾函數(shù)與本征值問題，貝塞爾函數(shù)的正交性，貝塞爾函數(shù)的模，傅立葉貝塞爾級數(shù)，貝塞爾函數(shù)的應用， 本章重點： 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)及其應用。 第十二章格林函數(shù)解的積分公式（3） 基本要求： 1掌握泊松方程的基本積分公式，用電像法求格林函數(shù)，泊松積分； 2了解含時間的格林函數(shù)的概念。 教學內(nèi)容： 12.1泊松方程的格林函數(shù)。第一格林公式，第二格林公式，泊松方程的基本積分公式，泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)及解的積分表達式，泊松方程第三邊值問題的格林