吳孟達(dá)-談?wù)剶?shù)學(xué)建模

1、吳 孟 達(dá)2014-5-10 天津 談 談 數(shù) 學(xué) 建 模數(shù)學(xué)建模是聯(lián)接數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題的橋梁建模就是跨越現(xiàn)實(shí)世界和想象世界，但不完全屬于任 一個(gè)世界。哥倫比亞神經(jīng)科學(xué)家Rodolfo Lins認(rèn)為，中樞神經(jīng)系 統(tǒng)支持建模行為，因?yàn)榻Ｓ兄陬A(yù)見行動(dòng)的后果。數(shù)學(xué)建模現(xiàn)實(shí)世界的理性視角 數(shù)學(xué)建模從自然走向理性之路數(shù)學(xué)建模由“知”到“識(shí)”的催化平臺(tái) 談?wù)剶?shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模ABC A：Assume B: Borrow C: Criticize 數(shù)學(xué)建模的基本要素The three most fundamental ideas in mathematical modeling are transien

2、ce, permanence, and optimality. 在中國(guó)，幾乎所有的高校都開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，但與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等傳統(tǒng)大學(xué)數(shù)學(xué)課程不同的是，數(shù)學(xué)建模課程似乎沒有一種“規(guī)范化”的教學(xué)體系。談?wù)剶?shù)學(xué)建模課程 一、 從西安會(huì)議談起 2011年6月，“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)規(guī)范研討會(huì)”在西安交大召開，參加人員有：馬知恩、譚永基、姜啟源、葉其孝、樂經(jīng)良、王綿森等，姜老師作報(bào)告：對(duì)數(shù)學(xué)建模課程規(guī)范的初步建議。 數(shù)學(xué)建模課程有以講方法為主的，有以講案例為主的，更多的是通過案例講方法的。個(gè)人認(rèn)為不應(yīng)以“講案例，教方法”為課程主要教學(xué)目的。而應(yīng)以“講案例，教思想”為主線，方法與案例都

3、是服務(wù)于這一主線的手段，是傳遞“數(shù)學(xué)建模思想”的載體。 一、從西安會(huì)議談起二、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程的幾種說法第一種說法：要講“數(shù)學(xué)建?！?，不要講成“建模數(shù)學(xué)”。第二種說法：數(shù)學(xué)建模課程幾同于數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)課。第三種說法：數(shù)學(xué)建模課程缺乏系統(tǒng)性思維訓(xùn)練，“拼盤式教學(xué)”，“見木不見林”。二、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程的幾種說法 關(guān)于第一種說法。 “講數(shù)學(xué)建模”與“講建模數(shù)學(xué)”，詞序顛倒，含義大不相同?！敖?shù)學(xué)”，“建?！笔嵌ㄕZ，主體在“數(shù)學(xué)”，意味著主要是講數(shù)學(xué)，或者是講方法。 “數(shù)學(xué)建模”，“數(shù)學(xué)”是定語，“建?！笔侵黧w，意味著數(shù)學(xué)是工具，主要是講數(shù)學(xué)建模的規(guī)律，或者說是數(shù)學(xué)建模的思想。二、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課

4、程的幾種說法 幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，不應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)建模課程的主要目的，更重要的目的是通過這些數(shù)學(xué)模型建立與求解的過程，使學(xué)生體會(huì)與理解其中蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)建模的一般規(guī)律，以及數(shù)學(xué)建模的思想。 二、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程的幾種說法 關(guān)于第二種說法： “數(shù)學(xué)建模課幾同于競(jìng)賽培訓(xùn)課”。這是一種現(xiàn)實(shí)，肯定有，而且有相當(dāng)比例，可能各校程度有所不同而已。 網(wǎng)上調(diào)查：你認(rèn)為數(shù)學(xué)建模課程在你所在的學(xué)校有開設(shè)的必要嗎？回答：非常有必要，因?yàn)閿?shù)學(xué)建模這項(xiàng)競(jìng)賽必須通過一定時(shí)間的專門訓(xùn)練才能取得好成績(jī)。二、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程的幾種說法 關(guān)于第三種說法： “拼盤式教學(xué)”現(xiàn)象確實(shí)存在，“知識(shí)碎片化”是由課程性質(zhì)所決定的，有弊也

5、有利。但作為一門課程，應(yīng)當(dāng)有自身的系統(tǒng)性思維訓(xùn)練作為教學(xué)理念的內(nèi)核，教師在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地貫徹這樣一種理念，而不是就事論事。三、長(zhǎng)春會(huì)議報(bào)告 在2011年長(zhǎng)春第12屆數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用會(huì)議上，我曾做過一個(gè)報(bào)告：面向問題的數(shù)學(xué)教學(xué) 下面是其中的幾頁P(yáng)PT。目 錄 案例教學(xué) 歸納推理 探索學(xué)習(xí) 學(xué)科交叉 實(shí)踐環(huán)節(jié)三、長(zhǎng)春會(huì)議報(bào)告案例教學(xué)面向問題，圍繞問題組織知識(shí)應(yīng)用應(yīng)用能力培養(yǎng)，后知識(shí)體系的構(gòu)建生動(dòng)直觀的情景教學(xué)三、長(zhǎng)春會(huì)議報(bào)告歸納推理充分發(fā)掘信息，信息時(shí)代科研能力特征之一推理思維模式的充實(shí)與完善三、長(zhǎng)春會(huì)議報(bào)告探索學(xué)習(xí)“學(xué)為主體”教學(xué)意識(shí)的體現(xiàn)體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展的過程打開自由思考空間，提高思維品

6、質(zhì)三、長(zhǎng)春會(huì)議報(bào)告學(xué)科交叉激發(fā)創(chuàng)新思維豐富思維模式，拓寬學(xué)術(shù)視野三、長(zhǎng)春會(huì)議報(bào)告實(shí)踐環(huán)節(jié)科研全過程體驗(yàn)，從學(xué)習(xí)者到研究者的必由之路三、長(zhǎng)春會(huì)議報(bào)告四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 下面談?wù)勱P(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的幾點(diǎn)思考。 1. 直覺透視現(xiàn)象本質(zhì)的洞察力 2. 聯(lián)系后知識(shí)體系的建構(gòu) 3. 求異批判精神與深度思考習(xí)慣的養(yǎng)成 4. 選擇宏觀把握與判斷抉擇能力 5. 歸納思維模式的完善 6. 素養(yǎng)模型檢驗(yàn)意識(shí)以及對(duì)結(jié)果的敏感性 數(shù)學(xué)建模教學(xué)理念：提升人們對(duì)自然現(xiàn)象“量化思考”的意識(shí)、習(xí)慣與能力。四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 1. 直覺透視現(xiàn)象本質(zhì)的洞察力 創(chuàng)新離不開直覺，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界繁雜現(xiàn)象

7、背后的潛在規(guī)律的直覺能力，往往引領(lǐng)創(chuàng)新思路的形成。數(shù)學(xué)建模中有許多這樣的教學(xué)案例，其最終結(jié)論是與人們的“常識(shí)”相悖的，通過對(duì)此類案例的深入挖掘和剖析，能不斷校正人們的“第一感覺”的深刻程度與準(zhǔn)確程度，從而培養(yǎng)人們更精準(zhǔn)、更深刻的“量化思考能力”。 沒有能力對(duì)自己的直覺進(jìn)行自我批判的大學(xué)生，將注定不過是社會(huì)的看客。 中美大學(xué)中理工科大學(xué)新生掌握的物理知識(shí)的總量，有差不多一倍的差距，明顯美不如中。但是他們的科學(xué)思維的能力卻基本接近。 中國(guó)的大學(xué)教育過分注重使知識(shí)總量的增加。而不注重對(duì)直覺能力自我批判能力的培養(yǎng)。學(xué)生知識(shí)和創(chuàng)造性的關(guān)系就象透鏡的成像和分辨率的關(guān)系一樣，經(jīng)過大學(xué)之后，像大了，分辨率卻沒

8、有改變。“大學(xué)生應(yīng)該培養(yǎng)對(duì)直覺知識(shí)自我批判的能力”“大學(xué)生應(yīng)該培養(yǎng)對(duì)直覺知識(shí)自我批判的能力” 舉兩個(gè)例子。 案例1. Lanchester 作戰(zhàn)模型四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 乙方獲勝條件： k 0等價(jià)于平方律模型 圖1.常規(guī)戰(zhàn)模型相軌線 四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 案例2. 道路越多越通暢嗎？四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 2. 聯(lián)系后知識(shí)體系的建構(gòu) 人們的知識(shí)體系是否完善不應(yīng)只包括掌握知識(shí)數(shù)量的多少，還應(yīng)包括應(yīng)用這些知識(shí)的“軟件”能力。類似于一個(gè)數(shù)據(jù)庫的功能是否強(qiáng)大，不僅取決于數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量的大小，還要取決于輸入輸出及檢索功能的強(qiáng)弱。數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)更多地關(guān)注于學(xué)習(xí)者這種關(guān)于

9、知識(shí)的“應(yīng)用軟件”的形成與強(qiáng)化。也就是說，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生的注意力放在“聯(lián)系”二字上，包括知識(shí)與知識(shí)之間的“聯(lián)系”，知識(shí)與問題之間的“聯(lián)系”。四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 概括地說， “后知識(shí)體系”=“知識(shí)+聯(lián)系” 成功的建模來自于兩個(gè)理解：對(duì)問題的理解與對(duì)方法的理解。 四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 關(guān)聯(lián)主義（connectivism）將學(xué)習(xí)看作創(chuàng)建連接和構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的過程。知識(shí)可被視為培養(yǎng)和遍歷這些連接的能力，并能及時(shí)獲得專業(yè)信息。 最高響應(yīng)比優(yōu)先（HRRN）調(diào)度策略。效率與公平兼顧案例3. 眼科病床的合理安排 案例4. 水文觀測(cè)站調(diào)整 標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)降水量數(shù)據(jù)個(gè)性特征豐富

10、程度的度量。 3. 求異批判精神與深度思考習(xí)慣的養(yǎng)成 批判精神以及深度思考能力的缺失，不利于創(chuàng)新。 案例5. 行走步長(zhǎng)問題腳的運(yùn)動(dòng)速度 四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考v？2v？ 案例6. 鎖具裝箱問題抱怨度度量 四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 案例7. 越野長(zhǎng)跑團(tuán)體賽的計(jì)分規(guī)則時(shí)間規(guī)則的完美性？四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 越野長(zhǎng)跑團(tuán)體賽競(jìng)賽規(guī)則的公平性 越野長(zhǎng)跑團(tuán)體賽的競(jìng)賽規(guī)則如下：每個(gè)參賽團(tuán)體由7名隊(duì)員組成，取該團(tuán)體跑在前面的5個(gè)隊(duì)員在所有參賽選手中的排名順序之和為該團(tuán)體的得分，然后根據(jù)各參賽隊(duì)得分（由小到大）的順序決定比賽排名（簡(jiǎn)稱5-2規(guī)則）。試討論該競(jìng)賽規(guī)則的合理性并提

11、出改進(jìn)方案。 4個(gè)公平性準(zhǔn)則：二元獨(dú)立性，孔多塞準(zhǔn)則，單調(diào)性準(zhǔn)則，帕累托條件 越野團(tuán)體賽計(jì)分規(guī)則的Arrow定理 以名次為排序依據(jù)，那么，在有至少三個(gè)隊(duì)參加的越野團(tuán)體賽中，如果一個(gè)規(guī)則同時(shí)滿足二元獨(dú)立性與帕累托條件，則該規(guī)則是非團(tuán)體規(guī)則。 時(shí)間排序規(guī)則：按各隊(duì)前5名隊(duì)員的競(jìng)賽時(shí)間之和排名。容易驗(yàn)證，這個(gè)方案滿足所有4條公平性準(zhǔn)則！ 但在合理性上是否完美無缺呢？ 一個(gè)團(tuán)隊(duì)的成績(jī)，應(yīng)體現(xiàn)獲得該成績(jī)所需要的訓(xùn)練難度。 合理計(jì)分規(guī)則：采用（m，l）競(jìng)賽方案，記錄所有運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí)間，按照國(guó)際田聯(lián)田徑項(xiàng)目分值表轉(zhuǎn)換為得分，取各隊(duì)前m名隊(duì)員的總得分為排序依據(jù)。 該方案滿足準(zhǔn)則14！ 準(zhǔn)則五：成績(jī)與訓(xùn)練難度匹

12、配原則合理計(jì)分規(guī)則滿足所有5條公平性準(zhǔn)則！ 4. 選擇宏觀把握與判斷抉擇能力 如果說，學(xué)生通過課堂文化知識(shí)的學(xué)習(xí)，掌握了一定的零件設(shè)計(jì)制造能力，那么，完成一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)建模過程，可以比喻為設(shè)計(jì)制造一臺(tái)機(jī)器，其中涉及建模目標(biāo)的選擇以及各種制約因素下的取舍能力。數(shù)學(xué)建模過程中存在大量的需要作出因素取舍與方案抉擇的場(chǎng)合，是一個(gè)需要不斷作出選擇的過程。學(xué)會(huì)選擇，是一種宏觀把握能力，是一種判斷能力，只有在解決實(shí)際問題的過程中方能得到訓(xùn)練。在數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)中要有意識(shí)地留給學(xué)生作選擇的機(jī)會(huì)。 案例8.纜車運(yùn)行計(jì)劃現(xiàn)實(shí)的變通 四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 5. 歸納思維模式的完善 數(shù)據(jù)建模，歸納推理模式的掌握，信息發(fā)掘的時(shí)代要求。 案例9. 網(wǎng)絡(luò)文章流行度預(yù)測(cè) 四、關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)理念的思考 網(wǎng)絡(luò)文章流行度預(yù)測(cè)模型：其中：T流行度（t-density）S信息來源的 t-density 分值C信息類別的 t-density 分值Ent max 文中提及的人名或地名中的最大t-density值 結(jié)論： 來自可靠的信息源、提及名人并且談?wù)摿餍性掝}建模啟示：對(duì)建立評(píng)價(jià)類模型具有典型意義。 6. 素