建立數(shù)學模型的方法步驟特點及分類doc

1、建立數(shù)學模型的方法、步驟、特點及分類 學習目標 1. 能表述建立數(shù)學模型的方法、步驟；2. 能表述建立數(shù)學模型的逼真性、可行性、漸進性、強健性、可轉移性、非 預制性、條理性、技藝性和局限性等特點；3. 能表述數(shù)學建模的分類；4. 會采納敏捷的表述方法建立數(shù)學模型；5. 培育建模的想象力和洞悉力；一、建立數(shù)學模型的方法和步驟般說來建立數(shù)學模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機理分析方法,一類是測試分析方法 機理分析是依據(jù)對現(xiàn)實對象特性的熟識、分析其因果關系,找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律 , 建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義 . 測試分折將爭論對象視為一個“ 黑箱” 系統(tǒng),內(nèi)部機理無法直接尋求, 可以

2、測量系統(tǒng)的輸人輸出數(shù)據(jù)、 并以此為基礎運用統(tǒng)計分析方法,依據(jù)事先確定的準就在某一類模型中選出一個與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型；這種方法稱為系統(tǒng)辨識 System Identification將這兩種方法結合起來也是常用的建模方法；即用機理分析建立模型的結構,用系統(tǒng)辨識確定模型的參數(shù)可以看出,用上面的哪一類方法建模主要是依據(jù)我們對爭論對象的明白程度和建模目的打算的 假如把握了機理方面的肯定學問,特性的物理意義；那么應當以機理分析方法為主當然模型也要求具有反映內(nèi)部 , 如需要模型參數(shù)的具體數(shù)值,仍可以用系統(tǒng)辨識或其他統(tǒng)計方法得到假如對象的內(nèi)部機理基本上沒掌握,模型也不用于分析內(nèi)部特性, 譬如僅用來做輸出

3、預報,就可以系統(tǒng)辯識方法為主系統(tǒng)辨識是一門特地學科, 需要肯定的掌握理論和隨機過程方面的學問以 下所謂建模方法只指機理分析；建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有肯定的模式,通常與實際問題的性質(zhì)、建模的 目的等有關,從 16.2 節(jié)的幾個例子也可以看出這點下面給出建模的般步驟,如圖 16-5 所 示圖 16-5 建模步驟示意圖 模型預備 第一要明白問題的實際背景, 明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等,盡量弄清對象的特點, 由此初步確定用哪一類模型,總之是做好建模的預備工作 情形明才能方法對, 這一步肯定不能忽視, 遇到問題 要虛心向從事實際工作的同志請教,盡量把握第一手資料 .模型假設 依據(jù)

4、對象的特點和建模的目的, 對問題進行必要的、 合理的簡化,用精確的語言做出假設, 可以說是建模的關鍵一步 一般地說, 一個實際問題不經(jīng)過簡化假設就很難翻譯成數(shù)學問題,即使可能, 也很難求解 不同的簡化假設會得到不同的模型假設作得不合理或過份簡潔,會導致模型失敗或部分失敗,于是應當修改和補充假設； 假設作得過分具體, 試圖把復雜對象的各方面因素都 考慮進去,可能使你很難甚至無法連續(xù)下一步的工作通常,作假設的依據(jù),一 是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的熟識, 二是來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析, 也可以是二者的 綜合作假設時既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經(jīng)濟等方面的學問,又要充分發(fā)揮想象力、 洞悉力和判定力,

5、 善于辨別問題的主次, 堅決地抓住主要 因素,舍棄次要因素,盡量將問題線性化、 勻稱化體會在這里也常起重要作用 寫 出假設時,語言要精確,就象做習題時寫出已知條件那樣模型構成依據(jù)所作的假設分析對象的因果關系,利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具,構造各個量 常量和變量 之間的等式 或不等式 關系或其他數(shù)學結構這里除需要一些相關學科的特地學問外,仍經(jīng)常需要較寬闊的應用數(shù)學方面的學問,以開拓思路 . 當然不能要求對數(shù)學學科門門熟知 , 而是要知道這些學科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決相像類比法, 即依據(jù)不同對象的某些相似性,借用已知領域的數(shù)學模型, 也是構造模型的一種方法 建模時仍應遵循的一個原

6、就是, 盡量采納簡潔的數(shù)學工具, 由于你建立的模型總是期望能有更多的人明白和使用 , 而不是只供少數(shù)專家觀賞 .模型求解 可以采納解方程、畫圖形、證明定理、規(guī)律運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法,特殊是運算機技術模型分析 對模型解答進行數(shù)學上的分析, 有時要依據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依靠關系或穩(wěn)固狀況, 有時是依據(jù)所得結果給出數(shù)學上的預報,有時就可能要給出數(shù)學上的最優(yōu)決策或掌握,不論哪種情形仍經(jīng)常需要進行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)固性或靈敏性分析等模型檢驗把數(shù)學上分析的結果翻譯回到實際問題,并用實際的現(xiàn)象、 數(shù)據(jù)與之比較,檢驗模型的合理性和適用性這一步對于建模的成敗是特別重要的,要以莊重

7、仔細的態(tài)度來對待 當然,有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不行能要求接受實際的檢驗了 模型檢驗的結果假如不符合或者部分不符合實際,問題通常出在模型假設上,應當修改、補充假設,重新建模有些模型要經(jīng)過幾次反復,不斷完善,直到檢驗結果獲得某種程度上的中意模型應用 應用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的,這方面的內(nèi)容不是本書爭論的范疇；應當指出, 并不是全部建模過程都要經(jīng)過這些步驟,也不那么分明 建模時不應拘泥于形式上的按部就班,敏捷的表述方式二、數(shù)學模型的特點有時各步驟之間的界限 本書的建模實例就實行了我們已經(jīng)看到建模是利用數(shù)學工具解決實際問題的重要手段；數(shù)學模型有許 多優(yōu)點,也有弱點；建模需要相當豐富的學

8、問、體會和各方面的才能,同時應注 意把握分寸下面歸納出數(shù)學模型的如干特點,以期在學習過程中逐步領悟模型的逼真性和可行性一般說來總是期望模型盡可能靠近爭論對象,但是一個特別逼真的模型在數(shù)學上經(jīng)常是難于處理的,因而不簡潔達到通過建模對現(xiàn)實對象進行分析、預報、決策或者掌握的目的,即有用上不行行另一方面,越 逼真的模型經(jīng)常越復雜,即使數(shù)學上能處理,這樣的模型應用時所需要的“ 費 用” 也相當高, 而高“ 費用” 不肯定與復雜模型取得的“ 效益” 相匹配所以建模時往往需要在模型的逼真性與可行性,擇“ 費用” 與“ 效益” 之間做出折衷和抉模型的漸進性略微復雜一些的實際問題的建模通常不行能一次勝利,要經(jīng)過

9、上一節(jié)描述的建模過程的反復迭代,包括由簡到繁, 也包括刪繁就簡, 以獲得越來越中意的模型 在科學進展過程中隨著人們熟識和實踐才能的提高,各門學科中的數(shù)學模型也存在著一個不斷完善或者推陳出新的過程從 19 世紀力學、熱學、電學等很多學科由牛頓力學的模型主宰,到 的建立,是模型漸進性的明顯例證20 世紀愛因斯坦相對論模型模型的強健性 模型的結構和參數(shù)經(jīng)常是由對象的信息如觀測數(shù)據(jù)確定的,而觀測數(shù)據(jù)是答應有誤差的 一個好的模型應當具有下述意義的強健性：當觀測數(shù)據(jù) 或其他信息 有微小轉變時, 模型結構和參數(shù)只有微小變化, 并且一般也應 導致模型求解的結果有微小變化模型的可轉移性 模型是現(xiàn)實對象抽象化、

10、抱負化的產(chǎn)物, 它不為對象的所 屬領域所獨有,可以轉移到另外的領域在生態(tài)、經(jīng)濟、社會等領域內(nèi)建模就常 常借用物理領域中的模型模型的這種性質(zhì)顯示了它的應用的極端廣泛性但是實際問題是各 模型的非預制性 雖然已經(jīng)進展了很多應用廣泛的模型,種各樣、變化萬千的, 不行能要求把各種模型做成預制品供你在建模時使用；模 型的這種非預制性使得建模本身經(jīng)常是事先沒有答案的問題 Openend problem 在建立新的模型的過程中甚至會相伴著新的數(shù)學方法或數(shù)學概念的產(chǎn) 生從建模的角度考慮問題可以促使人們對現(xiàn)實對象的分析更 模型的條理性 全面、更深化、 更具條理性, 這樣即使建立的模型由于種種緣由尚未達到有用的 程

11、度,對問題的爭論也是有利的；模型的技藝性 建模的方法與其他一些數(shù)學方法如方程解法、規(guī)劃解法等是 根本不同的, 無法歸納出如干條普遍適用的建模準就和技巧有入說； 建模目前 與其是一門技術、不如說是一種藝術是技藝性很強的技巧體會、想象力、洞 察力、判定力以及直覺、 靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數(shù)學知 識更大模型的局限性 這里有幾方面的含義 第一,由數(shù)學模型得到的結論雖然具有通用性和精確性, 但是由于模型是現(xiàn)實對象簡化、抱負化的產(chǎn)物, 所以一旦將模型的結論應用于實際問題, 就回到了現(xiàn)實世界, 那些被忽視、 簡化的因素必需考慮,于是結論的通用性和精確性只是相對的和近似的其次,由于人們熟識

12、能力和科學技術包括數(shù)學本身進展水平的限制,仍有不少實際問題很難得到有著實 用價值的數(shù)學模型如一些內(nèi)部機理復雜、影響因素眾多、測量手段不夠完善、技藝性較強的生產(chǎn)過程, 像生鐵冶煉過程, 需要開發(fā)專家系統(tǒng), 與建立數(shù)學模型相結合才能獲得較中意的應用成效專家系統(tǒng)是一種運算機軟件系統(tǒng),它總結專家的學問和體會, 模擬人類的規(guī)律思維過程, 建立如干規(guī)章和推理途徑, 主要是 定性地分析各種實際現(xiàn)象并做出判定專家系統(tǒng)可以看成運算機模擬的新發(fā) 展第三,仍有些領域中的問題今日尚未進展到用建模方法尋求數(shù)量規(guī)律的階段,如中醫(yī)診斷過程, 目前所謂運算機幫助診斷也是屬于總結聞名中醫(yī)的豐富臨床經(jīng) 驗的專家系統(tǒng)建模過程是一種

13、制造性思維過程, 除了想象、洞悉、判定這些屬于形象思維、規(guī)律思維范疇的才能之外, 直覺和靈感往往也起著不行忽視的作用；當由于各種 限制利用已有學問難以對爭論對象做出有效的推理和判定時,憑借相像、類比、推測、外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴密的,帶啟示性的直覺和靈感,去“ 戰(zhàn)略性” 地熟識對象, 是人類制造性思維的特點之一, 也是人腦比按程序邏 輯工作的運算機、 機器人的高明之處 歷史上不乏在科學家的直覺和靈感的火花 中產(chǎn)生的假說、論證和定律當然,直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的,它要求人們具 有豐富的背景學問,對問題進行反復摸索和艱苦探究,對各種思維方法運用嫻 熟相互爭論和思想交鋒, 特殊是不同專

14、業(yè)的成員之間的探討,是激發(fā)直覺和靈 感的重要因素所以由各種特地人才組成的所謂團隊工作方式 Team work 越來 越受到重視前面說過, 建?？梢钥闯梢婚T藝術 藝術在某種意義下是無法歸納出幾條準 就或方法的 一名杰出的藝術家需要大量的觀摩和前輩的指教,更需要親身的實踐類似地,把握建模這門藝術培育想象力和洞悉力,一要大量閱讀、摸索別人 做過的模型,二要親自動手,仔細做幾個實際題目三、數(shù)學模型的分類 數(shù)學模型可以依據(jù)不同的方式分類,下面介紹常用的幾種1. 依據(jù)模型的應用領域 或所屬學科 分如人口模型、 交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等范疇 更大一

15、些就形成很多邊緣學科如生物數(shù)學、醫(yī)學數(shù)學、地質(zhì)數(shù)學、數(shù)量經(jīng)濟學、數(shù)學社會學等2. 依據(jù)建立模型的數(shù)學方法 或所屬數(shù)學分支 分如初等數(shù)學模型、 幾何模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃論模型等按第一種方法分類的數(shù)學模型教科書中,著重于某一特地領域中用不同方法建立模型, 而按其次種方法分類的書里, 是用屬于不同領域的現(xiàn)成的數(shù)學模型來 說明某種數(shù)學技巧的應用 在本書中我們重點放在如何應用讀者已具備的基本數(shù) 學學問在各個不同領域中建模3. 依據(jù)模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法：確定性模型和隨機性模型取決于是否考慮隨機因素的影響 近年來隨著數(shù)學的進展,又有所謂突變性模型和模糊性模型靜態(tài)模型和動態(tài)模型

16、 線性模型和非線性模型 離散模型和連續(xù)模型 續(xù)的取決于是否考慮時間因素引起的變化取決于模型的基本關系, 如微分方程是否是線性的指模型中的變量 主要是時間變量 取為離散仍是連雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實際問題是隨機性的、動態(tài)的、非線性的,但是由于 確定性、靜態(tài)、線性模型簡潔處理,并且往往可以作為初步的近似來解決問題,所以建模經(jīng)常先考慮確定性、 靜態(tài)、線性模型 連續(xù)模型便于利用微積分方法求 解,作理論分析, 而離散模型便于在運算機上作數(shù)值運算,所以用哪種模型要看具體問題而定在具體的建模過程中將連續(xù)模型離散化,也是常采納的方法或將離散變量視作連續(xù),4. 依據(jù)建模目的分 有描述模型、分析模型、預報模型、優(yōu)化

17、模型、決策模 型、掌握模型等5.依據(jù)對模型結構的明白程度分有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型這是 把爭論對象比如成一只箱子里的機關,要通過建模來揭示它的奧妙 白箱主要包 括用力學、 熱學、電學等一些機理相當清晰的學科描述的現(xiàn)象以及相應的工程技術問題,這方面的模型大多已經(jīng)基本確定,仍需深化爭論的主要是優(yōu)化設計和控制等問題了灰箱主要指生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等領域中機理尚不特別清晰的 現(xiàn)象,在建立和改善模型方面都仍不同程度地有很多工作要做至于黑箱就主要指生命科學和社會科學等領域中一些機理數(shù)量關系方面 很不清晰的現(xiàn)象有些工程技術問題雖然主要基于物理、化學原理, 但由于因素眾多、 關系復雜和觀測困難等緣

18、由也常作為灰箱或黑箱模型處理當然,白、灰、黑之間并沒有明顯的界限,而且隨著科學技術的進展,箱子的“顏色 ”必定是逐步由暗變亮的建立數(shù)學模型的方法和步驟建立數(shù)學模型的方法和步驟1. 模型預備要明白問題的實際背景, 明確建模目的, 搜集必需的各種信息, 盡量弄清對象的 特點；2. 模型假設依據(jù)對象的特點和建模目的, 對問題進行必要的、 合理的簡化, 用精確的語言作 出假設,是建模至關重要的一步； 假如對問題的全部因素一概考慮,無疑是一種 有士氣但方法欠佳的行為, 所以精湛的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞悉力和判定 力,善于辨別主次,而且為了使處理方法簡潔,應盡量使問題線性化、勻稱化；3. 模型構成依據(jù)所作的假設分析對象的因果關系,利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工 具,構造各個量間的等式關系或其它數(shù)學結構；這時,我們便會進入一個寬闊的 應用數(shù)學天地,這里在高數(shù)、概率老人的膝下,有很多可愛的孩子們,他們是圖 論