導數(shù)與微分的matlab求解課件

1、第7章 導數(shù)與微分的MATLAB求解編者 Outline7.1 導數(shù)概念7.2 導數(shù)的MATLAB符號求解7.3 函數(shù)的微分7.4 微分中值定理7.5 洛必達法則7.6 泰勒公式7.7 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性7.8 函數(shù)的極值與最值7.9 曲線的漸近線7.10 曲率7.11 方程的近似解7.12 導數(shù)的數(shù)值求解7.1 導數(shù)概念1.導數(shù)的定義 設函數(shù) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量 在 處取得增量 （假設點 仍在該鄰域內(nèi)）時，相應的函數(shù)取得增量 ；如果 與 之比當 時的極限存在，則稱函數(shù) 在點 處可導，并稱這個極限為函數(shù) 在點 處的導數(shù)，記為 ，即也可記作 或 。 將上面導數(shù)的定義式中的

2、 換為 即可得到導函數(shù)的定義式 根據(jù)函數(shù) 在點 處的導數(shù) 的定義，導數(shù)是一個極限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因此 存在即 在點 處可導的充分必要條件是左、右極限 及 都存在且相等。這兩個極限分別稱為函數(shù) 在點 處的左導數(shù)和右導數(shù)，記作 及 ，即 現(xiàn)在可以說，函數(shù) 在點 處可導的充分必要條件是左導數(shù) 和右導數(shù) 都存在且相等。2.導數(shù)的幾何意義 函數(shù) 在點 處的導數(shù) 在幾何上表示曲線 在點 處的切線的斜率，即 其中 是切線的傾角。 如果函數(shù) 在點 處的導數(shù)為無窮大，這時曲線 的割線以垂直于 軸的直線 為極限位置，即曲線 在點 處具有垂直于 軸的切線 。7.2 導數(shù)的MATL

3、AB符號求解1.函數(shù)的導數(shù)與高階導數(shù) MATLAB符號工具箱中提供了函數(shù)diff來求取一般函數(shù)的導數(shù)以及高階導數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：D=diff(fx,x,n)運行結(jié)果如圖所示。 圖 函數(shù)導數(shù)的圖形直觀表示7.3 函數(shù)的微分微分的定義 設函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)有定義， 及 在該區(qū)間內(nèi)，如果增量可表示為 其中 是不依賴于 的常數(shù)，那么稱函數(shù) 在點 是可微的，而 叫做函數(shù) 在點 相應于自變量增量 的微分，記作 ，即 下面討論函數(shù)可微的條件。設函數(shù) 在點 可微，則由 兩邊同時除以 ，得 于是，當 時，由上式就可得到 因此，如果函數(shù) 在點 可微，則 在點 也一定可導（即 存在），且 反之，如果 在點 可

4、導，即 存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成 其中 ，由此又有 因 ，且 不依賴于 ，故 所以函數(shù) 在點 也是可微的。 通常把自變量 的增量 稱為自變量的微分，記作 ，即 。于是，函數(shù) 的微分又可記作 從而有 ，這就是說，函數(shù)的微分 與自變量的微分 之商等于該函數(shù)的導數(shù)。因此，導數(shù)也叫做“微商”。2.微分的幾何意義 在直角坐標系中，函數(shù) 的圖形是一條曲線。對于某一固定的 值，曲線上有一個確定點 ，當自變量 有微小增量 時，就得到曲線上另一點 ，由圖可知： 過點 作曲線的切線 ，它的傾角為 ，則 即 。 微分的幾何意義2.拉格朗日中值定理 羅爾定理中 這個條件是相當特殊的，它使羅爾定理的應用

5、受到限制。如果把 這個條件取消，但仍保留其余兩個條件，并相應的改變結(jié)論，那么就得到微分學中十分重要的拉格朗日中值定理。 如果函數(shù) 滿足：在閉區(qū)間 上連續(xù)；在開區(qū)間 內(nèi)可導；那么在 內(nèi)至少有一點 ，使得 成立。 關(guān)于拉格朗日中值定理的證明此處從略，這里僅介紹該定理的幾何意義，如圖所示。由于上式可以改寫為且 為弦 的斜率，而 為曲線在點 處的切線的斜率。因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線 的弧 上除端點外處處具有不垂直于 軸的切線，那么該弧上至少有一點 ，使曲線在 點處的切線平行于弦 。而且易知，羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形。 拉格朗日中值定理圖形直觀表示3.柯西中值定理

6、前面已經(jīng)指出，如果連續(xù)曲線弧 上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線，那么這段弧上至少有一點 ，使曲線在點 處的切線平行于弦 。設 由參數(shù)方程表示，如圖所示。其中 為參數(shù)，那么曲線上點 處的切線的斜率為弦 的斜率為 假定點 對應于參數(shù) ，那么曲線上點 處的切線平行于弦 ，可表示為 柯西中值定理圖形直觀表示7.5 洛必達法則 1. 型洛必達法則如果當 時，兩個函數(shù) 與 都區(qū)域零或趨于無窮大，那么極限可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為 或 。關(guān)于未定式極限我們通常使用洛必達法（LHospital）則求解，本小節(jié)先介紹 和 時的 型未定式的求解方法。這里不加證明的給出如下兩

7、個定理：設函數(shù) 與 滿足：當 時，函數(shù) 與 都趨于無窮大；在點 的某去心鄰域內(nèi)， 與 都存在且 ； 存在（或為無窮大），那么7.6 泰勒公式 泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù) 在含有 的某個開區(qū)間 內(nèi)具有直到 階的導數(shù)，則對任一 ，有 其中這里 是 與 之間的某個值。 多項式 稱為函數(shù) 按 的冪展開的 次泰勒多項式，上述公式稱為 按 的冪展開的帶有拉格朗日型余項的 階泰勒公式，而 稱為拉格朗日型余項。7.7 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性的判定法 設函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，在 上任取兩點 ，應用拉格朗日中值定理，得到由于 ，因此，如果在 內(nèi)導數(shù) 保持正號，即 ，那么也有 。于

8、是 即表明函數(shù) 在 上單調(diào)增加。同理，如果在 內(nèi)導數(shù) 保持負號，即 ，那么也有 。于是 ，即 ，表明函數(shù) 在 上單調(diào)減少。 歸納以上討論，即得以下定理：設函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，如果在 內(nèi) ，那么函數(shù) 在 上單調(diào)增加；如果在 內(nèi) ，那么函數(shù) 在 上單調(diào)減少。7.8 函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極值及其求法 設函數(shù) 在點 的某鄰域 內(nèi)有定義，如果對于去心鄰域 內(nèi)的任一 ，有那么就稱 是函數(shù) 的一個極大值（或極小值）。 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。下面給出可導函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件：必要條件：設函數(shù) 在點 處可導，且在 處取得極值，那么 。第一

9、充分條件：設函數(shù) 在點 處連續(xù)，且在 的某去心鄰域 內(nèi)可導，若 時， ，而在 時， ，則 在點 處取得極大值；若 時， ，而在 時， ，則 在點 處取得極小值；若 時， 的符號保持不變，則 在 處沒有極值。 第二充分條件：設函數(shù) 在點 處具有二階導數(shù)，且 ， ，那么當 時，函數(shù) 在 處取得極大值；當 時，函數(shù) 在 處取得極小值。2.最大值最小值問題 在求函數(shù)的最大值（或最小值）時，特別值得指出的是下述情： 在一個區(qū)間（有限或無限、開或閉）內(nèi)可導且只有一個駐點，并且這個駐點 是函數(shù) 的極值點，那么，當 是極大值時， 就是 在該區(qū)間上的最大值；當 是極小值時， 就是 在該區(qū)間上的最小值。7.9 曲

10、線的漸近線 如果存在直線 ，使得當 時，曲線 上的動點 到直線 的距離 ，則稱 為曲線 的漸近線。 漸近線通常有以下三種：水平漸近線：如果函數(shù) 的定義域是無限區(qū)間，且 ，其中 為常數(shù)，則直線 為曲線 的水平漸近線；垂直漸近線：如果存在常數(shù) ，使得 ，則稱直線 為曲線 的垂直漸近線；斜漸近線：如果 成立，則稱 是曲線 的斜漸近線，可以證明： 7.10 曲率1.弧微分 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)具有連續(xù)導數(shù)。在曲線 上取固定點 作為度量弧長的基點（如圖所示），并規(guī)定依 增大的方向作為曲線的正向。對曲線上任一點 ，規(guī)定有向弧段 的值 （簡稱為弧 ）如下： 的絕對值等于這弧段的長度，當有向弧段 的方向與曲線的正

11、向一致時 ，相反時 。顯然，弧 與 存在函數(shù)關(guān)系 ，而且 為 的單調(diào)增加函數(shù)。而且我們可以求得 這就是弧微分公式。 圖 弧微分求解示意圖2.曲率及其計算公式 在實際中，我們通常使用曲率來描述曲線的彎曲程度。 設曲線 是光滑的，在曲線 上選定一點 作為度量弧 的基點。設曲線上點 對應于弧 ，在點 處切線的傾角為 （這里假定曲線 所在的平面上已設定了 坐標系），曲線上另外一點 對應于弧 ，在點 處切線的傾角為 ，如圖所示，那么，弧段 的長度為 ，當動點從 移動到 時切線轉(zhuǎn)過的角度為 。 我們用比值 ，即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達弧段 的平均彎曲程度，把該比值叫做弧段 的平均曲率，并記作

12、，即 當 時（即 時），上述平均曲率的極限叫做曲線 在點 處的曲率，記作 ，即 曲率推導示意圖 對于直線來說，切線與直線本身重合，當點沿直線移動時，切線的傾角 不變， ，從而 。這就是說，直線上任意點 處的曲率都等于零，這與我 們直覺認識到的“直線不彎曲”一致。 對于半徑為 的圓，其上點 、 處的切線所夾的角 等于中心角 （ 為圓心），又 ，于是 從而 ，即圓上各點處的曲率都等于半徑 的倒數(shù) ，這就是說，圓的彎曲程度到處一樣，且半徑越小曲率越大，即圓彎曲得越厲害。 下面不加證明地給出曲線 上任意點的實際計算曲率的公式，如下：若曲線由參數(shù)方程給出，則可利用參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法，求出 及

13、，代入曲率公式有 當點 沿曲線 移動時，相應的曲率中心 的軌跡曲線 稱為曲線 的漸屈線，而曲線 稱為曲線 的漸伸線，如圖2所示。所以曲線 的漸屈線的參數(shù)方程為 其中 ， 為參數(shù)，直角坐標系 與 坐標系重合。 圖2 曲線的漸屈線示意圖7.11 方程的近似解1.隔根區(qū)間 在用近似方法求方程的根時，需要知道方程的根所在的區(qū)間。如果在區(qū)間 內(nèi)只有函數(shù) 的一個零點，則稱區(qū)間 為方程 的一個隔根區(qū)間。通常我們可以用逐步掃描法來尋找方程 的隔根區(qū)間。逐步掃描法的一般執(zhí)行流程如圖所示。 圖 隔根區(qū)間的搜索流程 由圖1可知，二分法每一步執(zhí)行的操作就是將有根區(qū)間一分為二，直至所求得的根達到所要求的精度為止，其執(zhí)行

14、流程如圖2所示。 圖2 二分法執(zhí)行流程3. 牛頓法及其MATLAB實現(xiàn) 對于方程 ，如果 是線性函數(shù)，那么它的求根是容易的。牛頓法實質(zhì)上就是一種線性化方法，其基本思想是將非線性方程 逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解。 設方程 有近似根 ，將函數(shù) 在點 處展開，則有于是，方程 就可近似地表示為記該方程的根為 ，則 的計算公式為 上式即稱為Newton迭代公式。 由牛頓迭代公式可知， 是點 處 的切線 與 軸的交點的橫坐標，如圖1所示。 圖1 牛頓法幾何意義 牛頓法執(zhí)行流程比較簡單，只需按如下流程即可，如圖2所示。 圖2 牛頓法執(zhí)行流程7.12 導數(shù)的數(shù)值求解插值型求導公式 若已知函數(shù)在一些離散點上的函數(shù)值時，則該函數(shù)可用插值多項式來近似，然后對多項式進行微分以求得數(shù)值導數(shù)。該過程可由函數(shù)polyfit和polyder實現(xiàn)，相應的MATLAB函數(shù)代碼如下： 上述函數(shù)中，第14行根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的個數(shù)獲得插值多項式的最高階次，第15行對實驗數(shù)據(jù)進行多項式插值，第1618行依次對多項式進行求導，第19行求解求導后的多項式在求導點處的值。2.中心差分公式