高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重要要點(diǎn)不掛科

1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn)第一講 極限理論一 基本初等函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性和圖象,其中函數(shù)圖像是重中之重,由函 數(shù)圖像可以輕易的得到函數(shù)的其它要素（P17-20）二 求極限的各種方法當(dāng)fx為連續(xù)函數(shù)時(shí) ,x0Df, 就有l(wèi)im x x 0fxa mfx00 ,a 0b 0當(dāng)nm例 1 運(yùn)算極限x lim22xarcsinx設(shè)m,n為非負(fù)整數(shù) ,a0,0b 00就1xamlim xa0m xn0 xa 1xm1,當(dāng)nmbb 1xn137bn1xanm, 當(dāng)n例 2 運(yùn)算極限：x lim3 x1lim x3x292 x2x44x116用兩個(gè)重要極限求lim x 0sinx1（lim x

2、sinx0,flim 0sinfxx1）xarctanx,1cosxx2；xxfx arcsinxsin結(jié)論：當(dāng)0時(shí),xxtan2lim x 11xe（1e,flim x 1f1fxe）lim x 01xxxx實(shí)質(zhì)：外大內(nèi)小,內(nèi)外互倒例 4 運(yùn)算極限：lim x 0 12x1lim x 0 1sin10 0 ,0 ）3 xxx未定式的極限（0 ,0, 0,羅必達(dá)法就 例 5 運(yùn)算極限：lim x 0sinxlnxlim x 0sinxxlim x 01x1sinx設(shè)法消去零因子（分子有理化,分母有理化,分子分母同時(shí)有理化等方法）例 6 運(yùn)算極限： lim x 0 1x x 1 lim x 1

3、3x x1 2用等價(jià)無(wú)窮小量代換（切記：被代換的部分和其他部分必需是相乘關(guān)系?。├?7 運(yùn)算極限lim x 0sin2xtan2xx2 1cosx無(wú)窮小量乘有界變量仍是無(wú)窮小量；例 8 運(yùn)算極限： lim x 0 x 2 sin 1 x x lim x 1 cos x 2 x三 連續(xù)和間斷 1. 連續(xù)的定義 2. 間斷點(diǎn)的定義和分類 四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（這里有一些證明題值得留意）；其次講 微分學(xué)一 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)：fxxlim xfx0 xfx0 xx lim x 0fx ffx0 x 00 xxx 0左導(dǎo)數(shù)：flim x 0fx0 xf0 x lim x 0 xfxxx0右導(dǎo)數(shù)：fxl

4、im x 0fx 0 xfx0 x lim x 0fxfx0 xxx0實(shí)質(zhì)：差商的極限；例 1 運(yùn)算極限 ：lim h 0fx 0h fx0lim x0fx0fx0 xhx二 各種求導(dǎo)法 導(dǎo)數(shù)公式表（ P94）和四就運(yùn)算法就（ P85）例 2 設(shè)fx 4x3x4 x5logaxsin2,求fx ；例 3 設(shè)fx1sinxarctanxcscx,求fx,f4；x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)（ P90）例 4 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)fx 2 arctan exfx etanx隱函數(shù)求導(dǎo)（方法：把y 當(dāng)作 x 的函數(shù),兩邊對(duì) x 求導(dǎo)）例 5 求以下隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xyexy02y3x5lny對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（多用于冪指函數(shù)和由

5、多因子相乘構(gòu)成的函數(shù)的求導(dǎo)）例 6 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y x sin y 2 x x 1 312x由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)重點(diǎn)：由參數(shù)方程xt確定的函數(shù)yfx 的導(dǎo)數(shù)為dy t；ytdx t例 7 設(shè)yxtln 1t,求dy ；dxarctan t三 高階導(dǎo)數(shù)例 8 設(shè)y2arctanx,求 y ；例 9 設(shè)yexxn,求y n；四 微分重點(diǎn)：函數(shù)2y2 efx的微分是dyfxdx例 11 設(shè)y2xey,求 dy ；例 10 設(shè)y3 xx,求 dy ；五 單調(diào)性和極值重點(diǎn)：由 f x 的符號(hào)可以判定出 f x 的單調(diào)性；求 f x 的極值方法：求出 f x ,令其為零,得到駐點(diǎn)及不行導(dǎo)點(diǎn),姑

6、且統(tǒng)稱為可疑點(diǎn)；判定在可疑點(diǎn)兩側(cè)鄰近 f x 的符號(hào),如左正右負(fù), 就取得極大值； 如左負(fù)右正, 就取得微小值； 如同號(hào),就不取得極值；例 12 求函數(shù)yxln x1 的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；x2時(shí),恒有xsinx；例 13 證明：當(dāng) 0六 最值問(wèn)題求函數(shù) f x 在區(qū)間 a , b 上的最值之步驟：求出 f x ,令其為零,得到可疑點(diǎn)（駐點(diǎn)和不行導(dǎo)點(diǎn)）,并求出函數(shù)在這些點(diǎn)處的取值；求出函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)取值 f a ,f b ；比較函數(shù)在可疑點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)上的取值,最大者即為最大值,最小者即為最小值；例 14 求以下函數(shù)在指定區(qū)間上的最值；fxx42x25,3,2yx1,0 ,4 x1七 凹凸性和拐點(diǎn)

7、重點(diǎn)：凹凸性概念：設(shè)fx在區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù),如對(duì)x 1,x2a,b （x 1x2）,有fx是凸函fx 12x2fx 12fx2（fx 12x2fx 12fx2）就稱fx在a,b內(nèi)是凹函數(shù)（凸函數(shù)） ；（用此定義可以證明一些不等式,見(jiàn)下例）；由fx的符號(hào)可以判定出fx的凹凸性；fx 為正號(hào)就fx是凹函數(shù),f x 為負(fù)號(hào)就數(shù)；判定 f x 的拐點(diǎn)之方法：求出 f x ,令其為零,得到 f x 等于 0 的點(diǎn)和 f x 不存在的點(diǎn)；判定在這些點(diǎn)兩側(cè)鄰近 f x 的符號(hào),如為異號(hào),就該點(diǎn)是拐點(diǎn)；如同號(hào),就該點(diǎn)不是拐點(diǎn)；例 15 求以下函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)；yx423 x1y3 x例 16 證明：當(dāng)x

8、1x2時(shí),必有ax 12x 2ax 12ax2（a0）；第三講積分學(xué)一 不定積分與原函數(shù)的概念與性質(zhì)原函數(shù)：如Fxfx ,就稱Fx為fx的一個(gè)原函數(shù)；Fxfx不定積分：f x的全體原函數(shù)稱為fx的不定積分,即fx dxFxc,這里不定積分的性質(zhì)（ P174,共 2 個(gè)）特殊強(qiáng)調(diào)：FxdxFx c；dFxFx c（切記常數(shù) c 不行丟）二 定積分的概念與性質(zhì)定積分概念：bfx dxlim 0infixia1定積分和不定積分的區(qū)分：定積分是和式的極限,運(yùn)算結(jié)果是個(gè)常數(shù)；不定積分是由一族函數(shù)（被積 函數(shù)的原函數(shù)）構(gòu)成的集合；fx在a,b上可積的必要條件：fx 在a,b上有界；xa,xb,y0及yf

9、x圍成的曲充分條件：fx在a,b上連續(xù)；定積分的幾何意義：設(shè)f x 0,xa,b,就bfx dx表示由a邊梯形的面積；定積分的性質(zhì)（ P210,共 7 個(gè)）留意結(jié)合定積分的幾何意義懂得之；例：如對(duì)bxa,b,有mfxM,就有m bbabfx dxbM ba ；a如f x 在a ,上連續(xù),就存在aa,b,使得滿意fx dxfa；a另：如f x 是奇函數(shù),就fx dx0；a三 由變上限積分確定的函數(shù)定義：設(shè)ft在a,b 上連續(xù),就稱函數(shù)x xf t dt,axba為變上限積分確定的函數(shù)；求導(dǎo)問(wèn)題：xdxftdtt2fxdxa例 1 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)fx ；dtfxxt 44e2tdtfx x2 0

10、1ln與羅必達(dá)法就結(jié)合的綜合題例 2 求以下極限：lim x 0 xt2sintdtlim x 0 x2sin3 tdt00 x4xt3 etdt0四 求積分的各種方法直接積分法（兩個(gè)積分表2 xP174和 P185）xdx例 3 運(yùn)算積分：1xxdxcos2x2sinxcosx 1第一換元法（湊微分法）令u重點(diǎn)：fx dx整理fxgx x dxgx dx dlnx,sinxdxddcosxxg u du積分G uc變量仍原G x cx,1dx常用湊微分公式：xndxn11dxn1,1dx2dxxdcotx,secxtanxdxsecx ,cosxdxdsinx,2 secxdxdtanx,2

11、 cscxdxcscxcotxdxdcscx ；留意：在定積分的換元法中,要相應(yīng)調(diào)整積分上下限；例 4 運(yùn)算積分：tanxdx2sincos2dx22x448dx1lnx4dx0 x1xlnx 其次換元法整理f重點(diǎn)：fx dx令xtf ttdxxcdxtdtttg t du積分G tc變量仍原G 1常用換元方法：被積函數(shù)中如有naxb,令txnaxb；如有k x 和l x ,令xtm,這里 m 是 k ,l 的最小公倍數(shù)；被積函數(shù)中如有a22 x,令asin ；被積函數(shù)中如有xatan ；a22 x,令被積函數(shù)中如有xasec ；x2a2,令留意：在定積分的換元法中,要相應(yīng)調(diào)整積分上下限；例

12、5 運(yùn)算積分： aa 2 x 2 dx 4 dx0 1 1 x例 6 設(shè) f x 是定義于實(shí)數(shù)集上的連續(xù)函數(shù),證明b b ca f x dx a c f x c dx,b ba f x dx a 2 b f a b x dx分部積分法 u vdx uv u v dx關(guān)鍵：適當(dāng)挑選 u , v ；挑選的技巧有如被積函數(shù)是冪函數(shù)乘易積函數(shù),令 u 為易積函數(shù), v 為冪函數(shù)；如被積函數(shù)是冪函數(shù)乘不易積函數(shù),令 u 為冪函數(shù), v 為不易積函數(shù)；例 7 運(yùn)算積分：arctan xdx有理分式函數(shù)的積分步驟：如是假分式,先用分式除法把假分式化為多項(xiàng)式與真分式的和,多項(xiàng)式積分特別簡(jiǎn)單,下面重點(diǎn)考慮真分式

13、 P x 的積分；Q x 把 Q x 分解成如下形式2 2Q x b 0 x a x b x px q x rx s 這里 p 2 4 q 0, ,r 24 s 0；把 P x 化為如下形式Q x P x A 1 A 2 A1Q x x a x a x a B 1 B 2 B1 x b x b x b M 1 x N 1 M 2 x N 2 M x N2 2 1 2 x px q x px q x px q R 1 x S 1 R 2 x S 2 R x S2 2 u 1 2 x rx s x rx s x rx s 這里 A , B i , M i , N i , R i , S i 為待定

14、系數(shù),通過(guò)對(duì)上式進(jìn)行通分,令等式兩邊的分子相等,即可解得這些待定系數(shù)；于是對(duì) P x 的積分就轉(zhuǎn)化成對(duì)上面等式的右端積分了,然后再對(duì)上式右端積分；Q x 3 2例 8 運(yùn)算積分： 2 x 2 xdx 2 x 3 dxx 2 x 10 x 5 x 6五 定積分的分段積分問(wèn)題例 9 運(yùn)算積分：4x3 dx；0sin 2xdx0六 定積分的應(yīng)用：重點(diǎn)是再直角坐標(biāo)系下求平面圖形的面積； 由 曲 線yfx,ygx fxgx 及 直 線xa,xbab 圍 成 的 圖 形 的 面 積 為 ：Sb a fxgx dx；yy ,ybab 及 直 線ya 圍 成 的 圖 形 的 面 積 為 ：y,xy 由 曲 線xSbyydy；a例 10 求由以下曲線圍成的圖形的面積；ylnx,y1x,y2；x0,x2,ysinx,ycosx；七 廣義積分沿著定積分的概念的兩個(gè)限制條件（積分區(qū)間有限和被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界）進(jìn)行推廣,就 得到兩種類型的廣義積分；第一類廣義積分定義：afxdxlim bbfx dxa lim0fx dxb limbfx dxab