高考預(yù)測文科數(shù)列知識點歸納總結(jié)全

1、數(shù)列學(xué)問點 一考綱要求 數(shù)列 數(shù)列的概念 內(nèi)容 4 要求層次 A B C數(shù)列的概念和表示法 等差數(shù)列, 等差數(shù)列的概念 等比數(shù)列的概念 等比數(shù)列 等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式 等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式 二學(xué)問點 一數(shù)列的該概念和表示法, （ 1）數(shù)列定義 ：按確定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項記作 an ,在數(shù)列第一 個位置的項叫第 1 項（或首項） ,在其次個位置的叫第 2 項, ,序號為 n的項叫第 n 項（也叫通項） 記作 an ； 數(shù)列的一般形式： a1 , a2 , a3 , , an , ,簡記作 an ； （ 2）通項公式的定義 ：假

2、如數(shù)列 an 的第 n 項與 n 之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個 數(shù)列的通項公式 說明： an 表示數(shù)列, an 表示數(shù)列中的第 n 項, an = f n 表示數(shù)列的通項公式； 同一個數(shù)列的通項公式的形式不愿定唯獨； 不是每個數(shù)列都有通項公式；例如, 1, , , , （ 3）數(shù)列的函數(shù)特點與圖象表示 ： 序號： 1 2 3 4 5 6項 ： 4 5 6 7 8 9上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射；從函數(shù)觀點 看,數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集 N （或它的有限子集）的函數(shù) f n 當(dāng)自變量 n 從 1 開頭依次取值 時對應(yīng)的一系列函數(shù)

3、值 f 1, f 2, f 3, , f n , 通常用 an 來代替 f n ,其圖象是一群孤 立的點 （ 4）數(shù)列分類： 按數(shù)列項數(shù)是有限仍是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列； 按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列,遞減數(shù)列） ,常數(shù)列和搖擺數(shù)列 （ 5） 遞推公式定義 ：假如已知數(shù)列 an 的第 1 項（或前幾項） ,且任一項 an 與它的前一項 an 1 （或前幾項）間 的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式 （二）等差數(shù)列 1. 等差數(shù)列的定義 ： an an 1d（d 為常數(shù)）（ n 2 ）； 第 1 頁,共 11 頁2 等差數(shù)列通項公式： an a

4、1 n 1d dn a1 d n * N , 首項 : a1 ,公差 :d ,末項 : an 推廣： an am n m d 從而 dan am m； n3等差中項 （ 1）假如 a , A , b 成等差數(shù)列,那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項即： A 1ab或 2 A ab2（ 2）等差中項：數(shù)列 an 是等差數(shù)列 2an an-1 an 1 n 2 2an an an 24 等差數(shù)列的前 n 項和公式： S n na1 2 an na 1 n n 1 d 2 d2 n 2 a 1 1 d n 2 An 2（其中 A, B 是常數(shù),所以當(dāng) d 0 時, Sn是關(guān)于 n 的二次式且常數(shù)項

5、Bn 0） 乘以中間項） 特別地,當(dāng)項數(shù)為奇數(shù) 2n 為 1時, an 1 是項數(shù)為 2n+1 的等差數(shù)列的中間項 S2n 1 2 n 1 a1 2a2n 12 n 1 an 1 （項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù) 5 等差數(shù)列的判定方法 （ 1） 定義法：如 an an 1d或 an 1an d 常數(shù) n N an 是等差數(shù)列 2 （ 2） 2an 1an an 等差中項：數(shù)列 an 2an an-1 an 1 n 2 是等差數(shù)列 （ 3） 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 an kn b （其中 k, b 是常數(shù)）； （ 4） Bn , （其中 A,B 是常數(shù)列 an 是等差數(shù)列 Sn 2 An

6、 數(shù)）； 6 等差數(shù)列的證明方法 定義法：如 an an 1d 或 an 1an d 常數(shù) nNan 是等差數(shù)列 7. 等差數(shù)列的性質(zhì)： （ 1）當(dāng)公差 d 0 時,等差數(shù)列的通項公 an d ；前 n 和 S 式 na nn 1d d n 22 2（ 2）如公差 d 0 ,就為遞增等差數(shù)列,如公差 （ 3）當(dāng) m n p q 時, 就有 am an a p a1 n 1d dn a1 d 是關(guān)于 n 的一次函 數(shù),且斜率為公差 da n 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)且常數(shù)項為 0. 2d 0 ,就為遞減等差數(shù)列,如公差 d 0 ,就為常數(shù)列； aq ,特別地,當(dāng) m n 2 p 時,就有 am a

7、n 2ap . （ 4）如 an , bn 為等差數(shù)列,就 an b, 1an 2bn 都為等差數(shù)列 5 如 an 是等差數(shù)列,就 Sn , S2 n Sn , S3n S2n , 也成等差數(shù)列 （ 6）數(shù)列 an 為等差數(shù)列 ,每隔 kk N項取出一項 am , am ,am 2k , am 3k , 仍為等差數(shù) 列 （ 7）設(shè)數(shù)列 an 是等差數(shù)列, d 為公差, S 奇 是奇數(shù)項的 S 是偶數(shù)項項的和, Sn 是前 n 項的和 1. 當(dāng)項數(shù)為偶數(shù) 2n 時, 和, 偶S a1 a3 a5 a2 n 1 n a1 a2n 1 nan 奇 2S a2 a4 a6 a2 n n a2 a2 n

8、 nan 1偶 2S S nan 1 nan n an 1 an =nd 偶 奇第 2 頁,共 11 頁Snan an n1nmn奇nan 1an 1S偶 2,當(dāng)項數(shù)為奇數(shù) 2n 1 時,S2n 1 SS 偶 就 2 n 1 an+1 S 奇 n 1an+1 S（其中 奇 San+1 Snan+1 奇 nS an+1 S偶偶是項數(shù)為 2n+1 的等差數(shù)列的中間項） m+n 項和 Sm 偶 （ 8）等差數(shù)列 an 的前 n 項和 Sm n ,前 m 項和 Sn m ,就前 9 求 Sn 的最值 n法一：因等差數(shù)列前 n 項和是關(guān)于 n 的二次函數(shù),故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,但要 留意數(shù)列的特別

9、性 N ； *法二：（ 1）“首正”的遞減等差數(shù)列中,前 n 項和的最大值是全部非負(fù)項之和 即當(dāng) a1 0, d 0,由 an 100可得 Sn 達(dá)到 最大值 時的 n 值 an （ 2） “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中,前 n 項和的最小值是全部非正項之和； 即 當(dāng) a1 0, d 0,由 an 100可得 Sn 達(dá)到 最小值 時的 n 值 an 或求 an 中正負(fù)分界項 法三： 直接利用二次函數(shù)的對稱性： 由于等差數(shù)列前 n 項和的圖像是過原點的二次函故 n 取離二次函數(shù)對 稱 軸最近的整數(shù)時, Sn 取最大值（或最小值） ；如 Sp 數(shù), = Sq 就其對稱軸為 npq2（三）等比數(shù)列 a n

10、1. 等比數(shù)列的定義 ： an 1q q 0n2, 且 n N*, q 稱為 公比 2. 通項公式： an n 1 a1q a1 qnn A B a1 q0, A B 0, q首項： a1 ；公比： qq推廣： a nam qn m , 從而得 n m an 或 q nmanam am 3. 等比中項 （ 1）假如 a, A,b 成等比數(shù)列,那么 A叫做 a 與 b 的等差中留意： 同號的 兩個數(shù) 才有 等比中項,并且它們的等比中項 項即： 2（ 2）數(shù)列 an 是等比數(shù)列 an an 1 an 14. 等比數(shù)列的前 n 項和 Sn 公式： 1 當(dāng) q 1 時, Sn na1 2 A ab 或

11、 A ab 有兩個 （兩個等比中項互為相反數(shù)） 第 3 頁,共 11 頁2 當(dāng) q 1 時, Sn n a1 1 q a1 anq 1q1q5. 等比數(shù)列的判定方法 （ 1）用定義：對任意的 n,都有 an 1 qa 或 an 1an qq 為常數(shù), a n0 a 為等比數(shù)列 等比數(shù)列 （ 2） 等比中項： 2 an an 1 an 1 （ an 1an 10） an 為等比數(shù)列 （ 3） 通項公式： an n A B A B 0 an 為等比數(shù)列 （ 4） 前 n 項和公式： S nn A A B 或S nA BnA A, B, A, B 為常數(shù) a 為 6. 等比數(shù)列的證明方法 依據(jù)定義：

12、如 an qq0n2,且 n N * 或 a n1qa n a 為等比數(shù)列 an 17. 等比數(shù)列的性質(zhì) 1 當(dāng) q 1 時 0 是關(guān)于 n 的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù),底數(shù)為公比 q等比數(shù)列通項公式 a nn1 a q a1 qn A Bn A B q前 n 項和 Sn a1 1 qna1 n a1q a1 a1 q1 q nn A A B n A B A,系數(shù)和常數(shù)項是互為相反數(shù) 1q1q 1 q的類指數(shù)函數(shù),底數(shù)為公比 qnm,特別的 ,當(dāng) m=1 時,便得到等比數(shù)列的通項公 2 對任何 m,n N*,在等比數(shù)列 a 中,有 a na mq式.因此,此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性；

13、23 如 m+n=s+t m, n, s, t N * ,就 a n a m a s a .特別的 ,當(dāng) n+m=2k 時,得 a a m a k 注： a1 an a2 an 1 a3an 24 列 an , bn 為等比數(shù)列 ,就數(shù)列 k , k an , an k , k an bn an k 為非零常數(shù) 均為等比數(shù) an bn列. 5 數(shù)列 an 為等比數(shù)列 ,每隔 kk * N 項取出一項 am , am k , am 2k , am 3k ,仍為等比數(shù)列 6 假如 an 是各項均為正數(shù)的 等比數(shù)列 ,就數(shù)列 log an 是等差數(shù)列 7 如 an 為等比數(shù)列 ,就數(shù)列 Sn , S

14、2n Sn , S3n S2 n , 2,成等比數(shù)列 a3 n 成等比數(shù)列 8 如 an 為等比數(shù)列 ,就數(shù)列 a1 a2 an , an 1an a2 n , a2n 1 a2n 2 第 4 頁,共 11 頁9 當(dāng) q 1 時, 當(dāng) 0q 1 時, a a1 1 0,就 an 為遞減數(shù)列, 0,就 an 為遞增數(shù)列 a 0,就 a 為遞增數(shù)列 a1 1 0,就 an 為遞減數(shù)列 n當(dāng) q=1 時 ,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列） ; 當(dāng) q0,a0 時, s1 最?。寒?dāng) d0,a0 時, 最小（ an 0 當(dāng) d0,a0 時, s1 最大；當(dāng) d0 時, sn 最大 an 0, an

15、 1 0 在等差數(shù)列 an 中： 1a5=6,a7=16, 就 a1= , 公差 d= 2a3=20,a10=-1, 就 a15= 摸索：等差數(shù)列可以運用于哪些方面 重要性 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,而等差數(shù)列作為一類重要的特別數(shù)列,一方面它的定義,通項, 求和, 性質(zhì)及運算是歷年高考的熱點, 另一方面同學(xué)學(xué)習(xí)等差數(shù)列是探究特別數(shù)列的開頭, 可以為 今后學(xué)習(xí)數(shù)列供應(yīng)幫忙,更為等比數(shù)列供應(yīng)了學(xué)習(xí)對比的依據(jù)； 等差數(shù)列的概念 等差數(shù)列的通 項公式 等差數(shù)列前 n 項的和的 求和公式 一,基本概念 1,數(shù)列：依據(jù)確定次序排列著的一列數(shù) 數(shù)列的項,數(shù)列的項數(shù) 表示數(shù)列的第 n 項與序號 n 之間的

16、關(guān)系的公 式 通項公式：不是全部的數(shù)列都有通項公式 符號把握器：如（ 1）n,（ 1）n+1 遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系的公式 第 7 頁,共 11 頁有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列 無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)數(shù)列分類 列 遞增數(shù)列：從第 2 項起,每一項都不小于它的前一項的數(shù)遞減數(shù)列：從第 列 常數(shù)列：各項相等的數(shù)列 2 項起,每一項都不大于它的前一項的數(shù)列 搖擺數(shù)列：從第 2 項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列 二,等差數(shù)列：從第 2 項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差 an an 1 d, n 2 且 Z ,或 an

17、 1 an d, n 1 且 n Z n an a1 n 1 d am n m d kn ban a1 an am1,如等差數(shù)列 an 的首項是 a1 ,公差是 d ,就有 dn 1 n m n an a1 1d等差中項：三個數(shù) a,G,b 組成的等差數(shù)列,就 G為 a與 b 的等差中 2G=a b稱 項 2an ap aq 性質(zhì)： 如 an 是等差數(shù)列,就 2n mn p q pq a m a n a p a q如 an 是等差數(shù)列,就 am, am k ,am 2 k, am 3 k,L構(gòu)成公差公差 kd 的等差數(shù)列 如 an , bn 是等差數(shù)列 ,就 an+ , an + bn 是等差

18、數(shù)列 n a1 an nn 1 22,等差數(shù)列的前 n 項和的公式： Sn na1 d pn qn 2 2等差數(shù)列的前 n 項和的性質(zhì)： SS 奇 nd nS 奇Sn1an 如項數(shù)為 2n n*,就 S2 n n an an 1, San（ 1） 奇San 1偶如項數(shù)為 2n 1 n *,就 S2 n 12n 1 an,Snan S1 an, S偶奇奇偶S 偶nSm, S2 m Sm ,S3m S2 m成等差數(shù)（ 2） Sn 是等差數(shù)列 n列 an 如等差數(shù)列 an , bn 的前 n 項和為 Sn ,Tn ,就 bn S2n 1 T2n 1 （ 3）等差數(shù)列的求和最值問題： （二次函數(shù)的配方

19、法；通項公式求臨界項法） 如 a1 0,就 Sn 有最大值,當(dāng) n=k 時取到的最大值 k 中意 ak 10d0ak 0第 8 頁,共 11 頁如 a10 ,就 Sn 有最小值,當(dāng) 0 n=k 時取到的最大值 k 中意 ak 100d ak 三,等比數(shù)列：從第 2 項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比 1,通項公式及其性質(zhì) an n1 a1q n m amq ab 如等比數(shù)列 an 的首項是 a1 ,公比是 q ,就 qn1an n m , q an a1 am a,G,b 成等比數(shù)列,就稱 G為 a 與 b 的等比2 G 中項 2n p q an 2ap a

20、q ap aq 性質(zhì)：如 an 是等比數(shù)列,就 mnpqam an am,am k,am 2 k,am 3k ,L成公比 q 的等比數(shù)列 2,前 n 項和及其性質(zhì) Sn na1 q 1, q 1 a1 q1 q na1 n Aq A, q1 a1 1 qna1 an q a1 n a1q 性質(zhì) 1q1q1q1qSn mSn n q Sm Sn , S2n Sn , S3 n S2n 成等比數(shù)列 如項數(shù)為 2n,就 Sq 偶 Sm, S2 m Sm ,S3m SS2m成等比數(shù);（檢驗 a1 是否中意 an Sn Sn 1） 奇列 四, 1 an 與 Sn 的關(guān)系： an S1 Sn 1n1n2S

21、n 12 3 Lnn n 1 22 2 1 222 3Ln2nn 1n 2 61 3 2 3 3 3 Ln3 2 n n 2 1 4五,一些方法 1 ,等差數(shù)列,等比數(shù)列的最大項,最小項；前 2 ,求通向公式的常見方法 n 項和的最大值,最小值 （ 1）觀看法；待定系數(shù)法（已知是等差數(shù)列或等比數(shù)列） ； （ 2） an an 1 f n, 累加消元 ; an f n, 累乘消元； an 1（ 3） an an 1 , 倒數(shù)構(gòu)造等差 : 1 1k ；an k an an 1第 9 頁,共 11 頁（ 4） an an an 1an an 1, 兩邊同除構(gòu)造等差 : 111 ； y ） an an

22、 1kan 1b, 化為 an x kan 1x 構(gòu)造等比 an qan 1pn r（, 構(gòu)造等比數(shù)列： anxn y q an 1x n 1an qan 1pn,化為 an qan 11 ,分 q是否等 1 爭辯； pnppn 1 p3 ,求前 n 項和的常見方法 公式法,倒序相加,錯位相減,列項相消,分組求和 數(shù)列學(xué)問點鞏固練習(xí) 一,選擇題 1, 一個三角形的三個內(nèi)角 A,B,C 成等差數(shù)列,那tan A C的值是（ ） ） ） 么 A 3B 3C 3D不確定 32, 等差數(shù)列 an 的公差為 2,如 a1 , a3 , a4 成等比數(shù)列,就 a 2 等于 A 4B 6C8D10 3, 等

23、比數(shù)列 an的前 3 項的和等于首項的 3 倍,就該等比數(shù)列的公比（ A 2 B 1 C 2 或 1 D2 或 1 4, 等差數(shù)列 an 中,已知前 15 項的和 S15 90 ,就 a8 等于（ ） A 45 2B12 C 45 4D6 5,等比數(shù)列 an 中 , an 0 ,a 5a6=9, 就 log 3 a1 log3 a2 log 3 a3 log 3 a10 D. 2 log 3 5 6, 等比數(shù)列 a n 的前 n 項和為 Sn , 如 S4=1, S8 =4,就 a13+a14+a15+a16=（ A 7 B16 C 27 D64 7,數(shù)列 an 的通項公式 an n1n 1 ,就該數(shù)列的前（ ）項之和等于 9A 98 B 99 C96 D97 a18 8,在等比數(shù)列 a n 中 ,a5a7=6,a2+a10=5, 就 a10 等于 A. 2或 3B. 2C. 3D. 2 或 3 3 232329,等差數(shù)列 an , bn 的前 n 項和分別為 Sn , Tn ,如 Sn Tn 2n ,就 anbn =（ ） 3n 1第 10 頁,共 11 頁A 2 3 an B 2n