小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論第八章-圖形與幾何的教學(xué)

1、第八章 圖形與幾何的教學(xué)第一節(jié) “圖形與幾何”教學(xué)的意義、內(nèi)容和要求 一、“圖形與幾何”教學(xué)的意義（一）有助于更好地認(rèn)識人類的生存空間對于學(xué)生來說，圖形直觀以及圖形分析是他們理解奇妙的自然世界和社會現(xiàn)象、解決學(xué)習(xí)和生活中各種問題的絕妙工具。隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展，如計算機制圖和成像技術(shù)的發(fā)展，幾何方法更是運用到人類生活和社會發(fā)展的各個角落。 1（二）有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念發(fā)展學(xué)生的空間觀念是全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的一個重要目標(biāo)，也是“圖形與幾何”教學(xué)的核心目標(biāo)之一。 在三維圖形與二維圖形的轉(zhuǎn)化過程中學(xué)生要經(jīng)歷對圖形的想象、重組和構(gòu)建的過程，在將數(shù)學(xué)或生活語言所描述的情景繪制成實際情景的過程

2、中，學(xué)生的空間觀念將得到發(fā)展。 2（三）有助于培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣3二、“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容和編排（一）圖形與幾何歷史簡介幾何學(xué)起源于埃及尼羅河泛濫后土地重新測量的需要；4古 埃 及 地 理 位 置 埃及是古代文明的發(fā)祥地之一。 “埃及是尼羅河賜予的禮物” ，尼羅河由南向北縱貫埃及，在紅海、利比亞沙漠和撒哈拉沙漠之間滋潤出一條狹長的綠洲，在這里產(chǎn)生了古埃及文明。5幾何這個詞最早來自于希臘語“”，由“”（土地）和“ ”（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術(shù)。后來拉丁語化為“geometria”。英語geometry幾何 geo代表的是土地， metrein指的是測量。 6中文中的“幾何

3、”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯幾何原本時，由徐光啟所創(chuàng)。 7利瑪竇利瑪竇 (Matteo Ricci; 1552 1610)意大利傳教士1606 年與徐光啟合作翻譯幾何原本前 6 卷。8徐光啟徐光啟（1562 ? 1633）嘉靖 41 年 ? 崇禎 6 年字子先，號玄扈，上海徐家匯人。1606 年與利瑪竇合作翻譯幾何原本前 6 卷。首先引進(jìn)幾何一詞。9在人們獲得了直線、圓等形的概念以后，而進(jìn)一步利用筆直的木棍作出直線，利用樹杈作出圓形的時候，他們已經(jīng)基本上掌握了這些圖形的性質(zhì)。在西安半坡遺址中，發(fā)現(xiàn)圓、正方形的房屋地基（圖8-），并在出土的陶器碎片上發(fā)現(xiàn)了大量的幾何圖形（圖8-）。 1

4、011古代埃及的數(shù)學(xué)吉薩金字塔(公元前2600年)（剛果，1978）1213（2）中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展?jié)h像磚伏羲女媧執(zhí)規(guī)矩圖14女媧伏羲執(zhí)規(guī)矩圖黃帝時代隸首作數(shù)15中國考古文物上的幾何圖案16測量幾何量必須有一個單位，即“量具”。最早的量具是很粗糙的，那時候最簡單、最方便的量具莫過于人體的某一部分。 我國古代常用“步”作為長度單位 。在西方，也有類似的例子。例如，英文中呎的原意足（foot），碼（yard）則來源于腰圍（gyrgand）之長等。 17幾何符號的出現(xiàn)簡化了復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，使得數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用成為可能。18第一學(xué)段的主要內(nèi)容是：認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形，感受平移、旋轉(zhuǎn)、對稱現(xiàn)象，

5、學(xué)習(xí)描述物體相對位置的一些方法，進(jìn)行簡單的測量活動，建立初步的空間觀念。第二學(xué)段的主要內(nèi)容是：了解一些簡單幾何體和平面圖形的基本特征，進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形變換和確定物體位置的方法，發(fā)展空間觀念。（二）小學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)內(nèi)容19事實上，小學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容經(jīng)歷了從偏重求積計算發(fā)展到增加圖形的概念和性質(zhì)、從偏重知識傳授轉(zhuǎn)變到重視空間觀念的培養(yǎng)的變化過程。 20（三）“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容的編排特點“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容不是嚴(yán)格按照知識的邏輯順序呈現(xiàn)，而以圖形的認(rèn)識為主線，根據(jù)兒童的生理和心理特征，按圖形內(nèi)容的邏輯關(guān)系來構(gòu)建內(nèi)容體系。采用“問題情境建立模型解釋、應(yīng)用于拓展、反思”的基本模式

6、展現(xiàn)內(nèi)容，而不是“公理定義定理性質(zhì)例題習(xí)題”的結(jié)構(gòu)形式。 21 1.“圖形的認(rèn)識”教學(xué)內(nèi)容的編排特點“圖形的認(rèn)識”的編排順序是：感知立體圖形辨認(rèn)平面圖形角和直角長方形、正方形的認(rèn)識銳角和鈍角認(rèn)識線段、射線和直線角相交和平行一認(rèn)識平行四邊形和梯形三角形長方體和正方體圓圓柱和圓錐。 22一年級設(shè)置了認(rèn)識三維立體圖形（如長方體、正方體、圓柱體、球體）的教學(xué)內(nèi)容；二至四年級編排了認(rèn)識二維平面圖形（角、線段、直線、射線、長方形、正方形、三角形、四邊形）的教學(xué)內(nèi)容；而五、六年級的教學(xué)內(nèi)容既包括長方體、正方體、圓柱、圓錐等三維幾何體的特征性質(zhì)也包括二維平面圖形圓的認(rèn)識。 23教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)大都采用直觀幾何、

7、實驗幾何的方式，設(shè)置的情境貼近學(xué)生的現(xiàn)實生活和日常經(jīng)驗，使學(xué)生獲得對簡單的幾何體和平面圖形的直觀經(jīng)驗，逐步認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系。 24（2）中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展如計算做一個油箱用多少鐵皮應(yīng)求六個面的面積，計算粉刷游泳池需要求四周和底面的五個面的面積，教學(xué)時教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從不同的地點去觀察同一個物體,并描述它的位置，使學(xué)生在思考中體驗到位置關(guān)系的相對性，深刻理解物體之間的位置關(guān)系，培養(yǎng)空間觀念。后者是由一般到特殊，是一種類比、限定的過程，是為了發(fā)現(xiàn)一般性問題的解法。在新知識教學(xué)中滲透類比思想“圖形的運動”教學(xué)內(nèi)容編排的特點“圖形的運動”教學(xué)內(nèi)容編排的特點（1）圖

8、形的識別與理解能力化“難”為“易”，即指導(dǎo)學(xué)生盡可能想辦法使其要解決的具體問題變得簡單一些。二、“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容和編排有的學(xué)生認(rèn)為原始圖與平移后圖形之間的距離即為平移距離，還有的學(xué)生將原始點數(shù)定為“1”，導(dǎo)致少數(shù)一格而出錯。字子先，號玄扈，上海徐家匯人。geo代表的是土地，創(chuàng)設(shè)問題情景，就是要為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)膶嶋H問題和知識背景，提出符合學(xué)生認(rèn)知水平的思考問題，經(jīng)過學(xué)生觀察、實驗、比較，作出猜想，為“圖形與幾何”知識的形成奠定感性基礎(chǔ)。解決旋轉(zhuǎn)問題過程中出現(xiàn)的問題其基本特征是連接任意一組對應(yīng)點的線段都被對稱軸垂直平分。解決圖形識別問題的方法但需要注意，直觀具體的日常語言描述幾何概念具有兩

9、面性。由于幾何圖形千變?nèi)f化、錯綜復(fù)雜，要準(zhǔn)確地數(shù)出復(fù)雜圖形中所包含的某一類幾何圖形的個數(shù)并不簡單。首先引進(jìn)幾何一詞。與線性的文字表征相比，幾何圖形往往帶有更多的相關(guān)或背景因素。中國考古文物上的幾何圖案 2.“測量”教學(xué)內(nèi)容編排的特點 “測量”的教學(xué)內(nèi)容不是單純的圖形面積和體積的計算，而是強調(diào)對量的實際意義的理解，讓學(xué)生在參與測量的過程中，自己選擇測量的工具和測量方法，從而進(jìn)一步掌握有關(guān)測量的知識和技能。 25 3.“圖形的運動”教學(xué)內(nèi)容編排的特點 “圖形的運動”教學(xué)內(nèi)容突出了與生活的聯(lián)系，強調(diào)活動經(jīng)驗的積累。 4.“圖形與位置”教學(xué)內(nèi)容編排的特點 “圖形與位置”教學(xué)內(nèi)容的編排采用了辨認(rèn)方向確定

10、位置描述路線的順序。26 三、“圖形與幾何”的教學(xué)要求（一）關(guān)注“圖形與幾何”知識的形成過程一般地說，在“圖形與幾何”教學(xué)過程中，教師針對圖形、測量、位置、變換等原發(fā)現(xiàn)過程進(jìn)行教學(xué)加工，設(shè)計一個學(xué)生可接受、可操作、可實現(xiàn)、可理解的的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生去揭示或感受知識發(fā)生的前提或原因，使其認(rèn)識和了解數(shù)學(xué)的概念、公式、例題以及應(yīng)用產(chǎn)生的背景和發(fā)展的過程。 271.創(chuàng)設(shè)問題情景，展現(xiàn)知識的發(fā)現(xiàn)過程創(chuàng)設(shè)問題情景，就是要為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)膶嶋H問題和知識背景，提出符合學(xué)生認(rèn)知水平的思考問題，經(jīng)過學(xué)生觀察、實驗、比較，作出猜想，為“圖形與幾何”知識的形成奠定感性基礎(chǔ)。以“角”這一概念的教學(xué)為例，首先設(shè)置摸紙片

11、的活動，“布袋里有五個硬紙片（圖8-），你能從布袋里把某個硬紙片摸出來嗎？”通過摸紙片，讓學(xué)生初步感受角的形狀特征。 28角（視頻）292.增加實驗操作，再現(xiàn)結(jié)論的探究過程如一年級小學(xué)生在直觀認(rèn)識正方形時，通過自己動手對折正方形紙片，能夠認(rèn)識到正方形“四邊相等”這一特征。又如，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和時，通過撕角、拼角把三角形紙片上的三個內(nèi)角拼成一個平角，證明了三角形的內(nèi)角和是180。 303.精心設(shè)計問題，揭示解決問題的思維過程數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，通過問題的解決來啟迪和發(fā)展學(xué)生的思維，在完成“圖形與幾何”知識學(xué)習(xí)的同時，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。 三角形的面積計算 （視頻）31（

12、二）“圖形與幾何”的實際背景1.生活實際背景“圖形與幾何”教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗和己有的知識出發(fā)，充分利用現(xiàn)實生活中的實際背景去理解知識； 對稱 （李彬課件）322.生產(chǎn)實踐背景結(jié)合生產(chǎn)實踐和生活實際去教學(xué)，探索知識發(fā)生、發(fā)展的背景，使學(xué)生靈活掌握和應(yīng)用所學(xué)的知識，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。 如計算做一個油箱用多少鐵皮應(yīng)求六個面的面積，計算粉刷游泳池需要求四周和底面的五個面的面積， 333.幾何發(fā)展史背景例如：教學(xué)“圓的認(rèn)識”時介紹一下圓周率的演變發(fā)展的過程，特別介紹圓周率的計算過程 。34（三）重視直觀感性材料的作用1.實物直觀2.模型直觀3.圖像直觀 35四、小學(xué)生幾何思維的發(fā)展 在20世紀(jì)5

13、0年代末，范希爾夫婦（Pierre van Hiele & Dina van Hiele）在格式塔心理學(xué)和皮亞杰發(fā)生認(rèn)識論的基礎(chǔ)上提出了幾何思維水平的理論。從整體上把幾何思維分為五個層次，即視角辨認(rèn)層次、分析層次或描述層次、非形式的演繹層次、形式演繹層次以及嚴(yán)密性層次；并提出了相應(yīng)的教學(xué)策略。3637為了更準(zhǔn)確地反映小學(xué)生幾何思維的發(fā)展，應(yīng)在范希爾夫婦所說的五個水平上再增加一個新的水平水平0(前認(rèn)知)。 38介紹小學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展階段。1.水平0：前認(rèn)知 學(xué)生能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，但因感覺活動的缺乏，他們可能只注意形狀直觀特征的某些部分，不能認(rèn)識到其中的組成部分。 39 2.水平1：視

14、覺對小學(xué)生而言，他們能按照外觀識別圖形，在心理上把這些圖形表示為直觀圖形，例如學(xué)生可能會因為“三角形像三明治，長方形像門”區(qū)分三角形和長方形。然而，學(xué)生不關(guān)心圖形的幾何性質(zhì)和本質(zhì)特征，因此不能正確區(qū)分正方形和菱形，而認(rèn)為兩種圖形是“相等”的。 403.水平2：分析學(xué)生開始分析圖形的組成要素，能借助觀察、測量、畫圖和建模等手段經(jīng)驗地建立圖形的性質(zhì)特征，并依據(jù)性質(zhì)特征識別圖形，但不能解釋圖形的某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也不能識別不同類圖形之間的關(guān)系。例如，無論三角形在形狀上有多大的差異，學(xué)生都通過三條邊和三個角的特征性質(zhì)，準(zhǔn)確地識別各種形態(tài)的三角形，但是沒有構(gòu)建邊和角的聯(lián)系，即不能理解三角形內(nèi)角越大，對

15、應(yīng)邊越長的性質(zhì)。 414.水平3：非形式化演繹學(xué)生能形成抽象的定義，開始注意圖形與圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，進(jìn)一步探索圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，因而能分層次地將圖形進(jìn)行分類，并使用公式與定義對這些類別進(jìn)行非形式化的論證。 42第二節(jié) 圖形與幾何概念與技能教學(xué)一、圖形的認(rèn)識 （一）空間觀念的理解1. 空間觀念的基本成分 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對空間觀念培養(yǎng)作了如下描述：“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等”。 43在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，空間觀念主要包含如下基本成分。

16、（1）圖形的識別與理解能力（2）圖形的分解與組合能力（3）圖形的建構(gòu)與探索能力 （4）對圖形的運動與變換的欣賞 （5）利用幾何直觀解決問題能力 44密鋪的例子45 2. 小學(xué)生空間觀念發(fā)展的心理特點 （1）直觀性小學(xué)生的認(rèn)知水平基本上處于“具體運算階段”，認(rèn)識幾何圖形主要通過動手操作（做一做、拼一拼、搭一搭、畫一畫等活動），尤其是低年級學(xué)生，對圖形的感知往往偏重于對象的直觀性較強的屬性特征，對那些不太明顯的屬性特征和比較抽象的幾何概念的理解比較困難。 46（2）描述性小學(xué)生往往傾向于用日常用語來描述幾何概念，對于精確的、嚴(yán)格的幾何概念，往往很難理解。但需要注意，直觀具體的日常語言描述幾何概念具

17、有兩面性。 47一方面，當(dāng)日常用語與科學(xué)概念一致時，有助于學(xué)生逐步建立空間觀念，如對“三角形”的描述，會更多地借用日常經(jīng)驗中的“三角”，或?qū)Α罢叫巍泵枋鰹椤胺綁K”，并會用這種描述來作為圖形的識別圖式。另一方面，當(dāng)日常用語與科學(xué)概念不一致時，會影響準(zhǔn)確科學(xué)的幾何概念的形成，從而干擾正確的空間觀念的建立。如學(xué)生容易受到日常用語“角是尖的”這一概念的干擾，對于平角和周角的認(rèn)識產(chǎn)生困難，并且學(xué)生在實物中往往指著頂點說”角”，影響了“從一點引出兩條射線所組成的圖形”這一角的概念的形成。 48（3）漸進(jìn)性小學(xué)生形成幾何概念、理解圖形性質(zhì)以及維數(shù)的認(rèn)識，都需要一個逐步發(fā)展的漸進(jìn)過程。首先，小學(xué)生對幾何概念

18、的理解不是一步到位的，而是一個漸進(jìn)的過程，這個過程與小學(xué)生空間思維水平發(fā)展的階段性相關(guān)。其次，小學(xué)生通過觀察、操作、實驗?zāi)軌虬l(fā)現(xiàn)幾何對象的性質(zhì)特征，但是對于不同對象的性質(zhì)特征關(guān)系的理解往往比較困難。再次，小學(xué)生維數(shù)的認(rèn)識也是漸進(jìn)的過程，從二維空間發(fā)展到三維空間是相當(dāng)困難的。 49（4）標(biāo)準(zhǔn)性雖然標(biāo)準(zhǔn)圖形有利于小學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)特征，但是標(biāo)準(zhǔn)圖形的呆板、單一，會在學(xué)生頭腦中形成思維定勢，忽視了事物的變化發(fā)展，混淆了幾何圖形的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征。因此，在教學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)圖形和變式圖形要結(jié)合運用，使用標(biāo)準(zhǔn)圖形，喚起學(xué)生生活中已有的經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生對圖形本質(zhì)特征的認(rèn)識。 503.小學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)首先

19、，學(xué)生經(jīng)驗是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)。 教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識” 切土豆其次，空間觀念在發(fā)展的過程中逐步形成。 再次，空間觀念的形成需要自主探索與合作交流的氛圍。 51（二）一般幾何圖形的認(rèn)識1.影響小學(xué)生認(rèn)識幾何圖形的因素（1）原有經(jīng)驗（2）圖形的綜合性與線性的文字表征相比，幾何圖形往往帶有更多的相關(guān)或背景因素。在概念的形成過程中，一個常見的障礙是“把不重要但卻是一般的特征看作為概念的重要特征”。由此導(dǎo)致的錯誤包括：角必須有一條水平的射線；直角是指向右邊的； 52（3）視覺信息的表征小學(xué)生最初是以視覺辨認(rèn)幾何圖形，而不是用形體特征去分析，因此視覺信息的表征是影響小學(xué)生形體概念發(fā)展的一個重要因素

20、。研究表明，大多數(shù)學(xué)生表達(dá)視覺信息都有一段困難時期，尤其當(dāng)任務(wù)是由二維工具（如紙和筆）表達(dá)三維情景（如由小的磚塊搭成的大樓）或反過來，這種維度上的差異會導(dǎo)致視覺上的“失真”，并引起直覺上的誤解，如把正方體的上、下、左、右四個面看成是平行四邊形。532.一般幾何圖形認(rèn)識的教學(xué)策略（1）借助直觀，逐步抽象，解釋幾何圖形的基本特征（2）運用變式，多方理解，強化幾何圖形的基本特征（3）重視幾何圖形分類的價值54（三）特殊幾何圖形認(rèn)識1.角的認(rèn)識（1）角的形成與發(fā)展數(shù)學(xué)中角的概念可以分成以下三個方面來說明：角是一雙定出兩個方向間的差量之射線；角是自同一端點射出的兩射線圍出的一個平面區(qū)域；角是一射線繞其端

21、點旋轉(zhuǎn)一個程度的量 。55小學(xué)階段，角的認(rèn)識內(nèi)容包括：初步認(rèn)識角，了解直角、銳角、鈍角、平角和周角，以及了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。 56（2）認(rèn)識角的教學(xué)策略設(shè)計層次性活動，建立角的表象找角活動。摸角活動。發(fā)明角活動。臨摹角活動。57提供多樣化的角，加深對角的理解理解角的概念要與角的大小、度量、畫法、分類緊密結(jié)合起來582.平行的認(rèn)識（1）平行的概念歐幾里得：平行線是同一平面內(nèi)的直線向兩個方向無限延長，不論哪個方向都不會相交。永不相交。等距離。在同一平面內(nèi)，同時垂直于第三條直線的兩條直線，此兩條直線會互相平行。59（2）平行概念教學(xué)的策略借助學(xué)生的生活經(jīng)驗，促進(jìn)平行意義的

22、理解增強變式圖形練習(xí)，強化平行概念的掌握縱橫交錯，組建知識體60 （五）識圖和作圖技能教學(xué) 1識圖技能小學(xué)生識圖技能可以分為相互關(guān)聯(lián)的3個二級子項：圖形形狀、位置關(guān)系和度量關(guān)系。對圖形形狀的識別直線型（三角形、四邊形及多邊形等）；曲線型（圓及扇形等）。對圖形位置關(guān)系的識別直線型（平行、相交、垂直等）。對圖形度量的識別長度、角度、面積、大小關(guān)系的辨認(rèn)等。612. 作圖技能運算、作圖、推理是三種基本的數(shù)學(xué)活動，因此“能算、會作圖和會推理”是三種基本的數(shù)學(xué)技能。 62 二、測量（一）長度測量我國小學(xué)“圖形與幾何”中關(guān)于長度測量的教學(xué)內(nèi)容，包括對毫米、厘米、分米、米、千米的認(rèn)識，以及簡單計算，量線段的

23、長度和畫線段(限整厘米)。 63（二）面積測量在小學(xué)階段，我們主要討論平面圖形的面積。有關(guān)面積的概念，在數(shù)學(xué)教材中一般采用如下幾種描述方式：平面上一個封閉圖形所包圍部分的大?。晃矬w的表面或圍成的平面圖形的大?。欢攘科矫婊蚯嫔弦粔K區(qū)域的大小。64數(shù)學(xué)家給出的面積概念是：所謂平面多邊形的“面積”，是指使每一多邊形跟滿足下列條件的一個量相對應(yīng)：兩個全等的多邊形有相同的面積，不論它們在空間所占的位置如何；兩多邊形(沒有任何公共內(nèi)點)之和的面積，等于這兩個多邊形的面積之和；約定邊長等于單位長度的正方形作為面積的單位。65（三）體積測量體積是對“物體”大小的量度，憑直覺就能理解。在數(shù)學(xué)教材中寫道：“物體

24、所占空間的大小，叫做物體的體積”，這并不是嚴(yán)格的定義，只是一種解釋，對學(xué)生理解“體積”其實沒有多少幫助。因為什么是“空間”，比體積更難懂，有可能會越說越糊涂。實際上，我們要做是告訴學(xué)生，物體運動后體積不變，不重疊的兩物體之并的體積是原來兩物體的體積之和，A包含B則A的體積比B大等等體積的特征。這是度量物體體積的基本依據(jù)。66三、圖形的運動目前世界各國幾何課程的一個普遍現(xiàn)象是：特別重視變換和對稱思想，許多國家從小學(xué)一年級開始涉及各種圖形變換。 67（一）“圖形的運動”相關(guān)概念1平移在平面中，將一個圖形沿某一方向移動一定的距離得到另一個圖形，這樣的圖形變換稱作平移。其基本特征是不改變圖形的形狀和大

25、??；由平移得到的圖形上的所有點與原圖上的所有的點不僅是一一對應(yīng)的關(guān)系，而且對應(yīng)點的連線方向相同、長度也相等，即平移前后圖形對應(yīng)點之間的連線相互平行且相等。因此，確定平移變換需要兩個因素：一是方向，二是距離。682旋轉(zhuǎn) 在平面內(nèi)，將一個圖形繞一點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，得到另一個圖形，這樣的圖形變換稱作旋轉(zhuǎn)。其基本特征是不改變圖形的形狀和大?。粓D形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等，各組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)的角度。因此，確定旋轉(zhuǎn)變換需要的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角。693對稱（1）對稱的概念小學(xué)數(shù)學(xué)對對稱變換的討論，僅限于平面圖形關(guān)于一條直線的軸對稱。所謂軸對稱，是指

26、如果連接新圖形和原圖形中每一組對應(yīng)點的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分。這樣的圖形變換也稱作反射變換。其基本特征是連接任意一組對應(yīng)點的線段都被對稱軸垂直平分。對稱圖形被對稱軸分成的兩部分的所有點具有一一對應(yīng)關(guān)系，因此，確定軸對稱變換的關(guān)鍵在于找到對稱軸。70（2）對稱的價值對稱不僅是數(shù)學(xué)的研究對象，更是數(shù)學(xué)研究的工具。對稱可以導(dǎo)致美。對稱圖形是美的，對稱觀念是美的，對稱理論更是美的。對稱是哲學(xué)上的一種關(guān)系。71（二）“圖形的運動”教學(xué)策略1.“圖形的運動”教學(xué)要分層實施“圖形的運動”課程目標(biāo)分為三個層次：感知變換認(rèn)識變換畫出或補全圖形。 2.從變換的角度欣賞圖形、設(shè)計圖形3.重視從變換角度

27、認(rèn)識圖形72四、圖形與位置“圖形與位置”這一部分內(nèi)容，是新增加的內(nèi)容，主要是讓學(xué)生在辨認(rèn)方向的基礎(chǔ)上，能夠根據(jù)方向和距離確定物體的位置、描述路線圖以及用數(shù)對表示位置。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)對定位法和方位角定位法兩種確定位置的方法，實際上分別對應(yīng)了中學(xué)要學(xué)習(xí)的平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)做了鋪墊。 73數(shù)學(xué)課除了需要用數(shù)學(xué)語言描述位置外，最主要的是要思考背后的道理，即為什么用數(shù)對就能刻畫平面上點的位置。實際上是涉及到對維數(shù)的認(rèn)識。教師可以設(shè)計一些活動，使學(xué)生體會到，如果在一條直線上確定位置，只要1個數(shù)就可以了，如在一排中確定位置，只需要知道從哪個開始數(shù)即可；在平面上確定位置需要2個數(shù)，即

28、數(shù)對，如在教室中確定座位位置，需要知道哪一排、哪一列這兩個數(shù)；而在三維空間確定位置時，則需要3個數(shù)，如電影院分上下兩層，則需要用哪層、哪排、哪列三個數(shù)確定座位位置。74第三節(jié) 圖形與幾何解決問題教學(xué)一、圖形的認(rèn)識（一）解決圖形識別問題的教學(xué)小學(xué)階段，主要涉及點、直線、射線、線段、角、相交直線、垂直直線、平行線、三角形、四邊形、多邊形、扇形、圓和長方體、正方體、圓柱、圓錐等基本圖形。圖形識別教學(xué)從某種意義上講，就是使學(xué)生認(rèn)識這些基本圖形的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生運用基本圖形的方法去分析問題和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。751.解決圖形識別問題的方法（1）直觀法。從學(xué)生熟悉的實際例子引入，引導(dǎo)學(xué)生探索

29、它們的共同特征，然后抽象出圖形的本質(zhì)屬性。（2）演示法。提供鮮明的感性材料，利用幾何圖形的直觀教具進(jìn)行演示，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，使其感知并獲得具體鮮明的形象，形成圖形的表象；另一方面，表象常常是概括了許多感知形象的，所以表象又具有概括性特征。76（3）利用變式。為了使學(xué)生全面正確地認(rèn)識某一圖形，可以給學(xué)生提供各種直觀材料或事例，不斷變換非本質(zhì)屬性，而本質(zhì)屬性保持不變。例如，教學(xué)兩條直線互相垂直，可以變換如下不同方位的形式：77（4）反例強化。為了鞏固深化所學(xué)的知識，幫助學(xué)生概括出圖形的本質(zhì)特征，可適當(dāng)利用反例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，以達(dá)到強化正確知識的目的。（5）轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化圖形，例如，三角形、平行四邊

30、形、長方形、梯形三個圖形，無論是把平行四邊形通過割補轉(zhuǎn)化成長方形，還是把兩個重合的三角形拼成一個平行四邊形，無不是在“轉(zhuǎn)化圖形” 7879（6）歸納總結(jié)。學(xué)完一部分圖形知識后，為了使這部分知識系統(tǒng)化、條理化，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)。歸納總結(jié)的形式可以采取多種方式，如條目式、網(wǎng)絡(luò)式、集合圖等。80（二）解決圖形計數(shù)問題的教學(xué)圖形計數(shù)就是數(shù)圖形，主要包括數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形、數(shù)長方形、數(shù)正方形、數(shù)簡單的立體圖形等。由于幾何圖形千變?nèi)f化、錯綜復(fù)雜，要準(zhǔn)確地數(shù)出復(fù)雜圖形中所包含的某一類幾何圖形的個數(shù)并不簡單。既便如此，并非無章可循，需要我們根據(jù)圖形的特點，按照一定順序進(jìn)行仔細(xì)觀察，有條理、有次序地

31、分析，并通過觀察與思考，探尋出圖形的排列規(guī)律，找出合理可行的數(shù)圖形的方法。81（三）解決內(nèi)角和問題的教學(xué)三角形內(nèi)角和是掌握多邊形內(nèi)角和及解決其他實際問題的基礎(chǔ)。為了使學(xué)生能夠真正理解、靈活運用，可以采用以下幾種方法解決問題：度量法。拼合法。折疊法。圖解法。分割法。82二、測量（一）解決長度測量問題1.等效替代法2.平移法3.累積法83（二）解決角度測量問題角的度量問題首先，學(xué)生看不到量角器上的角，這與學(xué)生對角的概念的理解比較淺有關(guān)；其次，即使看到了量角器上的角，也不知道怎樣才能使量角器上的角與所測量的角重合；再次，在針對在不同位置擺放的角進(jìn)行度量的過程中，個別學(xué)生往往在判斷何時該認(rèn)讀內(nèi)圈刻度數(shù)

32、，何時該認(rèn)讀外圈刻度數(shù)時出現(xiàn)錯誤。84（三）解決面積計算問題圖形面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，靈活巧妙地運用面積計算公式解決實際面積計算問題，是提高數(shù)學(xué)實踐能力的重要體現(xiàn)。在解決不規(guī)則圖形面積問題時，學(xué)生往往會感到困惑，甚至于無從下手。在小學(xué)階段，解決面積計算問題主要采用的是割補法。 8586（四）解決體積測量問題“圖形與幾何”教學(xué)中增加了探索不規(guī)則物體體積的測量方法，小學(xué)階段測量不規(guī)則物體體積的方法主要有幾下兩種。1.量液體求體積。2.稱重量求體積。87三、圖形的運動（一）小學(xué)生在解決圖形變換問題過程中出現(xiàn)的主要問題1.解決對稱問題過程中出現(xiàn)的問題對“兩個圖形成軸對稱”與“軸對稱圖形

33、”兩概念理解不透。 88對于軸對稱概念的理解處于表面化，對成軸對稱的兩個圖形的必備條件理解不徹底，認(rèn)為只要兩個圖形的大小、形狀完全一樣就是軸對稱，忽視了兩個圖形的位置關(guān)系。例如出現(xiàn)“形狀一樣的兩個圖形成軸對稱”“能夠完全重合的兩個圖形成軸對稱”的錯誤。89對稱軸的理解存在問題，忽視了對稱軸是“直線”。例如出現(xiàn)“角的對稱軸是角平分線”、“圓的對稱軸是直徑”的錯誤。在方格紙上畫出一個圖形的另一半，使它成為一個軸對稱圖形，對初學(xué)者而言是一個比較困難的問題。有時學(xué)生不能準(zhǔn)確把握軸對稱圖形方向相反，忽視了各對應(yīng)點到對稱軸的距離相等的特點。902.解決平移問題過程中出現(xiàn)的問題有的學(xué)生認(rèn)為原始圖與平移后圖形

34、之間的距離即為平移距離，還有的學(xué)生將原始點數(shù)定為“1”，導(dǎo)致少數(shù)一格而出錯。 3.解決旋轉(zhuǎn)問題過程中出現(xiàn)的問題確定旋轉(zhuǎn)變換需要三個要素，即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，三者缺一不可。在解決旋轉(zhuǎn)問題時，學(xué)生容易忽視其中某一因素，而出現(xiàn)問題。91（二）圖形的運動解決問題教學(xué)策略1.感悟圖形變換的數(shù)學(xué)意義“圖形的運動”教學(xué)屬于經(jīng)驗幾何的范疇，通常以學(xué)生生活經(jīng)驗為素材進(jìn)行教學(xué)，但在實際操作中，應(yīng)當(dāng)注意數(shù)學(xué)知識和生活經(jīng)驗之間的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)并不等同于生活，有其自身的特點和要求。教師要凸顯“數(shù)學(xué)化”過程，讓學(xué)生通過觀察、比較、分類、歸納、概括等數(shù)學(xué)活動，將感性材料逐步進(jìn)行實質(zhì)性抽象概括，建構(gòu)對

35、圖形變換的本質(zhì)屬性的理解。922.精選、簡化學(xué)習(xí)材料，凸顯變換的本質(zhì)在讓學(xué)生觀察生活中的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象時，要注意引導(dǎo)他們對觀察對象加以適當(dāng)?shù)暮喕⒊橄?，忽略一些無關(guān)緊要的細(xì)節(jié)，著重從圖形變換的角度去觀察、思考。 933. 加強圖形變換的應(yīng)用“圖形的運動”是應(yīng)用性很強的內(nèi)容，而且各種變換之間容易混淆，需要經(jīng)過一定數(shù)量的基本訓(xùn)練才能搞清它們的聯(lián)系和區(qū)別，掌握各種變換的特性，運用各種變換解決實際問題。94四、圖形與位置解決問題教學(xué)圖形與位置內(nèi)容可以概括為相對位置、方向與路線圖兩部分，位置與方向既有區(qū)別，又有聯(lián)系。無論是上下、前后、左右，還是東、南、西、北，都既可以用來描述物體的相對位置，又可以

36、用來說明方向。 95（一）解決位置關(guān)系相對性問題教學(xué)時教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從不同的地點去觀察同一個物體,并描述它的位置，使學(xué)生在思考中體驗到位置關(guān)系的相對性，深刻理解物體之間的位置關(guān)系，培養(yǎng)空間觀念。96（二）解決確定位置的問題小學(xué)階段，確定位置的方法多樣化，教師要幫助學(xué)生了解，各種方法的特點以及使用范圍。1.行列定位法，即把平面分成若干行、若干列，然后利用行數(shù)和列數(shù)表示平面上點的位置。2.區(qū)域定位法，是生活中確定位置常用的方法，它需要根據(jù)區(qū)域標(biāo)號才能確定物體的位置。3.方位角定位法，即運用方位角確定物體的位置。97984.數(shù)對定位法。顧名思義，用一對有序數(shù)對來確定物體的位置。例如，根據(jù)座位表確

37、定學(xué)生的位置 99（三）解決讀方格圖的問題 方格圖是學(xué)生在經(jīng)過了對列和行的認(rèn)識后，抽象出的簡單明了的圖，很多地圖也采用了這樣的方式，將方格附在位置上，就可以輕松地用數(shù)對表示位置。 100第四節(jié) 圖形與幾何思想方法教學(xué)一、圖形與幾何中蘊含的類比思想類比是通過對兩個研究對象的比較，根據(jù)它們某些方面(屬性、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、地位、關(guān)系、特征、形式等)的相同或相類似之處，推出他們在其他方面也可能相同或相類似的一種推理方法。 101（一）圖形與幾何教學(xué)中滲透類比方法波利亞指出“在求解(求證)一個問題時，如果能成功地發(fā)現(xiàn)一個比較簡單的類比題，那么這個類比問題可以引導(dǎo)我們到達(dá)原問題的解答?！?小學(xué)“圖形與幾何”中

38、涉及的類比方法主要有：特殊形體與一般形體的類比、高維與低維的類比、有限類比、方法類比等。1021.特殊形體與一般形體的類比，包括兩個類比過程，即一般化和特殊化過程。前者是由特殊到一般，是一個抽象、概括的過程，是一種類比、推廣的過程，是一種發(fā)散的思維過程。如通過認(rèn)識三角形、四邊形類比到認(rèn)識多邊形。后者是由一般到特殊，是一種類比、限定的過程，是為了發(fā)現(xiàn)一般性問題的解法。 1032.低維與高維類比，是一種縱向類比，分為升維類比和降維類比，后者可以通過展開、平移、旋轉(zhuǎn)以降維。此種類比方法常用于數(shù)學(xué)同一分支內(nèi)，在幾何學(xué)中主要涉及空間問題與平面問題的類比，如直線與平面的類比、三角形與圓錐體的類比、圓與球的

39、類比、長方形與長方體的類比、長度單位與面積單位的類比、面積單位與體積單位的類比等。1043.有限類比。即研究一個有關(guān)“無限”的問題時，先考察并解決一個與它類似的有限的問題，然后將解決后者時所用的方法或所得到的結(jié)果，試用于解決原來的有關(guān)“無限”的問題。簡言之，通過無限與有限的類比解決有關(guān)無限的問題。如圓的面積公式推導(dǎo)。 1054.方法類比。即通過對已解問題處理方法的研究去類比所求問題的解法。不僅在“數(shù)量關(guān)系”和“性質(zhì)”方面可類比，而且在邏輯方法上也是可以進(jìn)行類比的。如正方體有12條棱，計算方法是：正方體由6個正方形封閉拼成，每個正方形4條邊，共24條邊，每兩邊重疊成一棱，于是46212（條）。那么足球上短縫數(shù)量的計算方法可以類比正方體棱數(shù)的計算方法。即先