2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(新課標(biāo)Ⅰ)

1、2020 年普高等學(xué)校招全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)+答案一、選題（題共 10 題，每小題 6 分共 60 分）若 i則22z|=（ ） C. 【答案】D【解析】【分析】 由題意首先求得 z z 的，然后計(jì)算模即.【詳解】由題意可得： z 2 ，則 z i 故z 故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的求解等知識(shí)，屬于基礎(chǔ).設(shè)集合 =x40，=x|2x+a，且 AB=2 x， = ） 4 2 C. 4【答案】B【解析】【分析】由題意首先求得集合 B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得關(guān)于 a 的程，求解方程即可確定實(shí)數(shù) a 的.【詳解】求解二次不等式 2 可得： 求解一次不等式2 x 可得：B 由于 B a

2、2，解得：a 故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，不等式的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求能.埃及胡金字塔是古代世界建筑奇跡之一的形狀可視為一個(gè)正四棱錐以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長比值為（ ）5 4 C.5 4 【答案】C【解析】【分析】設(shè) PE ，利用 PO2 得關(guān)于 , b 方程，解方程即可得到答.【詳解】如圖，設(shè) CD ， OE b a4，由題意PO 2 ， a2 ab4 ，化簡(jiǎn)得 4( ) ，解得b 1 5 （負(fù)值舍去）. a 故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的

3、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易已知 為拋物線 C=2px（0上一點(diǎn)，點(diǎn) 到 C 的點(diǎn)的距離為 ，到 軸距離為 9，則 （ ） A. B. C. D. 9【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 F由拋物線的定義知| AF x A ， 2 ，解得 6.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易某校一課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率 y 和度 （位C的系，在 20 個(gè)同溫條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) ( x , )(i ,20)i i得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖 C 40C 間下面四個(gè)回歸方程類型中最

4、宜作為發(fā)芽率 y 和度 的歸方程類型 的是（ ） bxy a C. y y ln x【答案】D【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可選擇合適的函數(shù)模.【詳解】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率 和溫度 的回歸方程類型的是y ln 故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點(diǎn)圖的分布，屬于基礎(chǔ).cos 9 結(jié) 函數(shù) f x) x x 的圖像在點(diǎn)cos 9 結(jié) ， 處的切線方程為（ ）C.y y 2 x y 2 【答案】B【解析】【分析】求得函數(shù) f x，計(jì)算出f 的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即【詳解】f x， f x， f ，因此，所求切線的

5、方程為 故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題設(shè)函數(shù)f ( ) cos( )在 的圖像大致如下圖，則 f(x的最小正周期為（ ）A.C. B.D. 2【答案】C【解析】【分析】由圖可得函圖象過點(diǎn) 9,0 得 4 ,06 9是函數(shù)f 圖象與 軸半軸的第一個(gè)交點(diǎn)即可得到 9 即可求得再利用三角函數(shù)周期公式即可 9 r 得解. 9 r 4 【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn) ，將它代入函數(shù)f 9 又 49,0是函數(shù)f 圖象與 軸半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，所以4 9 6 ，解得：所以函數(shù)f T 的最小正周期為 3 32故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考

6、查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔 ( x )( 5的展開式中 x3y3 的數(shù)為（ ）A. C. 15【答案】C【解析】【分析】B. D. 求得 展開式的通項(xiàng)公式為Tr r x55 yr（r N且r y 可得 與 ( y )展開式的乘積為C r 6 yr或C r5x4 yr 形式，對(duì) r 分別賦值為 ， 可求得x3y3的系數(shù)，問題得解.【詳解】 ( x )展開式的通項(xiàng)公式為Tr r5x yr（r N且r ） y 所以 的各項(xiàng)與 ( x y )展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：r xC r 55yr r 56 yr和 2 y 2 r x yr r r 在r r 56 yr中，令r ，可得： 3 y 4 ，

7、該項(xiàng)中x3y3的系數(shù)為，r r 在 2 y 2 r x r 中令 r ，得： T 1 3 y ，該項(xiàng)中 x 3y3的系數(shù)為所以x3y3的系數(shù)為 10 故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分能力，屬 于中檔題已知 (0, )，且3cos2，則 sin（ ）A.C.B.D.59【答案】A【解析】【分析】用二倍角 余公式，將已知方轉(zhuǎn)化為關(guān)于 cos 的一元二次方程，求解得出cos 再用同角間的三角 函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】的 ，得 6cos ，即 3cos ，得cos 或cos （舍去又 (0, sin 53.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒

8、等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查算求解能 力，屬于基礎(chǔ)題10.已A , 為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)， O 為ABC的外接圓，若 O 的積為 ，AB OO1，則球O的表面積為（ ）A.64B.48C. D.32【答案】A【解析】【分析】由已知可得等邊 ABC 的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得 的，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半1徑，即可得出結(jié).【詳解】設(shè)圓 O 半徑為 r，球的半徑為 ，依題意，得 2 r ABC為等邊三角形，由正弦定理可得 AB r sin ， 3 ，根據(jù)球的截面性質(zhì)O 1平面ABC， OA OO OO 2 2 ， 1 1 球 的表面積 S 2 故選：A【

9、點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ) 二、填題：本題共 題，每題 5 分，共 分。11.若 x， 滿約束條件 x y 0, x 0, y 0,則 z= 的大值為_【答案】1【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大 【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 2 2 2 2目標(biāo)函數(shù) x y 即 y z ，其中 z 取得最大值時(shí)，幾何意義表示直線系在 y 軸的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn) 處得最大值，聯(lián)立直線方程： y x ，可得點(diǎn) A 的標(biāo)為： A ，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：z 故答案為：

10、1【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù) z(ab值，當(dāng) 時(shí)直線過可行域且在 y 軸截最大時(shí) 值最大，在 y 軸距最小時(shí)，z 值最小；當(dāng) b ，直線過可行域且在 y 軸截最大時(shí)z 值最小，在 y 軸 上截距最小時(shí)， 值大12.設(shè) 為位向量，且 ， a |【答案】 3【解析】【分析】整理已知可得： a ，利用 a 為位向量即可得 2 a 變形可得：a a a ，題得解【詳解】因?yàn)?a 為單位向量，所以a b 所以 a a 解得： 2a c 2 2 ， 即 c 2 2 ， 即 所以 a a 3故答案為： 3【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔.13.已 F 為曲線 C :x y 2 b 0)

11、 的右焦點(diǎn)，A 為 的右頂點(diǎn) 為 C 的點(diǎn)，且 垂于 x a 2 b軸.若 的率為 3則 C 的心率為_【答案】2【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知， BF ba， ，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可 【詳解】聯(lián)立 x x 2 y 2 2 2 2 2 b2 ，解得 2 ，以 .y 依題可得，BFAF， b 2 c c ，變形得c ，c a因此，雙曲線C的離心率為 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14.如，在三棱錐 P 平面展開圖中， 則 FCB=_3 ，ACAB，CAE，【答案】【解析】【分析】在 ACE中，利用余弦定理可求得CE，

12、可得出CF，利用勾股定理計(jì)算出、 ，可得 BF ，然后在BCF中利用余弦定理可求得 FCB的值【詳解】AB AC， AB ，AC ，由勾股定理得 AB22，同理得 ， BF ，在 ACE中，AC ， AD 3 ， CAE 30 ，由余弦定理得 2223 AC cos30 ，2 ，在BCF中，BC ， ，CF ，CF 2 2 BF 1 由余弦定理得 FCB 2 2 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等.三、解題：共 70 .解應(yīng)寫出字說明、證過程或算步驟 第 為必考，每 個(gè)試題生都必須作 .第 、 為選考題考生根要求作答 .q n （一）考題：共 60 分.q

13、n 15.設(shè) n是公比不為 1 的比數(shù)列， 為 ， 的等差中項(xiàng)（1）求 n的公比；（2）若a ，數(shù)列 na 前 項(xiàng) 1 n【答案） ） S 1 9【解析】分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立比 的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（）結(jié)合條件得出 n的通項(xiàng)，根據(jù) n的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié).【詳解） n的公比為 q ， 為 a 2 3的等差中項(xiàng)， a q 1 1 ；2 ，（2）設(shè)na n前 n 項(xiàng)為 S ， a a 1 nn ， 的2 ( n ， n2 3( n ( n， ，3 n nn n 1 n)( ( 3n， 1 9【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)

14、的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，查計(jì)算求 解能力，屬于基礎(chǔ)題.16.如， D 為圓錐的頂，O是圓錐底面的圓心， 為面徑， AE AD 是底面的內(nèi)接正三角形， P 為 DO 上點(diǎn)， 66DO （1）證明： PA 面 ；（2）求二面角B 的余弦值【答案）明見解析） 【解析】【分析】2 5（1）要證明 PA 面PBC，只需證明 PA ，PA PC即可；（2）以 O 為標(biāo)原點(diǎn)OA x 軸 為 y 軸立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面PCB的法向量為 n ，平面PCE的法向量為 ，利用公式 m, n | | 計(jì)算即可得到答.【詳解）題設(shè)，知 等邊三角形，設(shè) AE 則 DO ， BO AE 26 ，所以

15、 PO DO ，6 4PC 2OC26 PB 2 2 4 又 為邊三角形，則BA 603，所以 BA ， 2PA PB AB2，則 APB 90 ，以 PA ，同理 ， PC PB ，所以 面 ；（2）過 O 作 ON BC 于 N，為PO 平面ABC，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)OA 為 軸， 為 y 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 得 ， 得 2 2 ， 得 ， 得 2 2 則 ( 1 2 3 ,0,0), (0,0, ), B( , ,0), ( ,0) ，2 4 4 4 1 3 2 1 3 PC , , ) ， , ) ， PE ) 4 4 4 設(shè)平面 PCB 的個(gè)法向量為n x , y ,

16、z ) 1 1，由 n n 3 y 1 ，令 ，得 1 1，所以 2,0, ，設(shè)平面 的個(gè)向量為m , , z ) 2 2由 m z 22 2 z2 ，令x 3，得 z 2, ，3所以 (1,33 故 n | |2 2 2 510 ，3 3設(shè)二面角B PC 的小為 ，則 【點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象能力數(shù)學(xué)運(yùn)算 能力，是一道容易題.17.甲乙、丙三位同學(xué)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽4 4 1 4 的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者4 4 1 4 當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)

17、比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為 （1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概. 3 【答案） ） 4 12，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可得事件“甲連勝四場(chǎng)”的概率；（2）計(jì)算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率然后利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)事件的概率乘法公式計(jì)算出甲贏的概率，由對(duì)稱性可知乙贏的概率 和甲贏的概率相等，再利用對(duì)立事件的概率可求得丙贏的概【詳解）事件 : 甲連勝四場(chǎng)，則 M ； 16（2）記事件 為甲輸，事

18、件 B 為輸，事件 C 為輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為 ， 所以，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為 34；（3）記事件 為甲輸，事件 B 為輸，事件為丙輸，記事件 :甲贏，記事件 :丙贏，則甲贏的基本事件包括： 、 、 、 BCACB BCABC 、 BCBAC 9所以，甲贏 概為 M 32由對(duì)稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，. 2 y . 2 y 所以丙贏的概率為 9 32 16【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計(jì)能力，屬 于中等題.18.已 A、B 分為橢圓 ：xa22y2（a1的左、右頂點(diǎn)G E 上頂點(diǎn)， ， 為直線x=6 的動(dòng)點(diǎn)PA 與 E

19、 的另一交點(diǎn)為 C，PB 與 E 的另一交點(diǎn)為 （1）求 E 的程（2）證明：直線 定【答案）x 292）明詳見解.【解析】【分析】（1已知可得A 可得 AG 合知即可求得 2 ，問題得解（2 可得直線 的程為： 9聯(lián)立直線 的程與橢圓方程即可求得點(diǎn)C 2 27 y 的坐標(biāo)為 理可得 D 的坐標(biāo)為 2 y 0 2 ，即可表示出直線 的程，整理直線CD的方程可得： 3 ，命題得證【詳解）依據(jù)題意作出如下象：y 2 y 2 2 x 0 0 2 0 2 2 2 y 2 y 2 2 x 0 0 2 0 2 2 2 2 a222 可得：A AG AG ， a 橢圓方程為：x 292（2證明：設(shè)，則直線

20、的方程為：y y x ，即： 0 9聯(lián)立直線 AP 2 9的方程與橢圓方程可得： ，整理得：02 x y 20 0 ，解得： x 或x 20y 2027 2 27將 代入直線 y 2 0 9可得：y 6 0y 0 2 27 6 所以點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 .同理可得：點(diǎn) D 的標(biāo)為y y 0 y 0 0 y 3 y 2 直線 的程為： 0 ，y y 27 3 y 2 0 0y y 0 y y 8 y 2 整理可得： y 0 0 y 9 y 4 y0 3 0 y 整理得： 0 3 4 3 3 y 故直線 過點(diǎn) , 3 【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論能

21、力，屬 于難題, 3 19.已函數(shù)f ( x) xax2（1）當(dāng) a=1 時(shí)，討論 f（x）的單調(diào)性（2）當(dāng) x0 ，f（）12x+1，求 取值范.【答案x 單調(diào)遞減當(dāng)x 單調(diào)遞增. （2） 【解析】【分析】(1)由題意首先對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原數(shù)的單調(diào)性即(2)首先討論 =0 情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定 實(shí)數(shù) 取值范.【詳解】(1)當(dāng) 時(shí) fx，f，由于f ， 單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)當(dāng)x x 單調(diào)遞減，單調(diào)遞(2)由f 1x 得， e x ，其中x ，.當(dāng) x=0 時(shí)不等式為：1 ，然成立，符合題意；.當(dāng)x 時(shí)，分

22、離參數(shù) ， e x x 2，記g 1 x2x ， 1 x 2 x ，令 x2 ，則h，故h 單調(diào)遞增，1 1 1 故函數(shù)1 1 1 h 單調(diào)遞增，h ，由h x 2 恒成立，故當(dāng) x0 ， 單調(diào)遞增；當(dāng) 0 ， g 單調(diào)遞減；因此， 7 42綜上可得，實(shí)數(shù) a 的值范圍是7 4, 【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最值最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最極值)，解決 生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（二）考題：共 10 分。請(qǐng)考生第 、21 題任選一作答。如果做，則所做第 一題計(jì)。選修 44：標(biāo)系與數(shù)方程 20.在角坐標(biāo)系 xOy 中曲線 的參數(shù)方程為 x cos y k t( t為參數(shù) ) 坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的坐標(biāo)方程為2Ck 時(shí)，是什么曲線？（1）當(dāng)14 （2）當(dāng)k 時(shí)，求 與