高考文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載-精品文檔精品文檔精品文檔極坐標(biāo)的基本概念.曲線的極坐標(biāo)方程.（1）極坐標(biāo)系：一般地，在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O,自點(diǎn)O引一條射線 Ox,同時(shí)確定一個(gè)長度單位和計(jì)算角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍@樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.其中，點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸.X（2）極坐標(biāo)（p ,。）的含義：設(shè) M是平面上任一點(diǎn)，p表示OM的長度，0表示以射線 Ox為始邊，射線 OM終邊所成的角.那么，有序數(shù)對 （p ,。）稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).顯然， 每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對（p , 0 ）,決定一個(gè)點(diǎn)的位置.其中 p稱為點(diǎn)M的極定，。稱為點(diǎn)M的 極角.極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的最大區(qū)別在于

2、：在直角坐標(biāo)系中，平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對之間的對應(yīng)關(guān)系是 對應(yīng)的，而在極坐標(biāo)系中，對于給定的有序數(shù)對（p , 0 ）,可以確定平面上的一點(diǎn)，但是平面內(nèi)的一點(diǎn)的極坐標(biāo)卻不是唯一的.（3）曲線的極坐標(biāo)方程：一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上的任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程f（ p , 0 ）=0,并且坐標(biāo)適合方程 f（ p, 。）=0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程 f（ P , 。）=0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程.z幾類曲線的極坐標(biāo)方程及與直角坐標(biāo)的互化.直線的極坐標(biāo)方程.（1）過極點(diǎn)且與極軸成 4。角的直線方程是。=（）0和。=兀一（|）0,如下圖所本.示.(2)與極軸垂直且與極軸交于點(diǎn)c cos 0a,如

3、下圖所p sin 0 =3.圓的極坐標(biāo)方程p sin 0 =3.圓的極坐標(biāo)方程.(3)與極軸平行且在 x軸的上方，與x軸的距離為a的直線的極坐標(biāo)方程為 a,如下圖所示.(2)2(2)2所示.p 2rsin _0以極點(diǎn)為圓心，半徑為 r的圓的方程為p =r,如圖1所示.圓心在極軸上且過極點(diǎn)，半徑為 r的圓的方程為p = 2rcos _0_,如圖 兀 .圓心在過極點(diǎn)且與極軸成2的射線上，過極點(diǎn)且半徑為r的圓的方程為如圖3所示.4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.M的極坐標(biāo)M(p ,M的極坐標(biāo)M(p ,。)化為平面直角坐標(biāo)M(x, y)的公式如下:y= pcos 九或者 pM/XWf, tan e=y, s

4、in 0 xy= p其中要結(jié)合點(diǎn)所在的象限確定角0的值.參數(shù)方程的定義及幾類曲線的參數(shù)方程.曲線的參數(shù)方程的定義.在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即X=f(t),、，,八一 八，、土r, z.一,工，、一，八，并且對于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x, y)都在這條曲線上，ly=g (t), 那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x, y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參.常見曲線的參數(shù)方程.x = xo + tcos a(1)x = xo + tcos a|y = yo+tsina(t|y = yo+tsina其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P(xo,

5、 yo)為起點(diǎn)，點(diǎn)M(x, y)為終點(diǎn)的有向線段 PM的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離.根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論:設(shè)A, B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA 和 tB,則 |AB| =|t B- tA| =線段AB的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值等于幺/.(2)中心在P(X0, yo),半徑等于r的圓:x = xo + rcos0 ,（0為參數(shù)）y = y0+rsin0 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸(或y軸)上的橢圓:x = acos_L,（0為參數(shù)）或y = bsin 0l中心在點(diǎn)P(xo,yo),焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程為x= X0+ acos y= yo+ bsin 中

6、心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸(或y軸)上的雙曲線:x = asec 0 , |y = btan 0/ x= btan 0 ,（0為參數(shù)）或。.0）. y=2p注：sec 0 =.cos 03.參數(shù)方程化為普通方程.由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù)，消參數(shù)時(shí)常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，消參數(shù)時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對x, y的限制.考點(diǎn)包測.已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為4, 53-1則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是（2 , 23_.把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)（乖,色）化為極坐標(biāo)，結(jié)果為.曲線的極坐標(biāo)方程p = 4sin?；癁橹苯亲鴺?biāo)方程為*2+（y 2）= 4.4.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)1, 4.以極坐標(biāo)系中的

7、點(diǎn)1, 6W圓心、1為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是x= t .x= 3cos 0 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若直線l : * （t為參數(shù)）過橢圓C: , y= t ay= 2sin 0（0為參數(shù)）的右頂點(diǎn)，則常數(shù) a的值為3., c八22x= t ,一，一 x= 3cos 0 , _x y _,得丫=乂一 a.由橢圓C:，得彳=1.所以橢y= t -a,y = 2sin 0 ,94圓C的右頂點(diǎn)為（3 , 0）.因?yàn)橹本€l過橢圓的右頂點(diǎn)，所以0=3 a,即a = 3.配套作業(yè)、選擇題.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1,一4）.若以原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P

8、的極坐標(biāo)可以是（C）D.x= 2cos 0 ,D.x= 2cos 0 ,2.若圓的方程為y=2sin 0, ，八 一、r , x=t+1,（0為參數(shù)），直線的萬程為*（t為參數(shù)），則y= t 1直線與圓的位置關(guān)系是（B）A.相離 B ,A.相離 B ,相交C.相切 D .不能確定3.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)3.一一，一一、，、 八一八，、-rrx=t+1,，/一 一 ，一 一一、系中取相同的長度單位，已知直線 l的參數(shù)萬程是（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)萬/=t - 3程是 p 程是 p = 4cos 0 ,則直線l被圓C截得的弦長為（D）C. 2C

9、. 2. 2 .2解析:由題意可得直線和圓的方程分別為x y 4=0, x2 + y2=4x,所以圓心C（2,0)，解析:由題意可得直線和圓的方程分別為x y 4=0, x2 + y2=4x,所以圓心C（2,0)，半徑r = 2,圓心（2 ,0）到直線l的距離d = j2,由半徑，圓心距，半弦長構(gòu)成直角三角形,解得弦長為2 2.4.已知?jiǎng)又本€l平分圓C: (x 2)2+(y 1)2=1 ,則直線l與圓O: =x= 3cos 0 , y= 3sin 0為參數(shù)）的位置關(guān)系是(A)A.相交 B.相切C.相離 D解析:動(dòng)直線平分圓C: （x - 解析:動(dòng)直線平分圓C: （x - 2） 2+（y-1）2

10、=1,即圓心（2 , 1）在直線l上，又圓0:x= 3cos|x= 3cos|y= 3sin5.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是 的普通方程為x2+y2=9且22+129,故點(diǎn)（2,1）在圓O內(nèi)，則直線l與圓O 9 的位置關(guān)系是相交.二、填空題ry = sin 0 2,(0是參數(shù)),x = cos 0歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載-精品文檔2若以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標(biāo)萬程可寫為P +4psin 0 +3=0.解析：在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,y= sin0 2,x= cos 0（0是參數(shù)），.二y+2= sin 0 , 根x= cos 0 .據(jù) sin

11、2。+ cos2 0 = 1,可得解析：在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,y= sin0 2,x= cos 0（0是參數(shù)），.二y+2= sin 0 , 根x= cos 0 .據(jù) sin 2。+ cos2 0 = 1,可得2為 p + 4 p sin 0 +3=0.x2 + (y +2)2=1,即x2+y2+4y + 3 = 0.，曲線 C的極坐標(biāo)方程.在平面直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為x = 2cos 0 ,，一， 一一（0為參數(shù)），以原點(diǎn)。為極y=2+2sin 0點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的圓心的極坐標(biāo)為=2 ）.三、解答題.求極點(diǎn)到直線R R）的距離.解析：由、.2 p =1

12、?總 p sin兀sin / +7)+ p cos 0 = 1? x + y = 1,|0 +01|12+12.極坐標(biāo)系中，A為曲線p 2+2 p cos0 3 = 0上的動(dòng)點(diǎn)，B為直線 p cos 0 + p sin0 7=0上的動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最小值.解析：圓方程為（X+1）2+丁=4,圓心（一1,0）,直線方程 為H+） 7 = 0,圓心到直線的距離d= |一一7 二49, 42所以 |AB| 1nhi=4版一2.x = cos 0 ,9. （2015 大連模擬）曲線C的參數(shù)方程為（ 0為參數(shù)），將曲線C1上所有|y = sin 0點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的 3倍，

13、得到曲線C2.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線 l: p （cos 0 2sin 0）=6.（1）求曲線Q和直線l的普通方程；精品文檔歡迎來主頁下載歡迎來主頁下載-精品文檔精品文檔精品文檔(2)P為曲線C2上任意一點(diǎn)，求點(diǎn) P到直線l的距離的最值.X = 2cos 0 ,x2 y2解析：(1)由題意可得 G的參數(shù)方程為 l （ 0 為參數(shù)），即 解析：(1)由題意可得 G的參數(shù)方程為j=、3sin 043直線l : P （cos 0 2sin 0 ） =6化為直角坐標(biāo)方程為x-2y-6=0.(2)設(shè)點(diǎn)P(2cos 0 , /3si

14、n。)，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)P到直線l的距離為d 12cos0 2”sin d 12cos0 2”sin 0 6|56+4sin9 ：）5所以 f wdW25,故點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為25,最小值為.55,，一一一 .X= 1 + 4cos 0 ,10.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)萬程為(0為參數(shù))，ly=2+4sin 0. Tt直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(3, 5),傾斜角為 y.(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線 C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A, B兩點(diǎn)，求|PA| |PB|的值.X = 1 + 4cos 0 ,2解析：（1）由曲線C的參數(shù)方程j（ 0為參數(shù)），得普通方程為（x -1）2y=2+ 4