2011屆數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)全套精品課件：第03單元第6節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、第三單元 根本初等函數(shù)知識體系2021屆高考迎考復(fù)習(xí)更多資源請點擊： :/高中教學(xué)網(wǎng)第六節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用根底梳理1. 常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)型 ; (2)反比例函數(shù)型 ; (3)二次函數(shù)型 ;(4)指數(shù)函數(shù)型 (增長率問題);(5)對數(shù)函數(shù)型 ;(6)冪函數(shù)型 ;(7)分段函數(shù)型.y=kx+b(k0);2. 對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a1),冪函數(shù)y=xn(n0),對數(shù)函y=logax(a1),總會存在一個x0,當(dāng)xx0時,有 logaxxn500時, (元),方案B從500分鐘以后,每分鐘收費0.3元.(3)由圖知,當(dāng)0 x60時,fA(x)fB(x);當(dāng)60 x500時,fA(x

2、)= x+80,fB(x)=168,聯(lián)立得x=293 ,因此當(dāng)60 x293 時,fA(x)fB(x);當(dāng)293 x500時,fB(x)500時,顯然fB(x)293 分鐘,即通話時間為293 分鐘以上時,方案B才會比方案A優(yōu)惠.學(xué)后反思 (1)現(xiàn)實生活中很多問題都是用分段函數(shù)表示的,如出租車費用、個人所得稅、話費等,分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型.(2)分段函數(shù)是同一個函數(shù)在不同階段的變化規(guī)律不同的函數(shù).要注意各段變量的范圍,特別是端點值,尤其要注意.舉一反三1.(創(chuàng)新題南京市有甲，乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和效勞都很好，但收費方式不同。甲俱樂部每張球臺每小時5元；乙俱樂部按月計費，一個

3、月中30小時以內(nèi)含30小時每張球臺90元，超過30小時的局部每張球臺每小時2元，小張準(zhǔn)備下個月從這兩家俱樂部中的一家族一張球臺開展活動，其活動時間不少于15小時，也不超過40小時。1設(shè)在甲俱樂部租一張球臺開展活動x小時的收費f(x)元(15x40)，在乙俱樂部租一張球臺開展活動x小時的收費g(x)元(15x40)，試求f(x)和g(x);2你認(rèn)為校長選擇哪家俱樂部比較合算？請說明理由；解析 （1）f(x)=5x,15x40, g(x)= (2) 若15x30,且當(dāng)5x=90時,x=18 即當(dāng)15x18時,f(x)g(x)；當(dāng)x=18時,f(x)=g(x)； 當(dāng)18g(x) 若3030+2x恒成

4、立,即f(x)g(x)恒成立。 綜上所述，當(dāng)15x18時，小張選甲俱樂部比較合算； 當(dāng)x=18時，兩家一樣合算 當(dāng)18x40時，小張選乙俱樂部比較合算。題型二 二次函數(shù)模型【例2】某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料,根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù),假設(shè)零售價定為每瓶4元,每月可銷售400瓶;假設(shè)每瓶售價每降低0.05元,那么可多銷售40瓶.在每月的進貨量當(dāng)月銷售完的前提下,請你給該商店設(shè)計一個方案:銷售價應(yīng)定為多少元和從工廠購進多少瓶時,才可獲得最大的利潤?分析 構(gòu)建二次函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.解 設(shè)銷售價為x元/瓶,那么根據(jù)題意(銷售量等于進貨量),正好銷售完的進貨量為 ,即400(9-

5、2x)瓶.此時所得的利潤為f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x2+15x-27).根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)x=3.75時,f(x)取最大值450.這時的進貨量為400(9-2x)=400(9-23.75)=600(瓶).所以銷售價應(yīng)定為每瓶3.75元,以及從工廠購進600瓶時,才能獲利最大.學(xué)后反思 二次函數(shù)模型的建立可以求出函數(shù)的最值,解決實際生活中的最優(yōu)化問題,但一定要注意自變量的取值范圍.舉一反三2某商場銷售一種服裝，購進價是每件42元，根據(jù)試裝得知這種服裝每天的銷售量t件與每件的銷售價x元/件)可看成是一次函數(shù)關(guān)系：t=-3x+2041寫出商場賣這種服裝每天的銷售利潤y與每

6、件的銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系每天的銷售利潤是指所賣出服裝的銷售價與購進價格差；(2商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價定位多少？最為適宜最大銷售利潤為多少？解析： (1)由題意，銷售利潤y與每件的銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系為y=(x-42)(-3x+204),即(2)對 配方，得當(dāng)每件的銷售價為55元，可取的最大利潤，每天最大銷售利潤為507元。題型三 指數(shù)模型的應(yīng)用【例3】某城市2021年有人口100萬,如果年增長率為1.2%,(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式;(2)10年后,該城市人口到達(dá)多少萬?(3)計算大約到哪一年該市人口達(dá)120萬?分析 此題為人口增長率

7、問題,可以通過計算每年的人口總數(shù)與年份的關(guān)系來探究出規(guī)律,建立指數(shù)型函數(shù)模型來解決.解 (1)1年后該城市人口總數(shù)為y=100+1001.2%=100(1+1.2%),2年后該城市人口總數(shù)為y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2,3年后該城市人口總數(shù)為y=100(1+1.2%)3,x年后該城市人口總數(shù)為 .(2)10年后,人口數(shù)為100(1+1.2%)10112.7(萬人).(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬人,即100(1+1.2%)x=120, =log1.0121.2015.28(年),取x=16(年).即大約到2024年,該市人口達(dá)到1

8、20萬人.舉一反三3.一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減。1求t年后，這種放射性元素質(zhì)量w的表達(dá)式；2求這種放射性元素的半衰期精確到0.1年。解析 （1）最初的質(zhì)量為500g，經(jīng)過1年，w=500(1-10%)=500經(jīng)過2年,經(jīng)過t年,(2)由題意兩邊取對數(shù)，有即這種放射性元素的半衰期為6.6年題型四 函數(shù)模型的綜合應(yīng)用【例4】 14分某工廠有一段舊墻長14 m,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這段舊墻為一面，建造平面圖形為矩形，面積為126 m2的廠房，工程條件是：(1)建1 m新墻費用為a元；(2)修1 m舊墻費用是 元；(3)拆去1 m舊墻,用所得材料建1 m新墻費用為 元，經(jīng)過討論有兩

9、種方案：利用舊墻的一段x mx14為矩形廠房一面的邊長；矩形廠房利用舊墻的一邊邊長x14,問:如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？兩種方案哪種更好？分析 利用舊墻為一面建立平面矩形,設(shè)此面邊長為x m,那么另一面邊長為 解 (1)利用舊墻的一段x m(x14),則修墻費用 元,1將剩余舊墻拆得材料建新墻費用為 元,其余建新墻的費用為 元3總費用當(dāng)且僅當(dāng) ,即x=12 m時，ymin=35a6 (2)利用舊墻的一面，矩形邊長x14,那么修舊墻費用為 元,建新墻費用為 元8總費用綜上所述，采用第一種方案，利用舊墻的12 m為矩形的一面邊長時，建墻費用最省. 14學(xué)后反思 此題關(guān)鍵在于以建墻

10、費用為目標(biāo)函數(shù)建立函數(shù)關(guān)系式，而難點在于求函數(shù)的最小值，兩種方案的函數(shù)式結(jié)構(gòu)外表相似，一個可用不等式求最值，另一個那么必須改用單調(diào)性求最值.舉一反三4. 某公司欲投資13億元進行工程開發(fā),現(xiàn)有以下6個工程可供選擇. 設(shè)計一個投資方案,使投資13億元所獲利潤大于1.6億元,那么應(yīng)選的工程是_(只需寫出工程的代號).項目ABCDEF投資額(億元)526461利潤(億元)0.550.40.60.50.90.1解析： 當(dāng)投資為13億元時,有以下兩種投資選擇方案:f(A,B,E)=0.55+0.4+0.9=1.85(億元);f(B,D,E,F)=0.4+0.5+0.9+0.1=1.9(億元).答案： A

11、、B、E或B、D、E、F考點演練10.某鄉(xiāng)企業(yè)有一個蔬菜生產(chǎn)基地共有8位工人，過去每人年薪為1萬元，從今年起，方案每人每年的工資比上一年增加20%，并每年新招3為工人，每位新工人第一年年薪為8千元，第二年開始拿與老工人一樣數(shù)額的年薪，求第n年付給工人的工資總額y萬元表示成n的函數(shù)表達(dá)式.解析 n年共有工人3n+8位，其中有3位新工人，3n+8-3=3n+5位老工人，老工人的工資總額為 ，3位新工人的工資為30.8=2.4.故n年付給工人的工資總數(shù)為 所以11（2009湖南）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩。經(jīng)計算，一個橋墩的工程費用為256

12、萬元；距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為 萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元。（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2)當(dāng)m=640米時，需新建多少橋墩才能使y最??？解析 （1）設(shè)需新建n個橋墩，則(n+1)x=m，即 所以y=f(x)=256n+(n+1)（2）由（1）知，令 ，得 .所以x=64當(dāng)0 x64時， ,f(x)在區(qū)間（0，64）內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64x640時， ,f(x)在區(qū)間（64，640)內(nèi)為增函數(shù).所以f(x)在x=64取得最小值。此時故需新建9個橋墩才能使最小12.(2009濟寧模擬）某廠家擬在2010年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元(m0)滿足 （k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件。已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括