常系數(shù)高階線性微分方程

1、常系數(shù)高階線性微分方程1第1頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三一、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法2第2頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三1、 為實數(shù) ,設(shè)特解為其中 為待定多項式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 則取從而得到特解形式為為 m 次多項式 .Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式3第3頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三(2) 若 是特征

2、方程的單根 , 為m 次多項式,故特解形式為(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .即即當 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè)特解4第4頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三綜上討論注：上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.5第5頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三例1.的一個特解.解: 本題而特征方程為不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為代入方程 :比較系數(shù), 得于是所求特解為6第6頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三例2. 的通解. 解: 本題特

3、征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程得所求通解為7第7頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三例3. 求解定解問題解: 本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得所求解為8第8頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三解例4.則由牛頓第二定律得解得代入上式得9第9頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三2、第二步 求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特點10第10頁，共3

4、5頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三第一步利用歐拉公式將 f (x) 變形11第11頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三 第二步 求如下兩方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式兩邊取共軛 :為方程 的特解 .設(shè)則 有特解:12第12頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三第三步 求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :原方程 均為 m 次多項式 .13第13頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三第四步 分析因均為 m 次實多項式 .本質(zhì)上為實函數(shù) ,14第14頁，共35頁，202

5、2年，5月20日，6點5分，星期三小 結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.15第15頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三例5. 的一個特解 .解: 本題 特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù) , 得于是求得一個特解16第16頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三例6. 的通解. 解: 特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為17第17頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，

6、星期三例7.解: (1) 特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2) 特征方程有根利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:18第18頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三當重力與彈性力抵消時, 物體處于 平衡狀態(tài), 上節(jié)例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設(shè)時刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動方程：成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.(2) 強迫振動方程：19第

7、19頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三例8.求物體的運動規(guī)律. 解: 問題歸結(jié)為求解無阻尼強迫振動方程 當p k 時, 齊次通解: 非齊次特解形式:因此原方程之解為上節(jié)例1 中若設(shè)物體只受彈性恢復力 f和鉛直干擾力代入可得: 20第20頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三當干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時,自由振動強迫振動 當 p = k 時, 非齊次特解形式:代入可得: 方程的解為 21第21頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三若要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 與 k 盡量靠近, 或使 隨著 t 的增大 , 強迫振動的振幅這時產(chǎn)生共振現(xiàn)

8、象 .可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 遠離固有頻率 k ;p = k .自由振動強迫振動對機械來說, 共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞,電機機座被破壞等,但對電磁振蕩來說, 共振可能起有利作用,如收音機的調(diào)頻放大即是利用共振原理. 22第22頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三內(nèi)容小結(jié) 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設(shè)特解為為特征方程的 k (0, 1 )重根, 則設(shè)特解為3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.23第23頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三思考與練習時可設(shè)特解為 時可設(shè)特解為 提示:1 . (填空) 設(shè)24第2

9、4頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三2. 求微分方程的通解 (其中為實數(shù) ) .解: 特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為25第25頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三3. 已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解 .解: 將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為26第26頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三二、歐拉方程歐拉方程 常系數(shù)線性微分方程27第27頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三歐拉方程的算子解法: 則計算繁! 28第

10、28頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三則由上述計算可知: 用歸納法可證 于是歐拉方程 轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:29第29頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三例1. 解:則原方程化為亦即其根則對應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程 30第30頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三 的通解為換回原變量, 得原方程通解為設(shè)特解:代入確定系數(shù), 得31第31頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三例2.解: 將方程化為(歐拉方程) 則方程化為即特征根:設(shè)特解:代入 解得 A = 1,所求通解為 32第32頁，共35頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三例3.解: 由題設(shè)得定解