2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及解答

1、PAGE PAGE 52023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及解答年月日上午一、填空題每題分，共分、假設(shè)的值域?yàn)椋敲吹娜≈捣秶?、四面體中，是一個正三角形，那么到面的距離為、假設(shè)對于所有的正數(shù)，均有，那么實(shí)數(shù)的最小值是、是正方形內(nèi)切圓上的一點(diǎn)，記，那么、等差數(shù)列與的公共項(xiàng)具有相同數(shù)值的項(xiàng)的個數(shù)是、設(shè)為銳角，那么函數(shù)的最大值是、假設(shè)將前九個正整數(shù)分別填寫于一張方格表的九個格子中，使得每行三數(shù)的和，每列三數(shù)的和皆為質(zhì)數(shù)，你的填法是、把從到這個連續(xù)正整數(shù)按適當(dāng)順序排成一個數(shù)列，使得數(shù)列中每相鄰兩項(xiàng)的和為平方數(shù)，那么正整數(shù)的最小值是二、解答題共分、分如圖，是橢圓的一條直徑，過橢圓長軸的左頂點(diǎn)作的平

2、行線，交橢圓于另一點(diǎn)，交橢圓短軸所在直線于，證明：、分如圖，是的旁心，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為證明：、三點(diǎn)共線；、四點(diǎn)共圓、分設(shè)為正數(shù)，滿足：，證明：、分設(shè)集合，對于的任一個元子集，假設(shè)存在，滿足，那么稱為“好集，求最大的正整數(shù)，使得任一個含的元子集皆為“好集1.答案：解：由值域，.2.答案：解：如圖，據(jù)題意得，于是，因，得，從而以為頂點(diǎn)的三面角是三直三面角，四面體體積，而，假設(shè)設(shè)到面的距離為，那么，由，得到3.答案：解：由，得，當(dāng)時取等號4.答案：解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓方程為，那么正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是直線的斜率分別為，所以，由此立得解2：取特例，在坐標(biāo)軸上，那么，這時，5

3、.答案：解：將兩個數(shù)列中的各項(xiàng)都加，那么問題等價于求等差數(shù)列與等差數(shù)列的公共項(xiàng)個數(shù)；前者是中的全體能被整除的數(shù)，后者是中的全體能被整除的數(shù)，故公共項(xiàng)是中的全體能被整除的數(shù)，這種數(shù)有個6.答案：解：由，得，所以當(dāng)時取得等號7.如右圖8.答案：例如，排出的一個數(shù)列為解：這是一個操作問題，假設(shè)用文字表達(dá)較為繁瑣，故適宜作為填空題直接操作記這個連續(xù)正整數(shù)的集合為，由于，那么中必有，而，所以，當(dāng)時，從到這個數(shù)可以搭配成滿足條件的三個數(shù)段：，但它們不能連接成一個項(xiàng)的數(shù)列，故應(yīng)增加后續(xù)的數(shù)，增加可使得第一段擴(kuò)充成，增加可使得第二段擴(kuò)充成，但新的三段也不能連接，還需增加新數(shù)，即，而之前的數(shù)假設(shè)與鄰接，只有，這

4、三段擴(kuò)充為，仍舊不能連接，應(yīng)當(dāng)借助新的平方數(shù)，從到這個數(shù)能搭配成和為的最小數(shù)是，那么，而當(dāng)時，可排出上面的情形：9.證1：橢圓方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么直線方程為， 代入橢圓方程得到，因此，又據(jù)，那么點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)樵跈E圓上，那么，而，因此證2：易知的斜率存在，不妨令，與橢圓方程聯(lián)系，解得, 方程為：.將方程與橢圓方程聯(lián)立，得，10.證：1、延長到，延長到,連，為旁心，平分又關(guān)于對稱，平分,、三點(diǎn)共線。2、過作交于，那么為內(nèi)心。連,那么平分,、四點(diǎn)共圓，,、四點(diǎn)共圓。11.證：據(jù)條件，即要證 也即將此式各項(xiàng)齊次化，因?yàn)榇?，只要證即也即。此為顯然，故命題得證證2：由題設(shè)得：，三式相乘，故原不等式

5、等價于證明：上式兩邊展開并化簡得：配方得：即顯然成立. 12.解：因任何正整數(shù)可以表為形式，其中，為正奇數(shù)，于是集合可劃分為以下個子集：，對于集合的任一個元子集，只要集中含有某一個中的至少兩個元素，因，那么；此時為好集；以下證明正整數(shù)的最大值為： 假設(shè)時，對于的任一個元子集，如果中含有某個中的至少兩個元素，那么便是好集；如果中的個集合，每個集合中恰有一個元素在中，那么也有一個元素在中，但為單元素集，于是，而，這說明仍是好集，因此合于要求 下面說明當(dāng)時，存在含的集不是好集；分兩種情況：、假設(shè)，取元集，那么，因中任兩個不同元素，均有，故不為好集，這種不合要求、假設(shè)，記，令，那么，且，假設(shè)中存在，因，那么；假設(shè)，如果，只有或者，此時