高一數(shù)競(jìng)整數(shù)的進(jìn)位制及其應(yīng)用

1、 有同理(2004)10 (3274)8 210 438 28 78 2足求滿abc abc有同理(2004)10 (3274)8 210 438 28 78 2足求滿abc abc)3數(shù)三位的所有abc. 8（198）于解：由100 abc 999，則100 (abc)3 999，從而5 abc 9當(dāng)abc 5時(shí)53 125 (125)3當(dāng)abc 6時(shí)63 216 (216)3當(dāng)abc 7時(shí)73 343 (343)3當(dāng)abc 8時(shí)83 512 (512)3當(dāng)abc 9時(shí)93 729 (729)32. 例3 數(shù)字個(gè)位（即過來序顛倒字順的數(shù)位數(shù)個(gè)四果將這如同.字相位數(shù)與百位數(shù)字的個(gè)它數(shù)，四位一個(gè)

2、為的差所得數(shù)，去原新數(shù)減的所得，.數(shù)四位來的求原2，781）互換數(shù)字與百位數(shù)字十位換，字互千位 9（197 ）字、位數(shù)的千該數(shù)解：設(shè)百位數(shù)為分別數(shù)字十位字、x, y, z ，原數(shù)103x102y10z y 數(shù)的新顛倒后103y102z10y x 得由:2781999y x) 90(z 即868111yx10(z y) 102yx10(z yy x) 比較式兩端yx8zxxy x8 9，又?jǐn)?shù)字百位顯然y 9數(shù)四位由于原 千 能0所所以y9x 1z x67以原位9. 例4遞增數(shù)列4 形 ： 一（正4它成， 3冪3學(xué)數(shù)） 試題第3方a 30,a 3 ,自形進(jìn)表,a 32 3 ,a 32 31 30,

3、127易數(shù)其項(xiàng)發(fā)現(xiàn) 數(shù) 即1 202 21,3 21 204 225 22 20,6 22 2,7 22 21 20由于001(1100100)2 2 2 所以原數(shù)列的第 10036 35 32 98151987b所以原數(shù)列的第 10036 35 32 98151987bxyzxyz 1987試確定所有可能xyz和b. （1987加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解：xb2 yb z 1987x y z 25，從而x(b2 1 y(b1) 162即(b1)(b1)x y1962 232 109由b10知b19.由1962b21,知b 196345,故9b145又因?yàn)?962232 10912約數(shù)，分別為 所以

4、b118，從而b 19又由1987519291911,x5y 9z例 6設(shè)n是五位數(shù)（第一個(gè)數(shù)碼不是零m是由n取消它的中間一個(gè)數(shù)碼后所成的四位數(shù)，試確切n 使是整數(shù). （第 3屆加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題m解：設(shè)nxyzuv x104 y103 z102 u10vxyzuv0,1,2,9xnm xyuv x103 y102 u10vn而k m即80u 8v 103x102 y 102z 即102 z 103 x 102 y 102u 10v，這顯然也是正確的. 于是9m n 11m，即9 k 11，又因?yàn)閗 是整數(shù)，從而k 10 ； z102 90u9v 9(10v，而9|102z10知 z 9t(t 為正整數(shù)從而t102 10u v，顯然t u v 0，因而推得n xyz00 N103其中10 N 997若n1,2,100且n是其各位數(shù)字和的倍數(shù)，這樣的n有多少個(gè)？（2004昌競(jìng)賽試題 （1）若n為