最新高校自主招生物理講義第六章

1、 升學(xué)路徑規(guī)劃自主招生根底課程 - 63 -第六章 振動(dòng)和波拓展與例如一、簡諧運(yùn)動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征：做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體所受的回復(fù)力與偏離平衡位置的位移的大小成正比且方向相反。其中為比例常數(shù)。這是簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，也是判斷一個(gè)振動(dòng)是否是簡諧運(yùn)動(dòng)的依據(jù)。簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：由牛頓第二定律可得。即簡諧運(yùn)動(dòng)的加速度與位移大小成正比且方向相反。簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程：可以證明，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在其直徑上的投影的運(yùn)動(dòng)，是以圓心為平衡位置的簡諧運(yùn)動(dòng)。通常稱這樣的圓為參考圓。如圖6-1所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為，半徑為。以某條直徑所在的支線為坐標(biāo)軸，圓心為原點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)，經(jīng)過時(shí)間后，質(zhì)

2、點(diǎn)在點(diǎn)，所以，。 點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)為，這就是位移方程。點(diǎn)的速度在軸上的投影速度為，這就是速度方程。點(diǎn)的加速度在軸的投影加速度為，這就是加速度方程。在這組方程中，為振幅；為相位相，指狀態(tài)，其中是時(shí)的相位，稱為初相位；為角頻率，又叫圓頻率。由這組方程就可以確定任一時(shí)刻振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)即位置、速度、加速度。 簡諧運(yùn)動(dòng)的周期：由公式，可得簡諧運(yùn)動(dòng)的周期。一個(gè)振動(dòng)物體，當(dāng)用動(dòng)力學(xué)特征或運(yùn)動(dòng)學(xué)特征證明了它確實(shí)是做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的k值也就確定了。由此公式也可以求出相應(yīng)的簡諧運(yùn)動(dòng)的周期。簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像：簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也可以用圖像直觀的表示出來。簡諧運(yùn)動(dòng)的，和圖均為余弦曲線。在圖6-2中，I、II、I

3、II分別表示，和圖像。由圖像可以直接得出在任一時(shí)刻振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置位移、速度和加速度。單擺：可以證明：單擺在擺角時(shí)，回復(fù)力與位移的關(guān)系可近似地表示為。所以單擺做小角度擺動(dòng)時(shí)，可視為簡諧運(yùn)動(dòng)，其周期：【例1】一彈簧振子做簡諧振動(dòng)，O為平衡位置，當(dāng)它經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過03s第一次到達(dá)M點(diǎn)，再經(jīng)過02s第二次到達(dá)M點(diǎn)，那么彈簧振子的周期為：( )A、053s B、14s C、16s D、3s答案：AC【解析】試題分析：作出示意圖如圖，假設(shè)從O點(diǎn)開始向右振子按下面路線振動(dòng)，那么振子的振動(dòng)周期為：，如圖，假設(shè)從O點(diǎn)開始向左振子按下面路線振動(dòng)，令從O到M的時(shí)間為t，那么有：那么可解得：那么振子的振動(dòng)周

4、期為：，故AC正確；答案：B 【解析】試題分析：繩剪斷前，彈簧伸長的長度 ；繩剪斷后，A做簡諧運(yùn)動(dòng)，在平衡位置時(shí)，彈簧的拉力與重力平衡，此時(shí)彈簧伸長的長度為；所以A振動(dòng)的振幅為 ，A錯(cuò)誤B正確；剪斷前，平衡后彈簧處于拉長狀態(tài)，彈簧的拉力等于兩個(gè)物體的重力的和，即，細(xì)線剪斷瞬間A受到重力和彈簧的彈力，由牛頓第二定律可知加速度為：，方向向上，CD錯(cuò)誤；【例2】如下圖，質(zhì)量為M的物塊A上端與輕彈簧固定，彈簧勁度系數(shù)為k，下端用輕繩系住質(zhì)量為m的木塊B，期初靜止，突然剪斷A、B間輕繩，此后A將在豎直方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)，那么( )A、物塊A做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅為B、物塊A做簡諧振動(dòng)的振幅為C、剪斷A、B間輕繩

5、瞬間，物塊A的加速度為零D、剪斷A、B間輕繩瞬間，物塊A的加速度大小為【例3】勁度系數(shù)k=40N/m的輕彈簧,一端拴在豎直墻上,另一端拴物體A,A的質(zhì)量mA=0.2kg,在A的上外表放有質(zhì)量mB=0.1kg的物體B,如下圖,水平地面光滑,A和B之間的最大靜摩擦力Fm=0.2N,假設(shè)要使A、B兩物體一起做簡諧運(yùn)動(dòng),那么振幅的最大值是多少?解設(shè)位移為x，對(duì)整體受力分析，受重力、支持力和彈簧的彈力，根據(jù)牛頓第二定律，有：kx=mA+mBa 對(duì)B物體受力分析，受重力、支持力和靜摩擦力，靜摩擦力提供回復(fù)力，根據(jù)牛頓第二定律，有：f=mBa fFm 聯(lián)立解得：x0.015m【例4】某質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)，其位移

6、與時(shí)間的關(guān)系式為：，那么 A質(zhì)點(diǎn)的振幅為3 cm B質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為3 sC質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為 s Dt075 s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)回到平衡位置答案：ABD二、單擺的周期問題單擺的物理模型是在不能伸長、沒有質(zhì)量的繩下面掛一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。當(dāng)單擺懸線偏離豎直方向一個(gè)任意小角時(shí)，擺球受到兩個(gè)力：重力繩的拉力這兩個(gè)力的合力沿振動(dòng)方向的分量作為振動(dòng)的回復(fù)力如圖6-9。因?yàn)榻呛苄。?。由此可見，回?fù)力和擺球偏離平衡位置的位移成正比在角很小時(shí)，可認(rèn)為它所對(duì)的弧和弦等長，因此單擺小角度擺動(dòng)時(shí)是做簡諧運(yùn)動(dòng)。證明了單擺是做簡諧運(yùn)動(dòng)后，單擺的周期就很容易求了，將和的比例系數(shù)代入周期公式中。這說明單擺在擺角很小的情況下，擺角只要小

7、于即可。它的周期跟擺長的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟擺球的質(zhì)量、振幅無關(guān)。在一定的地點(diǎn)，的值一定，一定擺長的單擺就有恒定不變的周期。擺的這個(gè)性質(zhì)被利用在擺鐘上計(jì)量的時(shí)間。當(dāng)單擺周期時(shí)，由公式推導(dǎo)，擺長大約為,這種情況的單擺叫做秒擺。相反，如果測出擺長和周期也可以利用單擺的周期公式確定的值。由于單擺的擺長和周期，都容易測量，所以利用單擺可以很方便地測定重力加速度的，不像利用自由落體運(yùn)動(dòng)測那樣麻煩。通過這局部例題的分析，我們還將學(xué)習(xí)應(yīng)用單擺的周期公式以及用“等效法求一些異形擺的周期。【例6】將擺長為的單擺懸在以加速度勻加速上升的電梯中，其振動(dòng)的周期為多少？解析當(dāng)單擺在豎直方向上有

8、加速度時(shí)(如在上下加速運(yùn)動(dòng)的升降機(jī)中)，其效果相當(dāng)于重力加速度發(fā)生了變化由于單擺處于超重狀態(tài)，其等效重力加速度為a+g,所以其振動(dòng)周期為T=2點(diǎn)評(píng)關(guān)于等效重力加速度要注意： = 1 * GB2 單擺有豎直向上的加速度a時(shí)，相當(dāng)于重力加速度變?yōu)間=g+a；單擺有豎直向下的加速度a(ag)時(shí)，相當(dāng)于重力加速度變?yōu)間=ga【等效，重要】【例7】如下圖，兩根長度均為L的細(xì)線下端拴一質(zhì)量為m的小球，兩線間的夾角為，是擺球在垂直于紙面的平面內(nèi)做小幅度擺動(dòng)，那么其振動(dòng)周期為圖2解析此題圖2Lcos的細(xì)線上端固定于兩懸點(diǎn)中間，下端連此球，做簡諧運(yùn)動(dòng)，因此等效擺長 Lcos，據(jù)單擺周期公式可得：點(diǎn)評(píng)擺長是指擺動(dòng)

9、圓弧的圓心到擺球重心的距離，因此要正確確定擺長。【例8】圖3所示為一單擺的共振曲線，那么該單擺的擺長約為多少？共振時(shí)單擺的振幅是多大？共振時(shí)單擺的最大速度和最大加速度各是多大？g取10m/s2解析由圖可知，單擺的固有頻率為0.5Hz，所以周期為2sf/HzA/cmO0.58圖3據(jù)T=2f/HzA/cmO0.58圖3共振時(shí)的振幅A=8cm設(shè)最大偏角為，擺球能下降的最大高度為h，那么 EQ F(1,2) mvm2=mgh又h=l(1cos) 且1cos=2sin2又因?yàn)楹苄。?sin所以vm=0.25m/s擺球在端點(diǎn)時(shí)加速度最大am=gsing=0.8m/s2點(diǎn)評(píng)此題除了考查單擺周期公式，還綜合考

10、查了機(jī)械能守恒定律、牛頓定律以及數(shù)學(xué)的三角知識(shí)在單擺這個(gè)近似的簡諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，往往應(yīng)用到三角函數(shù)的近似計(jì)算，要根據(jù)情況靈活處理【概念題】三、機(jī)械波機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播形成機(jī)械波。機(jī)械波傳播的只是振動(dòng)的形式和振動(dòng)的能量，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)本身并不隨波遷移。假設(shè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的方向與波傳播的方向垂直，那么稱之為橫波；假設(shè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的方向與波的傳播方向在同一條直線上，那么稱之為縱波，而在液體和氣體中一般只能傳播縱波。波長、頻率和波速的關(guān)系：這一關(guān)系式對(duì)所有的波都適用，其中由振源決定；由介質(zhì)的密度及彈性性質(zhì)決定，并與溫度有關(guān)系。平面簡諧波：平面簡諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)方向上傳播所形成的波，稱為平面簡諧波，也稱為正弦波。

11、平面簡諧波中所有介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振幅都相同。1平面簡諧波的振動(dòng)方程：設(shè)波沿軸正方向傳播，波源在原點(diǎn)處，其振動(dòng)方程為。 x軸上任意的一點(diǎn)平衡位置坐標(biāo)為的振動(dòng)比點(diǎn)滯后，因此點(diǎn)的振動(dòng)方程為。這個(gè)方程表示沿波傳播方向上任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律，也表示平面簡諧波的規(guī)律。2平面簡諧波的圖像：以軸表示所有質(zhì)點(diǎn)的位移，軸表示各質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，波的傳播方向沿軸。在某一時(shí)刻，由波動(dòng)方程作出關(guān)系的余弦曲線就是該時(shí)刻的波動(dòng)圖像，它表示介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移分布。對(duì)于橫波，其波動(dòng)圖像就是這一時(shí)刻的波形曲線。波的疊加：幾列波在同一介質(zhì)中傳播時(shí)，在它們相遇的區(qū)域內(nèi)，每列波都保持各自原有的頻率、波長和傳播方向繼續(xù)傳播，并不互相干擾。這種性質(zhì)

12、稱為波的獨(dú)立性。在幾列波單獨(dú)傳播時(shí)引起的位移的矢量和。這就是波的疊加原理。波的干預(yù)：頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位相同或相位差恒定的兩個(gè)波源，稱為相干波源。這兩列波在相遇的區(qū)域中，某些位置的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)始終被加強(qiáng)，而某些位置的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)始終被減弱，而且加強(qiáng)和減弱的區(qū)域相互間隔。這種現(xiàn)象稱為波的干預(yù)。如圖6-14所示，在兩相干波源發(fā)出的兩列波的相遇區(qū)域中有任一點(diǎn)，點(diǎn)到兩波源的距離分別為。為簡單計(jì)算，設(shè)兩列波做簡諧運(yùn)動(dòng)的初相都為零，那么由波動(dòng)方程可知，兩列波傳到點(diǎn)時(shí)引起的兩個(gè)分振動(dòng)的方程分別為：根據(jù)波的疊加原理可知，點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)是由上述兩個(gè)振動(dòng)合成的，合振動(dòng)的振幅由兩個(gè)分震動(dòng)的相位差決定。顯然，當(dāng)，即當(dāng)

13、時(shí)兩列波疊加的合振動(dòng)加強(qiáng)，點(diǎn)的振幅為，當(dāng)，即當(dāng)兩列波疊加的合振動(dòng)減弱，點(diǎn)的振幅。波的衍射：波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)會(huì)改變其直線傳播方向，“繞到障礙物“陰影區(qū)域中的現(xiàn)象，叫波的衍射。發(fā)生明顯衍射現(xiàn)象的條件是：障礙物或孔的尺寸比波長小，后者跟波長相差不多。值得注意的是：1障礙物或孔的尺寸比波長大很多的時(shí)候也有衍射發(fā)生，只是很弱，不易觀察而已。2并不是障礙物或孔的尺寸比波長越小越好。特別是孔在太小的情況下，盡管衍射范圍廣，但由于波的強(qiáng)度太弱，因此也不易觀察到明顯的衍射現(xiàn)象。聲波：1聲波：聲波是生源的振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播。聲波是縱波。聲波的傳播速度除跟介質(zhì)有關(guān)外，還跟環(huán)境溫度有關(guān)。2聲波的反射、干預(yù)和

14、衍射：聲波遇到障礙物時(shí)會(huì)改變?cè)瓉淼膫鞑シ较颍⒎祷氐浇橘|(zhì)中傳播的現(xiàn)象稱為聲波的反射。聲波發(fā)生干預(yù)時(shí)，會(huì)在一些區(qū)域聽到較強(qiáng)的聲音，而在另一些區(qū)域聽到較弱的聲音。聲波在空氣中傳播時(shí)，波長約在之間，很容易繞過障礙物進(jìn)行傳播，所以人們很容易觀察到聲波的衍射現(xiàn)象。3聲音的共鳴：聲音的共鳴即聲音的共振現(xiàn)象。當(dāng)聲波在某介質(zhì)中傳播時(shí)，假設(shè)聲波頻率與此介質(zhì)的固有頻率相等，就會(huì)產(chǎn)生共鳴現(xiàn)象。4超聲波和次聲波：通常人耳能聽到的聲音頻率在之間，超過聲波，稱為超聲波；低于的聲波，稱為次聲波。超聲波波長短，直進(jìn)性好；次聲波波長長，能量大。5樂音和噪音：悅耳動(dòng)聽的聲音叫樂音。它是由做周期性振動(dòng)的聲源發(fā)出的。嘈雜刺耳的聲音叫

15、噪聲。它是由做非周期性振動(dòng)的聲源發(fā)出的。6樂音的三要素：音調(diào)、響度和音品稱為樂音的三要素。樂音由一些不同頻率的簡諧波組成，頻率最低的簡諧波稱為基音。音調(diào)由基音頻率的上下決定，基音頻率高的樂音音調(diào)高。響度是聲音強(qiáng)弱的主觀描述，跟人的感覺和聲強(qiáng)單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于聲波傳播方向上的單位面積的能量有關(guān)。音品反響出不同聲源發(fā)出的聲音具有不同的特色，音品由聲音的強(qiáng)弱和頻率決定。【例10】.如下圖，一平面簡諧波沿Ox軸的負(fù)方向傳播，波速大小為u，假設(shè)P處介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 ，求 (1) O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 該波的波動(dòng)表達(dá)式； (3) 與P處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同的那些點(diǎn)的位置解：(1) O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)

16、方程為 (2) 波動(dòng)表達(dá)式為 (3) x = -L k ( k = 1，2，3，) 【：自招選擇題】【例12】在均勻介質(zhì)中，有兩列余弦波沿Ox軸傳播，波動(dòng)表達(dá)式分別為與，試求Ox軸上合振幅最大與合振幅最小的那些點(diǎn)的位置解：(1) 設(shè)振幅最大的合振幅為Amax，有式中，又因?yàn)闀r(shí)，合振幅最大，故合振幅最大的點(diǎn) ( k = 0，1，2，) 5分 (2) 設(shè)合振幅最小處的合振幅為Amin，有因?yàn)闀r(shí)合振幅最小且故合振幅最小的點(diǎn) ( k = 0，1，2，) 5分5設(shè)入射波的表達(dá)式為，在處發(fā)生反射，反射點(diǎn)為一固定端。設(shè)反射時(shí)無能量損失，求1反射波的表達(dá)式；2合成的駐波的表達(dá)式；3波腹和波節(jié)的位置。答案：1；

17、2；3波腹：；波節(jié)：。解：1反射點(diǎn)是固定端，所以反射有相位p的突變，且反射波振幅為A，因此反射波的表達(dá)式為2駐波的表達(dá)式是3波腹位置滿足：，即波節(jié)位置滿足，即 四、多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)：由于聲源或者觀察者的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致觀察者聽到的聲音頻率和聲源發(fā)射的頻率不一致的現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。例如一輛汽車在我們身旁急馳而過，車上喇叭的音調(diào)有一個(gè)從高到低的變化；站在鐵路旁邊聽列車的汽笛聲也能夠發(fā)現(xiàn)，列車迅速迎面而來時(shí)音調(diào)較靜止時(shí)高，而列車迅速離去時(shí)那么音調(diào)較靜止時(shí)低。簡單起見，我們只討論聲源、觀察者的運(yùn)動(dòng)方向與聲音的傳播方向共線的情況。設(shè)介質(zhì)中的聲速為在各向同性介質(zhì)中，為恒量，假設(shè)聲源和觀察者都不動(dòng)時(shí)，觀察者

18、觀察到的聲音的頻率。1聲源靜止觀察者運(yùn)動(dòng)：如圖6-18所示，靜止點(diǎn)聲源發(fā)出的球面波波面是同心的，假設(shè)觀察者以大小為的速度靠近或離開聲源，那么聲波相對(duì)于觀察者的傳播速度變?yōu)榛?，于是觀察聽到的頻率為，從而它與聲源頻率之比為.2聲源運(yùn)動(dòng)觀察者靜止：假設(shè)聲源以大小為的速度運(yùn)動(dòng)，他發(fā)出的球面波波面不再同心.圖6-19中所示兩圓分別是時(shí)間相隔一個(gè)周期T的兩個(gè)波面，它們中心之間的距離為，從而對(duì)于迎面而來或背離而去的觀察者來說，有效的波長為，于是觀察者聽到的頻率為，從而它與聲源頻率之比為.3聲源和觀察者都運(yùn)動(dòng)的情形：這時(shí)有效波速和波長都發(fā)生了變化，觀察者聽到的頻率為，從而它與聲源頻率之比為.聲波總在一定的介質(zhì)

19、中傳播，上面所說的靜止和運(yùn)動(dòng)，都是相對(duì)于介質(zhì)而言的，在這里聲源速度和觀察者速度在公式里的地位不對(duì)稱：1假設(shè)聲源和觀察者相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，上式中取“、“；2假設(shè)聲源和觀察者相背運(yùn)動(dòng)時(shí)，上式中取“、“；3假設(shè)聲源和觀察者均沿波傳播的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，上式中取“、“；4假設(shè)聲源和觀察者均逆著波的傳播方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，上式中取“、“.多普勒效應(yīng)不限于聲波機(jī)械波，對(duì)于真空中的電磁波光波，由于光速與參照系無關(guān)，多普勒效應(yīng)的公式中只出現(xiàn)觀察者對(duì)光源的相對(duì)速度，波的傳播方向、聲源速度、觀察者速度三者不共線的一般情況是比擬復(fù)雜的，這里只要考慮在連線方向的速度分量即可，這里不再贅述.此外，在上述經(jīng)典的多普勒效應(yīng)中只有縱向效應(yīng)，沒有

20、橫向效應(yīng)，而在相對(duì)論中，除縱向外，還有橫向多普勒效應(yīng).有興趣的同學(xué)可以查閱相關(guān)資料.【例13】一人看到閃電123s后又聽到雷聲。空氣中的聲速約為330-340m/s，光速為3108m/s，于是他用123除以3很快估算出閃電發(fā)生位置到他的距離為41 km根據(jù)你所學(xué)的物理知識(shí)可以判斷A這種估算方法是錯(cuò)誤的，不可采用B這種種估算方法可以比擬準(zhǔn)確地估算出閃電發(fā)生位置與觀察者間的距離C這種種估算方法沒有考慮光的傳播時(shí)間，結(jié)果誤差很大D即使聲速增大2倍以上，此題的估算結(jié)果依然正確答案B【錯(cuò)解分析】AC 不知所以，妄加斷言【正解】設(shè)所求距離為d，光速為c，聲速為v，那么有即由于cv，上式近似為 而 v在 ，即有故B正確AC錯(cuò)，由推理知，D亦不對(duì)，應(yīng)選B【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)理解機(jī)械波的疊加；干預(yù)、衍射現(xiàn)象及相關(guān)條件，理解多普勒效應(yīng)韻根本原理；能畫圖分析作答.【易出選擇】五、艏波和馬赫錐如圖6-22所示