對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題價(jià)值的一些思考

1、對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題價(jià)值的一些思考摘 要 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是高水平本科賽事之一，影 響力逐年提升，其作為本科教學(xué)第二課堂的一種形式，在發(fā) 現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才上起到了重要作用。數(shù)學(xué)競賽的試 題命制新穎，許多題目的求解需要用到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，又帶有 一定的技巧性。該文通過對(duì)近五年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題的 考點(diǎn)進(jìn)行分析，指出其在提高考研成績、選拔創(chuàng)新人才、塑 造科學(xué)精神、提高教學(xué)科研等方面的一些價(jià)值。關(guān)鍵詞 大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽;考點(diǎn)分析；價(jià)值Reflection on the Value of the Mathematics Competition for College Students / WANG F

2、ei,HUANG HuaAbstract The Chinese Mathematics Competition for College Students is a high-level undergraduate competition, and its in - fluence is increasing year by year. It is a form of the second classroom education in undergraduate teaching and plays a key role in discovering and selecting innovat

3、ive talents in mathematics. The competition system is so creative that you need a number of techniques and knowledge to deal with many prob - lems from various aspects. This paper analyzes the test points of the competition in the past five years, and points out its value in improving the results of

4、 postgraduate entrance examination, se - lecting innovative talents, cultivating scientific spirit, and enhancing teaching and scientific research.Key words the Mathematics Competition for College Students； analysis of the test points；value1引言全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽每年10月底在各省賽區(qū)或直轄市 舉行初賽，按一定比例挑出優(yōu)勝者參加第二年24月份的 決賽。其目的

5、是為了培養(yǎng)人才、服務(wù)教學(xué)、促進(jìn)數(shù)學(xué)課程的 改革和建設(shè)，提高大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生分析問 題、解決問題的能力，為大學(xué)生提供一個(gè)展示基礎(chǔ)知識(shí)和思 維能力的舞臺(tái)。當(dāng)前，第二課堂作為培養(yǎng)高水平復(fù)合型人 才的重要方式，被越來越多的高校所重視。全國大學(xué)生數(shù) 學(xué)競賽作為本科教學(xué)第二課堂的一種形式，是高水平本科 賽事之一，在2020年全國有32個(gè)賽區(qū)，參賽學(xué)校共897所， 參賽人數(shù)達(dá)到20多萬人，影響力逐年提升。大學(xué)生數(shù)學(xué)競 賽在提升大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)大學(xué)生分析、解決問 題的能力，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才、促進(jìn)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課 程的改革和建設(shè)方而產(chǎn)生了巨大作用。本文通過對(duì)大學(xué)生 數(shù)學(xué)競賽試題的考點(diǎn)

6、進(jìn)行全而分析，探討大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽 在提高考研成績、選拔創(chuàng)新人才、塑造科學(xué)精神、提高教學(xué) 科研方而的一些價(jià)值。2近五年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的主要考點(diǎn)分析以下對(duì)20162020年的大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類初賽 試題考點(diǎn)進(jìn)行分析。2016年試題涉及的主要考點(diǎn)包括：極限、高階導(dǎo)數(shù)、切 平而方程、一元函數(shù)積分不等式、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、三重積分、 定積分性質(zhì)綜合應(yīng)用、微分中值定理、FouEer級(jí)數(shù)。2017年試題涉及的主要考點(diǎn)包括：極限、函數(shù)的極限、 微分方程、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、不定積分、三重積分、二元函數(shù) 極值、第二型曲線積分、積分不等式。2018年試題涉及的主要考點(diǎn)包括：極限、函數(shù)的極限、 切線方程、不定積分

7、、積分不等式、曲線積分與路徑無關(guān)性、 三重積分、二元函數(shù)中值定理、積分不等式、級(jí)數(shù)。2019年試題涉及的主要考點(diǎn)包括：極限、極限、不定積 分、定積分、全微分、切平而、二重積分、微分不等式、三重積 分、微分方程、級(jí)數(shù)。2020年試題涉及的主要考點(diǎn)包括：極限、高階導(dǎo)數(shù)、切 線方程、微分中值定理、微分方程、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、二重積 分、第二型曲線積分、級(jí)數(shù)。從考點(diǎn)來看，極限、數(shù)列極限、一元函數(shù)微積分、積分不 等式、微分不等式、微分方程、重積分和曲線曲而積分作為 頻繁出現(xiàn)的考點(diǎn)，著重考查考生的基本知識(shí)能力，試題以 23個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合為主。3大學(xué)生競賽試題的主要價(jià)值3.1有利于提高考研成績?nèi)珖髮W(xué)生數(shù)學(xué)競賽

8、非數(shù)學(xué)專業(yè)組初賽考試內(nèi)容為高 等數(shù)學(xué)，考題內(nèi)容均不超出理工科本科相應(yīng)教程大綱。因 為大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的成績?cè)谝欢ǔ潭壬峡梢宰鳛楸究平虒W(xué) 效果的一種衡量辦法，與學(xué)生考研的成績也有一定的關(guān)聯(lián)。 縱觀近五年的數(shù)學(xué)競賽試題，每年命題的難度都與考研難 度相當(dāng)，考題都是23個(gè)知識(shí)點(diǎn)的融合，在涵蓋知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù) 角度及考點(diǎn)的難度上幾乎與考研難度相一致，解題的數(shù)學(xué) 思想1和方法也可以移植到考研之中。例如2016年競賽題 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與2017年考研題都考抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)， 用到多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t求解的知識(shí)點(diǎn)； 2016年競賽題三重積分和2020年數(shù)學(xué)三的二重積分用的都 是換元法求解；2018年用截而法

9、計(jì)算三重積分與2019年用 截而法計(jì)算形心坐標(biāo)思路一致；2020年求極限的等價(jià)無窮 小代換方法與2021年考研數(shù)學(xué)一的極限計(jì)算題方法一致。 因此，大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽可以作為檢測大學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一 種方式，它在一定程度上反映了教師的教學(xué)水平。新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)(以下簡稱我校)在這方而也做出了一些 嘗試。近年來我校大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽得到了學(xué)校的大力支 持，2020年我校參賽學(xué)生達(dá)70多人，獲獎(jiǎng)比例約30%,同年 考研通過率比去年翻了一倍。我校基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教研室部分教 師，通過對(duì)歷年大學(xué)生競賽試題和全國碩士研究生考試數(shù) 學(xué)試題進(jìn)行研究，編寫了相關(guān)的講義資料，供學(xué)有余力的學(xué) 生進(jìn)行自主研究、相互探討，逐步加深對(duì)內(nèi)容的理

10、解。另 夕卜，也開設(shè)了提升學(xué)生數(shù)學(xué)課程能力的本科生第二課堂，講 授大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽課程、大學(xué)生數(shù)學(xué)建模和大學(xué)生市場調(diào) 查競賽等相關(guān)知識(shí)，進(jìn)一步提升了學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的能力，不 僅提升了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，也在一定程度上提高了 學(xué)生的考研成績。3.2選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題命制新穎，不少題目的計(jì)算 與證明需要用到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交又融合，同時(shí)乂帶有一定 的技巧性和新意，因而有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才。例如 2017年的一道綜合題：設(shè)二元函數(shù)/(gy)在平而上有連續(xù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)任何角度a，定義一元函數(shù)四(L )= dg.(0)f (t cos a, tsina )。 若對(duì)任何a都有=0且d

11、tdga(0)0，證明f(0,0)是f()的極小值。該題除了 dt 考查高等數(shù)學(xué)中復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、極值判定原理，還 考查了線性代數(shù)課程中的二次型構(gòu)造、正定二次型的應(yīng)用。 2021年在武漢大學(xué)舉行的第十一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試 卷的第五大題，證明行列式大于1,計(jì)算球的體積需要用到 高等數(shù)學(xué)三重積分的知識(shí)，特殊函數(shù)的構(gòu)造有一定的特殊 性、計(jì)算行列式的值需要用到特征值方法，為了求特征值需 要用到線性代數(shù)的正定二次型以及對(duì)稱矩陣的對(duì)角化等眾 多知識(shí)點(diǎn)。從多個(gè)角度對(duì)考生思維能力進(jìn)行考查，體現(xiàn)出 考生的綜合素質(zhì)，有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，為數(shù)學(xué)創(chuàng)新 人才的培養(yǎng)提供了一個(gè)平臺(tái)。3.3有利于教師的教研教

12、改教學(xué)質(zhì)量是學(xué)校的生命線，教學(xué)質(zhì)量的提升離不開教 師的教研教改水平，教學(xué)研討不僅能提高學(xué)校整體的教學(xué) 成績，而且有助于促進(jìn)教師專業(yè)的提升。而全國大學(xué)生數(shù) 學(xué)競賽試題新穎，有一定難度，因而研究數(shù)學(xué)競賽試題是開 展教研的一種有效方式。為了有效地促進(jìn)教研教改，我們 可以以教研室為單位，利用教師相對(duì)集中的時(shí)間，對(duì)競賽中 的某一類試題進(jìn)行交流發(fā)言，談感受、談理解，對(duì)知識(shí)點(diǎn)縱 向加深、橫向拓展，以達(dá)到教學(xué)研究的效果，從而指導(dǎo)高等 數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，營造高等數(shù)學(xué)的課堂氛圍，增強(qiáng)學(xué)生的求 知欲。近年來，已經(jīng)有很多學(xué)者對(duì)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題 開展了較多的教學(xué)研究，發(fā)表了有關(guān)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽 對(duì)教學(xué)改革的相關(guān)研

13、究論文，以及對(duì)競賽試題本身進(jìn)行了 深入討論。例如關(guān)于極限方而的研究就取得了豐碩的成 果，戴立輝研究了在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中泰勒公式求極 限的各種技巧；王成強(qiáng)w對(duì)數(shù)列極限、函數(shù)極限進(jìn)行了多角 度的探討，取得了許多豐碩的成果；北京化工大學(xué)數(shù)理學(xué)院 學(xué)生吳毅5利用歐拉積分和極限逼近思想，得到了一類積分 極限的求值公式，并給出了其在一些競賽題目中的應(yīng)用。 在積分學(xué)方而，陳桂東6通過兩道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽 試題，介紹了利用高斯公式計(jì)算三重積分，利用格林公式計(jì) 算二重積分的方法，概述了逆向思維的意義及其在高等數(shù) 學(xué)中的應(yīng)用；騰吉紅7等人通過大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題研究了重 積分的換元法的使用技巧；戴立輝8等人

14、對(duì)2016年全國大 學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的二重積分試題給出了四種解法，從各個(gè)角 度對(duì)二重積分的解法進(jìn)行了完美的求解。姜廣浩9從2019 年的一道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題出發(fā)，聯(lián)想到教材的重要 性，并對(duì)該題給予多種證法、變形；高中喜10等人針對(duì)2019 年第十屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類的一道積分決賽題 進(jìn)行了探討與思考，將題目條件適當(dāng)減弱，結(jié)論依然成立， 并給出了兩個(gè)類似的問題；唐爍11等人對(duì)2018年全國大學(xué) 生數(shù)學(xué)競賽的一道積分題進(jìn)行了推廣，得到許多關(guān)于積分 的不等式；龔冬保12等人談到應(yīng)該重視用極坐標(biāo)解答大學(xué) 生高等數(shù)學(xué)競賽賽題。此外，對(duì)于大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽在促進(jìn) 公共課高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革方而，也有不少

15、學(xué)者做出了成 果。王成強(qiáng)13借助一道競賽真題剖析全國大學(xué)數(shù)學(xué)競賽題 的教學(xué)啟示；許飛訶等人基于大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的教學(xué)模式 探索“高等數(shù)學(xué)”課程改革，總結(jié)了近幾年數(shù)學(xué)競賽組織培 訓(xùn)上的體會(huì)，結(jié)合教學(xué)工作實(shí)際，闡述了大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽在 學(xué)生、教師、教學(xué)上所發(fā)揮的積極作用。以上是基于全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的關(guān)于極限和積分兩 個(gè)模塊給出了教師的教研教改。同樣，數(shù)學(xué)競賽在微分方 程、級(jí)數(shù)等模塊也有很多研究成果。這些結(jié)果也可以用于 指導(dǎo)我們的課堂教學(xué)，促進(jìn)教學(xué)改革，激發(fā)教師的教學(xué)熱 情，增強(qiáng)教師在學(xué)生中的認(rèn)可度，真正實(shí)現(xiàn)以賽促學(xué)、以賽 促教，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。3.4有利于提高科學(xué)精神習(xí)近平總書記在

16、紀(jì)念五四運(yùn)動(dòng)100周年大會(huì)上的重要 講話中指出“五四運(yùn)動(dòng)以全民族的行動(dòng)激發(fā)了追求真理、 追求進(jìn)步的偉大覺醒疽在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐中，尤其是 探索性選修課中，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、嚴(yán)謹(jǐn)踏實(shí)、勇于探索 的科學(xué)精神極其重要，它體現(xiàn)了學(xué)生思想方法方而的突破。大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題在考查基本知識(shí)的同時(shí)，還融匯 了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。通過對(duì)近五年競賽試題的分析，競賽中涉 及極限模塊的考點(diǎn)主要有泰勒公式、等價(jià)無窮小代換、定積 分、中值定理、單調(diào)有界定理、迫斂性定理、Stolz公式等解 題方法。近五年的數(shù)學(xué)競賽對(duì)重積分的考查涉及兩類坐標(biāo) 系下重積分的計(jì)算方法的選擇，即對(duì)稱性和輪換對(duì)稱性、換 元法等技巧處理重積分。競賽中涉及積

17、分等式和不等式的 證明方法有利用基本積分法（換元積分、分部積分）和積分 性質(zhì)：如利用罰三0,推出f罰三C ；構(gòu)造變限積分函數(shù)， 轉(zhuǎn)化為證明其單調(diào)性；借助連續(xù)函數(shù)介值定理、最值定理、 微分中值定理（費(fèi)馬定理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中 值定理）、積分中值定理、泰勒公式等進(jìn)行論證；利用施瓦茨 不等式證明帶平方結(jié)構(gòu)的積分。另外，通過對(duì)競賽題的縱 向深入研究，例如如何構(gòu)造中值點(diǎn)證明微分等式？求分式 極限當(dāng)分母單調(diào)增加趨于無窮大或調(diào)減少趨于0時(shí)，這種類 型的極限（2017年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽極限計(jì)算題、2019年 大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽極限計(jì)算題、2021年第十一屆大學(xué)生 數(shù)學(xué)競賽決賽數(shù)學(xué)類極限題）如何計(jì)算？經(jīng)過研究探索，使 學(xué)生知道處理數(shù)列極限的一種新方法一一施托爾茨 （Stolz）定理，利用它很容易證明算術(shù)平均數(shù)的極限值問 題，吸引了學(xué)生的注意力，增加了學(xué)生對(duì)知識(shí)的渴望與追 求,也培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神。總之，不管是縱向加深高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，還是橫向拓展 某一專題；或是一題多解、多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交又融合。通過對(duì) 大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題的研究，可以最大地彰顯其優(yōu)勢，通過