中考數(shù)學(xué)培優(yōu)滿分專題突破 專題2 圖形變式與拓展-人教版初中九年級(jí)全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

1、word專 圖變與展常類分專類突類 1 關(guān)三角的式展題【例 1】在圖 1 至圖 3 中直線 MN 與線 AB 相交點(diǎn) ，1245.(1)如圖 1，若 ，寫出 AO 與 BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將圖 1 中 MN 繞 O 順針轉(zhuǎn)得到圖 2其中 AOOB.證：AC，AC BD； (3)將圖 2 中 OB 拉為 AO 的 得到圖 3，求【路析通過(guò)觀察可以猜想 AO 與 BD 等且互相垂直；在后面的問(wèn)題中，通過(guò)添加 BD 的垂線，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形和相似三角形問(wèn)題加以解決【解】(1)AOBD，AOBD.(2)證明：如圖 1，點(diǎn) B 作 BECA DO 于 ，延長(zhǎng) AC 交 DB 的長(zhǎng)線于

2、點(diǎn) F.1 / 20wordACO又AOOB，AOCBOE，AOC BOE. ACBE.又145，ACOBEO135.DEB2，BEBD，EBD90.ACBD. BE，AFDACBD.(3)如圖 2，過(guò)點(diǎn) B 作 BECA 交 DO 于點(diǎn) E，BEO又BOEAOC，BOE AOC.又OBkAO，由2)的方法易得 BEBD.滿技圖拓展類問(wèn)題的解答往需要借助幾何直觀、轉(zhuǎn)化、類比的思想方法在原圖形中具備的位置和數(shù)量關(guān)系，在圖形變化后這種關(guān)系是否存在或又存在著怎樣的新的關(guān)系，可通過(guò)類比進(jìn)行推理、驗(yàn)證，所用方法和1)問(wèn)所用方法相似，可借鑒原結(jié)論方法，并進(jìn) 行拓展，只要沿著這樣的思路進(jìn)行即可解決滿變必AB

3、C 中，AB，BC點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)沿射線 BA 移動(dòng)同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) 出發(fā)線段 的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn) P，Q 移的度相同，PQ 與線 BC 相交于點(diǎn) D.(1)如圖 1，過(guò)點(diǎn) P 作 PFAQ 交 BC 于點(diǎn) F，求證：PDF eq oac(,；)QDC(2)如圖 2，當(dāng)點(diǎn) P 為 AB 的中時(shí)，求 CD 的長(zhǎng)；(3)如圖 3過(guò)點(diǎn) P 作 PE 于 E在點(diǎn) 點(diǎn) B 向點(diǎn) A 移的過(guò)程中線 DE 的度是 否保持不變？若保持不變，請(qǐng)求出 的長(zhǎng)，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由2 / 20word解：(1)ABAC，ACB.PFAC，PFBACB. PFB.BPFP. 由題意，得 BPCQ，F(xiàn)PCQ.PFAC，

4、DPFPDFQDCPDF (2)如圖，過(guò)點(diǎn) P 作 交 BC 于點(diǎn) F.點(diǎn) P 為 AB 的點(diǎn)，(3)線段 DE 的長(zhǎng)保持不變?nèi)鐖D，過(guò)點(diǎn) P 作 PFAC 交 于點(diǎn) F.2.如 1，ABC 中，45，AHBC 于點(diǎn) ，點(diǎn) 在 AH 上且 DHCH，連接 (1)求證：AC；(2)將 繞 H 順針旋轉(zhuǎn)得 EHF(點(diǎn) B，D 別與點(diǎn) E，F(xiàn) 對(duì)應(yīng))，連接 AE.如圖 ，當(dāng)點(diǎn) F 落 AC 上( 不與 重合，若 BC4，tanC3，求 AE 的長(zhǎng)；如圖 ，當(dāng)EHF 是BHD 繞 逆時(shí)旋轉(zhuǎn) 得到時(shí)，設(shè)射線 CF 與 AE 相于點(diǎn) G，3 / 20word連接 GH，試探究線段 GH 與 EF 之間足的等

5、量關(guān)系，并說(shuō)明理由 解：(1)在 Rt 中ABC，AHBH.在 和 中 eq oac(,) eq oac(,)AHC(SAS) BDAC.(2)在 RtAHC 中tanC3，設(shè) CHx， BHAH3x.，3xx4.xAH3，CH由旋轉(zhuǎn)，知EHFBHDAHC90，EHAH3，F(xiàn)HCH， eq oac(,) eq oac(,)FHC. EAHC.tanEAHtanC3.如圖，過(guò)點(diǎn) H 作 HPAE 于點(diǎn) P，HP3AP，AE2AP.在 RtAHP 中，HPAH，AP(3AP)9.EF理由如下：設(shè) 與 CG 交點(diǎn) Q，由知，AEH 和FHC 都等三角形又旋轉(zhuǎn)角為 30，F(xiàn)HD30.120.HCGGA

6、H eq oac(,) eq oac(,)CHQ. AGQ又GQHAQC， eq oac(,) AQC.4 / 20word3.教材改編題(1)問(wèn)發(fā)現(xiàn)：圖 1，ACB 均為等邊三角形，點(diǎn) A，D，E 在同一直線上，連接 BE，則AEB 的數(shù)_線段 AD，BE 之的關(guān)系_；(2)拓展探究如圖 2 eq oac(,，)ACB 和DCE 為等腰直角三角形ACBDCE點(diǎn) A， E 在一直線上，CM 為DCE 中 DE 邊上的高，連接 BE.請(qǐng)判斷 的數(shù)，并說(shuō)明由；當(dāng) CM5 時(shí)，AC 比 BE 的長(zhǎng)多 時(shí)， AE 的長(zhǎng)解：(1)60 相(2)AEB90.理由如下：ACB 和 均等腰直角三角形，CA，C

7、DCE，ACBDCE90.ACDBCE. 在 和BCE 中， eq oac(,) eq oac(,)BCE(SAS)AD，ADCDCE 為等腰直角三角形，CDECED點(diǎn) A，D，E 在同一直線上，ADC，135.5 / 20wordAEBBECCED90.在等腰 eq oac(,Rt) 中DCE，CMDE則有 DMCMME5.在 RtACM 中，CMAC.設(shè) BEADx，則 AC6x.(x56)，得 x7.AEADDMME17.類 2 關(guān)四邊的式展題【例 2 1ABC 中 D 分別是 AB 的中得到 DE (不 需要證明【探究】如圖 2，在四邊形 ABCD ，點(diǎn) E，F(xiàn)，H 別是 AB，BC，

8、CD，DA 的中點(diǎn)，判斷 四邊形 EFGH 的形狀，并加以證明【應(yīng)用(1)【究的條件下四邊形 ABCD 滿足什么條件時(shí)四邊形 EFGH 是形？ 你添加的條件是.(只添加一個(gè)條)(2)如圖 3，在四邊形 ABCD 中點(diǎn) ，F(xiàn)，G，H 別是 ，BC，CD，DA 的中點(diǎn)，對(duì)角線 AC， BD 相交于點(diǎn) O.若 AOOC，四邊 面積為 ，則陰影部分圖形的面積和.【路析探】用三角形的中位線定理可得出 EFHGGH繼而可判斷出四邊形 EFGH 的形狀用】(1)同探究】的方法判斷出即可判斷出 EFFG，可得出結(jié)論；(2)先判斷出 4S 同理S 4S ，進(jìn)而得出 eq oac(,S) 再判斷出 OMON，進(jìn)而

9、得出解：【探究】四邊形 EFGH 是平行四邊形6 / 20word證明：如圖 1，連接 AC.E 是 AB 的中， 是 BC 的點(diǎn)，EF，綜上，EFHG，EFHG.故四邊形 EFGH 是行四邊形【應(yīng)用】添加 ACBD.理由：連接 AC，BD，AC，EFFG.又四邊形 EFGH 是行四邊形， EFGH 菱形 故答案為：BD.(2)如圖 2，由【探究四邊形 是平行四邊形 F 分是 BC，CD 的中點(diǎn)，4S eq oac(,.)同理， 4S eq oac(,S) eq oac(,.)四邊形 ABCD 面為 5，設(shè) 與 ，EH 相于點(diǎn) M，N，EF 相交點(diǎn) P.OAOC，OMON.7 / 20word

10、易知，四邊形 ENOP 是積相等的平行四邊形滿技題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定似三角形的判定和性質(zhì)探關(guān)鍵是判斷出解【應(yīng)用】的關(guān)鍵是判斷出是一道基礎(chǔ)題目滿變必1.閱下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題圖 1，我們把一個(gè)四邊形 ABCD 的邊中點(diǎn) E， G，H 依連接起來(lái)得到的四邊 EFGH 是行四邊形嗎？小敏在思考問(wèn)題時(shí)，有如下思路：連接 結(jié)合小敏的思路作答：(1)若只改變圖 1 中四邊形 的形(如圖 2)則四邊形 EFGH 還是平行四邊形嗎？說(shuō)明 理由；參考小敏思考問(wèn)題方法解決一下問(wèn)題；(2)如圖 2，在(的件下，若連接 AC，BD.當(dāng) 與

11、 BD 滿什么條件時(shí)，四邊形 EFGH 菱形，寫出結(jié)論并證明；當(dāng) 與 BD 滿什么條件時(shí)，四邊形 EFGH 矩形，直接寫出結(jié)論解：(1)四邊形 EFGH 是平四邊形，理由如下： 如圖，連接 AC，8 / 20wordE 是 AB 的中， 是 BC 的點(diǎn)，EFHG，EFHG.故四邊形 EFGH 是行四邊形(2)當(dāng) AC 時(shí)，四邊形 EFGH 為菱理由如下：由1)知，四邊形 EFGH 是平四形，當(dāng) ACBD 時(shí)，F(xiàn)G 是菱形當(dāng) ACBD 時(shí)，四邊形 EFGH 為形2.如 1，將一 X 矩形紙片 ABCD 沿著角線 上折疊，頂點(diǎn) C 落到點(diǎn) E 處 交 AD 于 點(diǎn) (1)求證：BDF 是腰三角形；

12、(2)如圖 2，過(guò)點(diǎn) D 作 DGBE， BC 點(diǎn) ，連接 FG 交 BD 于點(diǎn) O.判斷四邊形 的狀，并明理由；若 AB68，求 的長(zhǎng)解：(1)證明：根據(jù)折疊的性質(zhì)得DBCDBE.又 ADBC，DBCADB，DBEADBDFBF， BDF 是腰三角形(2)四邊形 ABCD 是形，ADFDBG.又DGBE，即 ，四邊形 BFDG 是行四邊形9 / 20wordDF，四邊形 是形AB6，AD，假設(shè) DFBFx，AFDF8在 eq oac(,Rt)ABF 中，AB，即 (8x)x.3.如 1，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E，F(xiàn) 別是邊 BC，AB 的點(diǎn)，且 CEBF.連接 DE，過(guò)點(diǎn) E 作 EG

13、DE，使 EGDE，連接 FG，F(xiàn)C.(1)請(qǐng)判斷： 與 CE 的量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖 2，若點(diǎn) E 分是邊 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變(1)中結(jié)論是否仍然 成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；(3)如圖 3，若點(diǎn) E 分是邊 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變(1)中結(jié)論是否仍然 成立？請(qǐng)直接寫出你的判斷解：CE FGCE (2)成立10 / word證明：如圖，過(guò)點(diǎn) G 作 GHCB 延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， EG，GEHDEC90.GEHHGE，DECHGE. 在 與 中 eq oac(,) eq oac(,)CED(AAS) GH，HECD.CE，GHBF.GH，四邊形 是行四邊形FG，F(xiàn)GFGCE

14、.四邊形 ABCD 是方形，CDHEBC.HEEBEB.BHEC.FGEC.(3)仍然成立類 3 關(guān)圓的式展題【例 3】如圖 1 至圖 4 中兩平行線 AB，CD 間的距離均為 6，點(diǎn) M 為 AB 上一點(diǎn) 思如圖 1，圓心為 的圓形紙片在 AB，CD 之間包括 AB，CD)其直徑 MN 在 AB 上，MN， 點(diǎn) P 為圓上一點(diǎn)，設(shè)MOP.度時(shí)，點(diǎn) P 到 CD 的離最小，最小值.探一在圖 1 的基上，以點(diǎn) M 為旋轉(zhuǎn)心，在 AB 之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓紙片，直到不能再 轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如圖 2，得到最大旋角BMO度，此時(shí)點(diǎn) 到 CD 的離.探二11 / word將圖 1 中扇形紙片 NOP 按下面的

15、要求剪掉，使扇形紙片 MOP 繞 M 在 AB，CD 之間 時(shí)針旋轉(zhuǎn)(1)如圖 3當(dāng)60時(shí)求在轉(zhuǎn)過(guò)程中 P 到 CD 的最距離并請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角 的最大值；(2)如圖 4，在扇形紙片 MOP 旋轉(zhuǎn)程中，要保證點(diǎn) P 落在直線 CD 上請(qǐng)確定的取值 X 圍【思路分析在思考”的圖 1 中，當(dāng) OPCD ，點(diǎn) 到 CD 的離最?。辉凇疤骄恳弧钡膱D 2 中半圓形紙片不能再轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 與 切于點(diǎn) Y；在“探究二”的圖 3 中當(dāng) PMAB 時(shí)點(diǎn) P 到 CD 的離最小當(dāng)中，當(dāng)弦 MP6 時(shí)，取最小值當(dāng)與 AB 相切時(shí)，旋轉(zhuǎn)角 的數(shù)最大圖 4與 相于點(diǎn) P 時(shí)，即半徑 OPCD 于 P時(shí)，取最大值解：思考：根據(jù)兩

16、平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當(dāng) 度，點(diǎn) P 到 CD 的 離最小MN，OP點(diǎn) P 到 CD 的離最小值為 4故答案為：90,2.探究一：以點(diǎn) M 為旋中心， AB，CD 之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng) 為止，如圖 1，MN，MO，OY4.UO2.得到最大旋轉(zhuǎn)角BMO 度此時(shí)點(diǎn) CD 的離是 2.12 / word故答案為：30,2.圖 1探究二：由已知得 M 與 P 的離為 ，當(dāng) MPAB 時(shí)點(diǎn) P 到 AB 的大距離為 ，從而點(diǎn) 的小距離為 62.扇形MOP 在 AB 之旋轉(zhuǎn)到不能轉(zhuǎn)時(shí)， 90.(2)如圖 2，由探究一可知，點(diǎn) P 是即 OPCD.此時(shí)延長(zhǎng) 交 AB 于

17、， 最大值為與 AB 相，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角最大， 的大值為與 的切時(shí)，達(dá)到最大，圖 2OMHOHM3090120.如圖 3，當(dāng)點(diǎn) P 在 CD 上且 AB 距最小時(shí)，MPCD，達(dá)到最小，連接 MP作 OHMP 點(diǎn) H由垂徑定理，得 3，在 eq oac(,Rt) 中MO4MOH圖 32MOH98，最小 98.的取值 X 圍 98120.滿技 在拓變化的圖形中求最值(比最(小)距離的最大小度數(shù)段的最大(小長(zhǎng)度等，關(guān)鍵是確定相關(guān)圖形的特殊位置；確定幾何圖形中角度的取值 圍要考查它的最大角度和最小角度兩種極端情況外何直觀與生活經(jīng)驗(yàn)的積累與訓(xùn)練也是不容忽視的，本題中很多結(jié)論如果用純粹的數(shù)學(xué)原理嚴(yán)格論證起來(lái)，

18、是很困難的，比如“思考”中，為什么 OPAB 時(shí)點(diǎn) P 到 CD 的離最??？“探究一”中，怎樣說(shuō)明半圓形紙片不能再轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 與 CD 相于點(diǎn) P？探究二(1)中，為什么 MPAB 時(shí)點(diǎn) P 到 CD 的離最??？為什么當(dāng)與 CD 相于點(diǎn) P 時(shí)旋轉(zhuǎn)角BMO 的數(shù)最大(2)，為什么當(dāng)弦MP6 時(shí)取最小值；為什么半徑 CD 于 ，取最大值？對(duì)于這些問(wèn)題，在13 / word考場(chǎng)上是沒(méi)有時(shí)間、也沒(méi)有必要深究的，其結(jié)論的得出主要依靠幾何直觀與生活經(jīng)驗(yàn) 滿變必1.如 1，水平放置一個(gè)三角板一個(gè)量角器，三角板的AB 和量器的直徑 DE 在條直線上，ACB90，BAC30，OD3cm，始的時(shí)候 1cm，現(xiàn)在三

19、角板以 2cm/s 的速度向右移動(dòng)(1)當(dāng)點(diǎn) B 與 O 重時(shí)，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；(2)三角板繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng) B 點(diǎn) 點(diǎn)重合時(shí)AC 半圓相切于點(diǎn) F，連接 EF，如圖 2 所 示求證： 平分AEC；求 EF 的解：(1)當(dāng)點(diǎn) B 與 O 重時(shí)BOODBD4(cm) 三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 2s.(2)證明：如圖，連接點(diǎn) O 與點(diǎn) F，則 OFAC.ACE90，ECAC.CE.OFECEF.OF，OFEOEF.CEF即 EF 平分AEC. 由知，AC.AFO 是角三角形BAC30，OFOD3cm，14 / word2.如所示，點(diǎn) A 為半 O 直 在直線上一點(diǎn)，射線 AB 垂直于 ，足為 A，半

20、圓繞 M 點(diǎn)時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度記作；設(shè)半圓O 的徑為 R 的長(zhǎng)度為 m，回答下列問(wèn) 題：探究：(1)若 R，m，如圖 ，當(dāng)旋轉(zhuǎn) 30，圓心 到射線 AB 的離是.如圖 2，當(dāng)時(shí)半圓 O 與線 AB 相切(2)如圖 3，(的件下，為了使得半圓 O 動(dòng) 30能與射線 AB 相切在保持線段 AM 長(zhǎng)度不變的條件下，調(diào)整半徑 R 的大小，請(qǐng)你求出滿足要求的 R，并說(shuō)明理由；發(fā)現(xiàn)：(3)如 4，在 090，為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓 O 與射 AB 能相切，小明探究了 cos R，m 個(gè)量的關(guān)系，請(qǐng)你幫助他直接寫出這個(gè)關(guān)系cos ； (用含有 R，m 的代數(shù)式表示)拓展(4)如 5，若 Rm，當(dāng)圓弧線

21、與射線 AB 有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值 X 圍是并求出 在這個(gè)變化過(guò)程中陰影部(弓)面積的最大值用 m 示解(1)如圖 1，作 OEAB 于 ，MFO 于點(diǎn) ，則四邊形 AMFE 是形EFAM1. 在 eq oac(,Rt)MFO，MOF30，MO2，如圖 2，設(shè)切點(diǎn)為 F，連接 OF作 EOA 點(diǎn) E 則四邊形 OEAF 是矩AEF2.AM，EM1.(2)如圖 3，設(shè)切點(diǎn)為 ，接 OP作 ，則四邊形 APQM 是形15 / word在 eq oac(,Rt)OMQ 中，OM，MOQ30(3)如圖 4，設(shè)切點(diǎn)為 ，接 OP作 MQ，則四邊形 APQM 是形 在 eq oac(,Rt)OQM 中，O

22、QRcos，QPOPR，RcosR.(4)如圖 5，半圓與射線 AB 相時(shí)，此時(shí)，之后開(kāi)始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) N落在AB 上，為半圓與 AB 有兩個(gè)交的最后時(shí)刻，此時(shí)，2AM，60.半圓弧線與射線 AB 有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值 圍是 90 故答案為：90120.當(dāng) N落在 上時(shí)陰影部分面積最大，3.如 1 至 5，O 均作無(wú)滑滾動(dòng)，O 、O 、O 、O 均示O 與線段 AB 或 BC 相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置， 的長(zhǎng)為 C.閱讀理解：(1)如圖 1， 從O 的置出發(fā)，沿 AB 動(dòng)到O 的置，當(dāng) c 時(shí)， 恰自轉(zhuǎn) 1 周；(2)如圖 2，ABC 相的補(bǔ)角是 nO 在 外部沿 BC 滾動(dòng)，在點(diǎn) B 處必須由O 的置旋轉(zhuǎn)到 的位，O 點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)角O BO n，O 在點(diǎn) B 處 16 / word實(shí)應(yīng)：(1)在閱讀理解的(1)中，若 AB2c，則O 自轉(zhuǎn)；若 l，則 自轉(zhuǎn)在閱讀理解的2)中，若120，O 在 B 處自轉(zhuǎn)周；若ABC60，則O 在點(diǎn) B 處轉(zhuǎn) 周；(2)如圖 3，ABC90， O 的位出發(fā)，在ABC 外部沿 AB 滾動(dòng)到 的位，O 自轉(zhuǎn)周拓聯(lián)：(1)如圖 4，ABC 的長(zhǎng)為 l，O 與 AB 相切點(diǎn) 的置出發(fā)， ABC 外，按順時(shí)針?lè)较蜓厝切螡L動(dòng)，又回到與 AB 相切點(diǎn) D 位置，O 自轉(zhuǎn)了多少周？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖 5，多邊形的周長(zhǎng)為 l， 從與某邊相切于點(diǎn)